北师大版高中数学《必修》全部教案

北师大版高中数学必修5第一章《数列》全部教案

第一课时数列的概念

一、教学目标

1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式

写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。

2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法

进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发

学生的学习积极性。

3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实

际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；

（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣

二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用

教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.

三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析

四、教学过程

（一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题.

先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一

层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层第

57层有多少根从第1层到第57层一共有多少根我们不能满足于一层层的去数，而是要但

求如何去研究，找出一般规律.实际上我们要研究的是这样的一列数

100,99,98,…,3,2,1,象这样排好队的数就是我们的研究对象一一数列.

（二）、推进新课

[合作探究]

折纸问题

师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次请同学们随便取一张纸试试（学生们兴趣

一定很浓

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了

师你知道这是为什么吗我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折

的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样

生随着对折数厚度依次为：2,4,8,16,…，256,…；

随着对折数面积依次为L，5，…，」

24816256

生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分1[]256式，再折下去太

困难了

师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出

的这一列一列的数，看它们有何共同特点

生均是一列数

生还有一定次序

师它们的共同特点：都是有一定次序的一列数

［教师精讲］

1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列

注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序

不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同

一个数在数列中可以重复出现

2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或

首项），第2项，…，第〃项，….同学们能举例说明吗

生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项（或首项），“16”是

这个数列中的第4项

为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.

首项------其中数列的第一项也称首项.通项--------数列的第n项叫数列的通项.

以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某

一个数列的一些项的项数.由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第

二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定.所以数列中的每

一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系.

3.数列的分类：1）根据数列项数的多少分:

有穷数列:项数有限的数列.例如数列L2,3,4,5,6是有穷数列

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6…是无穷数列

2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减

数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动

数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列

生这六组数列分别是⑴递增数列，（2）递增数列，（3）常数数列，（4）递减数列，（5）摆动

数列，（6）1.递增数列，2.递减数列

4、通项公式法:如数列012,3,…的通项公式为即=阀+1册犷）；

LU…的通项公式为外=e犷,1<n<3）；

1,a=—（we2/,）

234的通项公式为附；

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第”项，又是这个数列中所有各项的

一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数

列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.

例如，数列的通项公式乐=2万N）,则限=2x100-1=199.

值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公

式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一.

［知识拓展］

师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项能否写出它的第〃项

生256是这数列的第8项，我能写出它的第〃项，应为4=2"

［例题剖析］

例1.根据下面数列｛a｝的通项公式，写出前5项：

(l)a„=—;(2)&=(一1)"•n

〃+1

师由通项公式定义可知，只要将通项公式中〃依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前

5项

生解：(1)ZFI,2,3,4,="—;a-2=—;&=—；&=—;a$=一

23456

(2)/7=1,2,3,4,=-1;a2=2;a3=~3;a=4;a5=~

师好！就这样解

例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1)3,5,7,9,11,•••；(2)-,—,—,—,—,•••；

315356399

(3)0,1,0,1,0,1,…；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…；

(5)2,-6,12,-20,30,-42,

师这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式(给学生一定

的思考时间

生老师，我写好了!

2n

解：(l)a„=2z;+l；(2)a„=⑶一

(2H-1)(2H+1)

