高中数学：求异面直线的距离的若干方法

高中数学：求异面直线的距离的若干方法

在解某些求异面直线距离的问题时，可从不同的角度对

题目进行分析研究，从而得到若干不同的解法，再从中

选出某些巧妙的解法，即可简便快捷的将题目解出。

已知正方体ABCD-A30D1的棱长为1,求异面直线AP

与AC的距离。

一、直接利用定义求解

如图1,取AD中点M,连画1、MB分别交A】D、AC

于E、F,连BD1，由平面几何知识，易证^MD】，

MF=；MB,阿1=岫，则BD1〃EF。

由%DJ.ADi,A1DJ.AB得A]D,平面ABD],贝ljA】DJ.BDi,同理

AC_LBD],所以，EF_LA1D,EF±AC,即EF为异面直线

A】D与AC的距离，故有EF/BDL^。

此法的关键是作出异面直线的公垂线段。

、转化为线面距离求解

如图2,连A。、c】D,则AC〃平面A0D。设AC、BD

交于O,A©、BRI交于5,连01D,作OEJ_o】D于E,

由ARiJ_平面BB31D知AG-LOE,故OEJ_平面ARR。

所以OE为异面直线A】D与AC的距离。

在Rt^OOP中,OE03=0D00i,则

不

所以异面直线AP与AC的距离为可。

此法是将线线距离问题转化为线面距离问题来解，合

理、恰当地转化是解决问题的关键。

三、转化为面面距离求解

如图3,连屈】、CBi、A0、DC［、BD］,易知平面

A0D〃平面ACE1,则异面直线A】D与AC的距离就是平面

A&D与平面ACB］的距离，易证BD1，平面ACB［、BD】_L平面

A&D,且BD】被平面ACB］和平面A0D三等分，又BD】=君。

B

图3

不

所以异面直线AP与AC的距离为百。

此法是将线线距离问题转化为面面距离问题来解，巧妙

的转化常能收到事半功倍的奇特效果。

四、构造函数求解

如图4,在AP上任取一点E,作EMJ_AD于M,再作

MFLAC于F,连EF,则NEMF=9O。。

设MD=X,则ME=x,AM=l-x,在RtAAMF中,

NFAM=45。，则MF邛…)

所以

1有

当且仅当时，EF取最小值百。

所以异面直线片D与AC的距离为百。

选取恰当的自变量构造函数，即可利用函数的最小值求

得异面直线间的距离。

五、利用体积变换求解

如图5,连屈】、B】C、B】D,贝IJAP〃平面AB]C,设异面直

线AR与AC的距离为h,则D到平面抽2的距离也为

ho

易知S3耳⑻邛，SAACD=；。

由VD-AB|C=MBI-ACD,

得]S&AB|C,h=]S&ACD.B]B

173.11.73

所以]二心了尸1，则卜=丁。

所以异面直线AP与AC的距离为百。

此法是将异面直线的距离转化为锥体的高，然后利用体

积公式求之。

六、利用向量求解

如图6,AB为异面直线a、b的公垂线段，£为直线AB

的方向向量，E、F分别为直线a、b上的任意一点，则

图6

证明：显然丽'二瓶+而+而，AEn=0,FBn=0o

n=(AE+EF+FB)n,

所以与m,

所以|丽祥近百，gp|AB||KHEFnl,

|AB|=^1

所以Inio

把上述结论作为公式来用，即可巧妙地求出某些问题中

的异面直线间的距离。

图7

建立如图7所示的空间直角坐标系，易知而=(。，L1),

AC=(-1,1,0),

DC=(-1,0,0)o

设异面直线A】D、AC的公垂线的方向向量为£=(x，y，z),

[y+z=0,[z=_y,

由二nlAC,得i-x+y=0,解得[z=y.故可取

n=(h1,-1)o