高中数学等比数列教案

天津职业技术师范大学

人教A版数学必修5第48-52页

2.4等比数列

理学院数学0801刘瑞平

等比数列教案

一、课题：等比数列

二、课型：新授课

三、教材分析

等比数列的学习在本章中占很大的比重。在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息等问题，都需要

用有关等比数列的知识来解决。本节内容可以类比等差数列进行教学。

四、学情分析

学生已经已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力，在学完等差数列的基础上，也已经具

有了必要的及数列相关的知识。因此，可以通过生活中的例子引入等比数列的概念；然后，再类比等差通

项的迭加思想引导学生用迭乘的思想推导等比数列的通项公式。这样，学生既学习了知识又培养了能力。

五、教学目标：

1）知识目标：使学生理解等比数列的概念；学会利用等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列；利

用通向公式求项。

2）能力目标：让学生感知数学及生活的普遍联系，培养学生类比的思想方法，掌握迭乘的思想，调动学

生积极观察思考。

3）情感目标：使学生体验数学活动充满着探索，感受数学思维的严谨性，提高学生数学思维的情趣。

4）教学重点及教学难点

教学重点：等比数列的概念

教学难点：等比数列通项的推导，有关等比数列的证明。

六、教学方法：讲授法，讨论法

七、教学过程：

1、导入，设问激疑

师：上课之前，先问大家一个问题：一张报纸（厚度大约为0.1mm）,将它对折50次会有多厚？如果拿

它做云梯能到哪？

（师生互动，一起来分析这道题目）报纸厚度为

初始0.1mm

折叠1次0.1X2=0.1X21

折叠2次0.1X2X2=0.1x2

折叠3次0.1X2X2X2=0.1X23

折叠4次0.1X2X2X2X2=0.1X24

可以猜想得出，折叠50次之后，报纸厚度为0.1X25°。lg250215.05,也就是说25°是一个

250xO.l一

15位整数，2§5°0x0.1nim=-------------------km,这个数字我们不知道他确切的值是多少，但可以知道它是一

1000X1000

个八位数。而地球到月球的距离仅有385400km（六位数）。（让学生感受事实及想象之间的差距）

2、新课引入

回过头来，再次分析报纸的折叠问题。将报纸每次折叠后的厚度，看成是一个数列。

初始0.1mm

折叠1次0.lx2=0.1X21

2

折叠2次0.1X2X2=0.lx2

3

折叠3次0.1X2X2X2=0.lx2

4

折叠4次OJX2X2X2X2=0.lx2

按等差数列来看，它是等差数列吗？

显然不是等差数列，同学们观察一下，这个数列的前项及后项有什么关系？

我们会发现一些特点：从第二项开始，每一项及前一项的比都等于2。

以后，我们就把具有这种特点或特征的数列称为等比数列。今天我们就一起来认识这种新的数列一

等比数列。（板书课题）

（ppt定义）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项及它前一项的比等于同一常数，则这个数列叫等

比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q来表示（q^0）o

师：等比数列的定义还可以用怎样的式子刻画呢？

生：—=q（常数）（n=l,2,3……）

%

师：以上我们学习了等比数列的定义，接下来我们就利用定义一起来判断以下一个数列是否为等比数列。

例1、判断以下数列是否为等比数列？

1）1,2,4,8,16,20....

生：1）是等比数列，因为4_=',（n=l,2,3……）

%2

2）不是等比数列，因为"=2,"=9,不等于同一个常数。

%a54

3）是等比数列，因为&*=q=i

ana

师：有不同意见吗？

生：当aw0时是等比数列，当z=O时不是。

师：由此可以联想到等比数列的项和公比有何限制？

生：61rl手。,q手0.

2、设首项为％,公比为q,它的通项怎么写？

下面，我们类比等差数列，一起来推导等比数列的通项：

在等差数列｛〃〃｝中，

类比推导：

我们用迭乘的方法证明了猜想的正确性，迭乘的方法在这里体现了极大的优越性，当然迭乘不是求数列

通项公式的唯一方法，等我们学完数学归纳法之后，我们还可以给出另一种关于数列通项的推导。我们把

这个结果称为等比数列的通项公式。（w0,qw0.〃£N*）

（及刚学过的知识进行类比）

例2、（已知某些项，求a和q）已知一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第

二项。

解：设这个等比数列的第1项是《，公比是q,则

因此

a2=ar-q

答：这个数列的第1项和第2项分别是—及8

3

例3、已知数列｛%｝和物,｝是项数相同的等比数列，求证数列｛4•也是等比数列。

bn｝

（板书证明）

证明：设数列｛%｝的公比为P,也“｝的公比为q，｛%｝则数列｛4方“｝的第n项和第n+1项分别为：

nln即与。

ax-p~-bx•与%•p"也•q,

因为%+i,包+1=a/'pq\=p%它是一个及n无关的常数，所以数列｛%•2｝是一个以pq为

an-bnaA（pq）

公比的等比数列。

（师生一起总结证明思路）

例4、（已知项，求项）已知｛｝是一个等比数列，在下表中填入适当的数。

an

Q

%。3。5%

28

223

（学生完成教师预先发下的表格，思考）

（课后探索题）已知｛。“｝是一个无穷等比数列，公比为4。思考：

1）取出数列｛%,｝中的奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，请给出证明，并

求出它的首项和公比。

2）在数列｛。，｝中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列有什么特点呢？证明你的猜想。

八、本课小结

这节课，我们一起认识学习了一种新的数列一一等比数列。通过学习，我们知道，这种数列的特点是:

从第二项开始，每一项及前一项的比都是同一个定值，称之为q.

通过及等差数列的类比学习，可以知道等比数列的通项是：n

an=a｝-q-'

九、板书设计

等比数列

证明：设数列｛4｝的公比为P,也“｝的公比为q,｛a｝则

等差：+（〃-1）6?n

nx数列,2｝的第n项和第n+1项分别为：

等比：an=­q~

%・p"T•仇与

通项推导：

%•pn•&1-q",

迭ax

即6仇（P4广与岫（pq）"o

乘

庆|为""+1'""+1。14（的）A

。2BK

思因为----------=-----7―=pq，匕是一个及n

a“。曲小沪

&=q

想

无关的常数，所以数列｛。“•