(4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…，a=n+1+；

2

(5)将数列变形为1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,…，

师完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出

的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式

(三)、学生课堂练习：课本本节练习1、2、3、4

补充题：已知数列｛4｝的通项公式是4=24-〃，那么(

是数列｛&,｝的一项是数列｛a“｝的一项

是数列｛&｝的一项是数列｛4｝的一项

分析：注意到30,44,66,90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出

现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正

整数解的方法加以解决答案：

点评：看一个数A是不是数列｛&｝中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n,

使得a=A

（四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一

项，并会根据数列的前A项求一些简单数列的通项公式。

（五）、布置作业课本习题1TA组1、2、3、4o

五、教后反思：

一、教学目标

1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；理解

数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示

方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数

的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培

养用已知去研究未知的能力。

二、教学重点：理解数列的概念，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通

项公式）。

难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

三、教学方法：讲授法为主

四、教学过程

（一）、导入新课

师同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一

谈什么叫数列的通项公式

生如果数列｛4｝的第〃项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做

这个数列的通项公式

师你能举例说明吗

生如数列0,1,2,3,…的通项公式为晶=疗1(〃£“

1,1,1的通项公式为a〃=l1

1,-，…的通项公式为a尸，a

234n

教师进一步启发上面数列a尸上1、冲上与函数/(x)=x-lj(x)=’有什么关系你能用图象

nx

直观表示这个数列吗由此展开本节新课。

(二)新知探究

1、数列与函数的关系：数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函

数值，数列的定义域是正整数集,或是正整数集的有限子集｛123,

于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列.

［合作探究］同学们看数列2,4,8,16,…，256,…①中项与项之间的对应关系，

项24816

序号你能从中得到什么启示

生数列可以看作是一个定义域为正整数集M(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)的函数

4=£(〃)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数尸/1(x),如

果/U)(i=l、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列

f⑴，f(2),f(3),…,

师说的很好.如果数列｛品｝的第〃项4与〃之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个

公式就叫做这个数列的通项公式

［合作探究］师函数与数列的比较(由学生完成此表)：

函数数列(特殊的函数)

定义域R或R的子集A'或它的有限子集｛1,2,

n\

解析式尸f(x)a„=Az?)

图象点的集合一些离散的点的集合

师对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公

式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列

4,5,6,7,8,9,10-;@1,-,-,-，…③的图象

234

生根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为

师数列4,5,6,7,8,9,10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关

生与我们学过的一次函数产x+3的图象有关.

师数列1,工，…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关

234

生与我们学过的反比例函数y=L的图象有关.

X

师这两数列的图象有什么特点

生其特点为：它们都是一群孤立的点.

生它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点.

2、数列的表示法

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的

表示法：列表法，图象法，解析式法.相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法:

用力表示第一项，用“2表示第一项，……，用即表示第然项，依次写出成为

(1)列举法：%,。2，的，…，即，….简记为｛怎｝.

一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法.

(2)图示法:启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数正为横坐标,

相应的项即为纵坐标，即以(乩%)为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数

].—11—1•••

列’2'3'4'为例，做出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横

坐标为正整数，所以这些点都在丁轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可

以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.有些函数可以用解析式来表示,

解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其

项数的函数式表示出来，即aS这个函数式叫做数列的通项公式.

（3）通项公式法:如数列0J23,…的通项公式为外="156犷）；

LU…的通项公式为许=15W，1«"也

1,a=—（weiV,）

234的通项公式为«；

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第北项，又是这个数列中所有各项的

一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数

列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.

例如，数列的通项公式外=2"1伽已犷），则限=2x100-1=199.

值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公

式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一.

除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式

来表示，叫做递推公式.

（4）递推公式法:如前面所举的钢管的例子，第花+1层钢管数即+1与第〃层钢管数怎的

关系是即+1=%-1,再给定阳=1。0,便可依次求出各项.再如数列中，

阳=L怎+1=2即伽6犷），这个数列就是1,2,4,8,16,32,64,….

像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的

关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式.递推公式是数列所特有的表

示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可.可由学生举例,

以检验学生是否理解.

（三）、例题探析

例1、判断下列无穷数列的增减性。⑴2,1,0,-1,…,3-n,•••；,o

234n+1

学生探究交流，教师准对问题讲评并引导学生归纳方法。【答案：（1）递减数列；（2）递增

数列】

例2、作出数列」」,」一,KK,（」）"，…的图像，并分析数列的增减性。

248162

-——1——Y.......

2

----------------------------------------------------------►

012345

X

解析：如图是这个数列的图象，数列各项的值正负相司，表示数列的各点相对于横轴上下

摆动，它既不是递增的，也不是递减的。

（四）、学生练习：课本本节练习1、2

（五）、课堂小结：1、探究结论；2、数列与函数有什么关系

（六）、作业布置：习题ITA组第5、6、7题

五、教后反思：

第三课时数列的概念

一、教学目标

1、知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递

推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与明的关系

2、过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。

3、情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

二、教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项

教学难点理解递推公式与通项公式的关系

三、教学过程

I.课题导入

［复习引入］数列及有关定义

n.讲授新课

数列的表示方法

1、通项公式法

如果数列｛%｝的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这

个数列的通项公式。

如数列0,123,…的通项公式为%="1（"e犷）；

LU…的通项公式为犷，1"屋明

1,a.=—(»e27,)

234的通项公式为h公

2、图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数阀为横坐标，相应的

项即为纵坐标，即以（冬%）为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

‘5'号4'为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐

标为正整数，所以这些点都在丁轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以

直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.

3、递推公式法

知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题.

观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型.

模型一：自上而下：蠹

第1层钢管数为4；即：1-4=1+3

第2层钢管数为5；即：2-5=2+3

第3层钢管数为6；即：3-6=3+3

第4层钢管数为7；即：4»7=4+3

第5层钢管数为8；即：5―8=5+3

第6层钢管数为9；即：6。9=6+3

第7层钢管数为10；即：7c10=7+3

若用%表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且4=〃+3（lWnW

7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快

捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循（启发学生寻找规律）

模型二：上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多lo

即以］=4；a2=5=4+1=tz,+1；%=6=5+1=々+1

依此类推：a,,=an_t+1（2WnW7）

对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。

定义：

递推公式：如果已知数列｛%｝的第1项（或前几项），且任一项凡与它的前一项a,-（或前

n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式

递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89

递推公式为：卬=3,4=5,4”=a,i+a„_2(3<n<8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示

法：列表法，图象法，解析式法.相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用

的表示第一项，用%表示第一项，……,用即表示第％项，依次写出成为

4、列表法

旬,町,。3,…，即，….简记为｛%｝.

［范例讲解］

q=1

例3设数列｛/｝满足,I,八写出这个数列的前五项。

解：分析：题中已给出｛凡｝的第1项即/=1,递推公式：+—

11o15X

解：据题意可知：a1=l,a,=lH=2,a3=1H——,a4=14=—,a5—

«,"a23tz335

［补充例题］

例4已知q=2,all+］=2an写出前5项，并猜想明.

223

法一：卬=2〃2=2X2=2=2x2=2,观察可得an-2"

法二：由a.+|=即巴」=2

an—q•2"T=2"

HL课堂练习：课本P36练习2

[补充练习]

1.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式

(1)a]=0,an+l=an+(2n—1)(n£N)；

(2)a}=1,an+l=-(neN)；

a,,+2

(3)a{=3,an+[=3a„—2(nGN).

2

解：(1)4=0,a2=1,%=4,a4=9,a5=16,an=(n—1);

2

(3)a1=3=l+2x3°,a2=7=l+2x3',a3=19=l+2x3,

4=55=1+2x3、%=163=1+2x3。，%=1+2•3”、

W.课时小结：本节课学习了以下内容：1.递推公式及其用法；2.通项公式反映的是项与

项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.3.an的定义

及与n之间的关系

V.课后作业：习题组的第4、6题作业：P9第4题

四、教后反思:

第四课时§等差数列（一）

一、教学目标

1.知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在

具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列

与一次函数的关系。

2.过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象

出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差

数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对

等差数列相应问题的研究。

3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

二、教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公

式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

三、学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、座位问题、鞋号问题、储蓄问题）

概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通

项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

四、教学过程

（一）、创设情景

上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息

等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。

今天我们就先学习一类特殊的数列。

（二）新知探究

（I）、引导观察数列：0,5,10,15,20,……①；48,53,58,63②

18,,13,,8,③；10072,10144,10216,10288,10360④

看这些数列有什么共同特点呢（由学生讨论、分析）

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差

都等于5；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列③,

从第2项起，每一项与前一项的差都等于；对于数列④，从第2项起，每一项与前一

项的差都等于72；

由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常

数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

等差数列的概念:对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等

差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,

那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它

们的公差依次是5,5,,72o

（II）、得出等差数列的定义：注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。

1.名称：等差数列，首项（4）,公差（”）；2.若d=°则该数列为常数列；

3.寻求等差数列的通项公式：

由此归纳为%=4+（”1）”当〃=1时卬=卬（成立）

注意：1等差数列的通项公式是关于〃的一次函数；2如果通项公式是关于〃的一次函

数，则该数列成等差数列；

证明：若％=A〃+B=A（"-1）+A+B=（A+B）+（〃_1）A它是以A+8为首项，A为公

差的AP。

3公式中若4>0则数列递增，d<0则数列递减；

4图象：一条直线上的一群孤立点得出通项公式：

以％为首项，d为公差的等差数列必"｝的通项公式为：=a,+（〃—D"；知等差数列

的首项为和公差d,那么这个等差数列的通项《，就可以表示。

选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：

（迭加法）：⑸｝是等差数列，所以4—h=乙

两边分别相加得所以an=al+（n-l）d

（迭代法）：伍"是等差数列，则有:

4=一］cl—。“_2+d+d=-2+2d—3+。+2d—。“_3+3d...=q+(〃—V)d

所以a〃=q+（〃-l）d

（三）、例题讲解：注意在4=%+（"-1〃中〃，“"，卬，d四数中已知三个可以求出另

一个。

例1、（课本）判断下面数列是否为等差数列.例2、已知数列首项与公差,求通项公式.

例3、（此题可以看成应用题）已知数列的其中几项，求其余各项

例4、已知数列其中两项,求通项公式.

a—+_b___

关于等差中项：如果兄4力成AP则—2

证明：设公差为〃，则人=。+4b=a+2d

a+b。+。+2d,

------=--------------=a+d=A

22

例5、在1与7之间顺次插入三个数必40使这五个数成等差数列，求此数列。

解一：•--l,a,b,c,7hXAP二6是-1与7的等差中项

什士Z=3

2“又是-1与3的等差中项2

c*=5

c又是1与7的等差中项2

解二：设4=-1%=7...7=-1+(5-1)1=1=2

，所求的数列为T,1,3,5,7

例6、已知是等差数列图像上的两点.求这个数列的通项公式；

画出这个数列的图像;判断这个数列的单调性.（解略）

例7、一个木制梯形架的上、下两底边分别为33,75,把梯形的两腰各6等分，用平行木

条连接各对应分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度。

分析：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为，则由梯形中位线的性质，易知每相邻

三项均成等差数列，从而成等差数列。解略

（五）、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项

（六）、练习：P13练习1、2、3

（七）、作业：习题1——2A组5、6、7

五、教后反思：

第五课时§

一、教学目标

1、知识与技能：（1）明确等差中项的概念；（2）进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推

导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；（3）能用图象与通项公式的关系解

决某些问题。

2、过程与方法：（1）通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；

通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想；（2）发挥学生的主体作用，讲练相结合，

作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。

3、情感态度与价值观（1）通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内

在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点；（2）通过体验等差数列的性质的奥秘,

激发学生的学习兴趣。

二、教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问

题。

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、导入新课

师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆

一下什么样的数列叫等差数列

生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，

即a“-a,T=d（〃22,nGN*）,这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（通

常用字母“d”表示

师对，我再找同学说一说等差数列｛4｝的通项公式的内容是什么

生1等差数列｛4｝的通项公式应是a尸&+（止1）d

生2等差数列｛4｝还有两种通项公式：&=&,+（/r-ffl）d或amp/qlp、q是常数

师好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的

公式：①画agg；②幺；③d=&二%.你能理解与记忆它们吗

n-\n-m

生3公式②d=4二色与③］：组二以记忆规律是项的值的差比上项数之间的差（下标之

n—1n—m

差

［合作探究］探究内容：如果我们在数a与数8中间插入一个数儿使三个数a,b成

等差数列，那么数/应满足什么样的条件呢

师本题在这里要求的是什么

生当然是要用a,8来表示数4

师对，但你能根据什么知识求如何求谁能回答

生由定义可得力-年64即4=3幼

2

反之，若A=3把，则力-于64

2

由此可以得A=色吆。a,46成等差数列

2

（二）、推进新课

我们来给出等差中项的概念：若a,A,，成等差数列，那么/叫做a与6的等差中项

根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项

除外）都是它的前一项与后一项的等差中项

如数列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项

9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项

［方法引导］等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a,A,6成等差数列2A=a+b,

以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a,A,8间的关系证得a,A,8成

等差数列

［合作探究］

师在等差数列｛4｝中，d为公差，若以n,p,qGN且方产Fq，那么这些项与项之间有何种

等量关系呢

生我得到了一种关系为+a尸a〃+a“

师能把你的发现过程说一下吗

生受等差中项的启发，我发现a2+&=a+a5,ai+a6=a：；+a7

从而可得在一等差数列中，若研ZF/7+q,则&+a=%+/

师你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们

是否可以对这归纳的结论加以证明呢

生我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a，则

a计aka计(nr1)cha\+(/7-1)d=2a、+(/n-公d

{

ap+a1,=ai+(/?-l)o=2a1+(/rt-?-2)d

因为我们有研炉加q,所以上面两式的右边相等，所以为,+4=%+/

师好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列｛a｝的各项中，与首末两项

等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若研炉加q,则上面两式的右

边相等，所以%+%

同样地，我们还有：若研炉2口则a/a〃=2az，这也是等差中项的内容

师注意：由a+a,尸劣+为推不出研小加q,同学们可举例说明吗

生我举常数列就可以说明了

师举得好!这说明在等差数列中，a+a产品+%是研小W成立的必要不充分条件.

［例题剖析］

【例1】在等差数列｛4｝中，若&+a=9,&=7,求其”国

师在等差数列中通常如何求一个数列的某项

生1在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项

生2而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意

两项（知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了

生3本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手

师好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解

生4因为｛4｝是等差数列，所以旬+备=国+@333=9-^=9-

所以可得d=a-ai=7-

又因为a=国+（9-4）0fc7+5X5=32,所以我们求出了&=2,西

【例2］（课本例2）某市出租车的计价标准为元/炀,起步价为10元，即最初的4千米（不

含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14痴处的目的地，且一路畅通，等

候时间为0,需要支付多少元的车费

师本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题

生这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决

师为什么

生根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4版时，每增加1km,乘客需要支付元.

所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费

师这个等差数列的首项和公差分别是多少

生分别是，

师好，大家计算一下本题的结果是多少

生需要支付车费元

（教师按课本例题的解答示范格式

评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从

实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题

(三)、课堂练习

1.在等差数列｛aj中，⑴若a5=a,aio=6,求45

解：由等差数列EJ知2&()=&+&5,即2炉a+&5,所以aiS=2b-a

(2)若ai+a^/n,求a5+a6

解：等差数列｛2｝中，悬+a=a+。8=卬

⑶若25=6,续=15,求al4

解：由等差数列⑸得如a+(8-5)d即15=6+34所以d从而

ai4=a5+(14-5)d

(4)已知al+a2+---+a5=30,桀+且7+…+&()=80,求au+a^…+且屹的值

解：等差数列｛2｝中，因为

所以2a6=ai+a“，2a7=az+ai2从而(a“+ai2+*“+ai5)+(ai+a?+•••+a5)=2(a+a7+•••+aio

因此有(a“+&2+…+&5)=2(a+a:+…+句0)-3+必+…+。5)=2X80-

2.让学生完成课本练习2、3、4。教师对学生的完成情况作出小结与评价。

［方法引导］此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练

掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围

(四)、课堂小结

师通过今天的学习，你学到了什么知识有何体会

生通过今天的学习，明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.

（让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而

达到三维目标的整合，培养学生的概括能力和语言表达能力

（五）、布置作业课本习题1-2A组9,B组1

预习内容：课本下节内容；预习提纲：①等差数列的前〃项和公式；②等差数列前〃项和

的简单应用。

五、教后反思：

第六课时§等差数列的前n项和（一）

一、教学目标：1、知识与技能：掌握等差数列前〃项和公式及其获取思路；会用等差数列

的前〃项和公式解决一些简单的与前〃项和有关的问题。2、过程与方法：通过公式的推导

和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问

题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广

阔性的训练，发展学生的思维水平。3、情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数

学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树

立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

二、教学重点等差数列的前〃项和公式的理解、推导及应用。

教学难点灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题。

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

导入新课

教师出示投影胶片1:

印度泰姬陵ajMahal）是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印

度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是

印度伊斯兰教文化的象征陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一

个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（如下图），奢华之程度，

可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗（这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩

短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段）

生只要计算出1+2+3+-+100的结果就是这些宝石的总数

师对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢这里还有一段故事

教师出示投影胶片2：

高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：

“现在给大家出道题目：过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…

算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

教师问：“你是如何算出答案的

高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101,所以101X50=5050.

师这个故事告诉我们什么信息高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢

生高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=“=50+51=101,有50个

101,所以

师对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个

数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和

均相等，都等于101,50个101就等于5050了高斯算法将加法问题转化为乘法运算，

迅速准确得到了结果。作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些

简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西

师问：数列1,2,3,…，100是什么数列而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么

生这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.

师对，这节课我们就来研究等差数列的前〃项的和的问题

（二”推进新课［合作探究］

师我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到

第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢

生这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求

和就好首尾配成对了

师高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们

是否有简单的方法来解决这个问题呢

生有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的

每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是色21-21

2

师妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了！我将他的几何法写

成式子就是：1+2+3+…+21,21+20+19+…+1,对齐相加（其中下第二行的式子与

第一行的式子恰好是倒序这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法一一“倒序相

加法

现在我将求和问题一般化：（1）求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+（厅1）+〃.（注：这

问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决如何求等差数列｛a｝的前〃项的和S„

生1对于问题（2）,我这样来求：因为S尸5„=3„+3„-1+-+a2+a）,再将两

式相加，因为有等差数列的通项的性质：若研炉。则&,+a=%+&,所以

S/（.+♦〃）（（

"-2

生2对于问题（2）,我是这样来求的：因为S尸ai+（a[+4+3+2由+3+3中+…+

[a+（zrl）Xd],

所以S〃=z?a+[1+2+3+…+（/rT）]d=nat+^^—―d即S“=z?a+M^—―d.（II

22

[教师精讲]两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同

学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前〃项求和的

两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式（I）

是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）X高+2相类比，这里的上底

是等差数列的首项4，下底是第n项2,高是项数n,有利于我们的记忆

［方法引导］师如果已知等差数列的首项国，项数为〃，第A项为4,则求这数列的前〃

项和用公式(I)来进行，若已知首项a,项数为〃，公差"，则求这数列的前〃项和用公式

(H)来进行

引导学生总结：这些公式中出现了几个量

生每个公式中都是5个量

师如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法

生已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二

师当公差扶。时，等差数列｛%｝的前〃项和S“可表示为n的不含常数项的二次函数，且

这二次函数的二次项系数的2倍就是公差

［知识应用］【例1】(直接代公式)计算：

(D1+2+3+…+〃；(2)1+3+5+…+(2/7-1)；(3)2+4+6+…+2〃；

(4)1-2+3-4+5-6+-+(2/r-l)-2/2

(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成⑴〜(3),并请一位同

学回答

生(1)1+2+3+…+炉?+1)；(2)1+3+5+…+(2个1)=+=n；

22

⑶2+4+6+…+2小〃⑵"2)

2

师第(4)小题数列共有几项是否为等差数列能否直接运用S“公式求解若不能，那应如何解

答(小组讨论后，让学生发言解答

生(4)中的数列共有2〃项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，

所以原式=[1+3+5+…+(2zrl)]-(2+4+6+…+2〃)=//-〃(Z;+1)=-A

生上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为T,故可得另一解法：原式

=(-1)+(-1)+(-1)+…+(T)=-77

师很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和

公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解

【例2】(课本例分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.

你能发现其中的一些有用信息吗

生由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500,记为公差为50,记

为d,而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算

出来了

师这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式

【例3】(课本例2)已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此

可以确定求其前〃项和的公式吗分析：若要确定其前〃项求和公式，则必须确定什么

生必须要确定首项a与公差d

师首项与公差现在都未知，那么应如何来确定

生由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S„,与于是可从中获得两个关于国和d

的关系式，组成方程组便可从中求得解答见课本

师通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构

造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题

［合作探究］师请同学们阅读课本例3,阅读后我们来互相进行交流给出一定的时间

让学生对本题加以理解

师本题是给出了一个数列的前〃项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是

什么

生从所给的和的公式出发去求出通项

师对的，通项与前〃项的和公式有何种关系生当炉1时,a尸S”而当〃>1时，a〃=S〃-Sg

师回答的真好！由S”的定义可知，当炉1时,S尸a；当心2时，A=S“-SE即a“=SG

S„-S小(〃22).这种已知数列的S,,来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这

方法求出的通项4=2厅1，我们从中知它是等差数列，这时当小1也是满足的，但是不是

2

所有已知S.求为的问题都能使炉1时，a户S.-Sz满足呢请同学们再来探究一下课本第51

页的探究问题

生1这题中当n=\时，Si=a产加如r；当时，a,=S„-S,rl=2pn-p^-q,由nrl代入的结果

为p^q,要使n=l时也适合，必须有r

生2当尸0时，这个数列是等差数列，当r#0时，这个数列不是等差数列

生3这里的0工0也是必要的，若叶0,则当〃22时，a=S„-S柿=如八则变为常数列了，

rWO也还是等差数列

师如果一个数列的前〃项和公式是常数项为0,且是关于〃的二次型函数，则这个数列一

定是等差数列，从而使我们能从数列的前A项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上

等差数列的两个求和公式中皆无常数项

(三)、课堂练习：等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54

(学生板演解：设题中的等差数列为{4},前〃项和为S,,则

^1=-10,(1=■(~6)~(-10)=4,S〃

由公式可得TO加迎二2解之,得外=9,色=-3(舍去所以等差数列TO,-6,-2,

2

2…前9项的和是教师对学生的解答给出评价

(四)、课堂小结：师同学们，本节课我们学习了哪些数学内容

生①等差数列的前n项和公式1：$出*2②等差数列的前n项和公式2：

2

cn(n-i)d

S“=叫+--

师通过等差数列的前〃项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法

生①通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法

-“倒序相加法”。②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造

方程或方程组求另外两个变量

师本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容

生如果一个数列的前〃项和公式中的常数项为0,且是关于A的二次型函数，则这个数列

一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前〃项和公式的

结构特征上来认识等差数列

（五）、布置作业：课本习题厂2A组11、12、13B组3

五、教学反思：

第七课时§

一、教学目标

1、知识与技能：（1）进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前〃项和公式；（2）了解等差

数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；（3）会利用等差数列通项公式与前〃项

和的公式研究S”的最值。2、过程与方法：（1）经历公式应用的过程，形成认识问题、解决

问题的一般思路和方法；（2）学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思

维水平的发展。3、情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次

感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问

题，并数学地解决问题。

二、教学重点熟练掌握等差数列的求和公式教学难点灵活应用求和公式解决问题

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过