高中数学竞赛专题讲座之二：数列

高中数学竞赛专题讲座之二：数列

一、选择题部分

2

1.（2006年江苏）已知数列｛叫的通项公式区,=/4?+5'则的最大项是⑴）

A.%B.a2C.a3D.a4

2.（2006安徽初赛）正数列满足%=1,〃2=1。，朔〃-2（九N3）,则lg（4oo）=（）

A.98B.99C.100D.101

3.（2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=（p「p2,…，Pn），P的“蔡查罗和”定义为

Sl>S2、…Sn、的算术平均值，其中Sk=pl+p?+…pk（10k0n）,若数列（pl，P2,…，P2006）的“蔡

查罗和”为2007,那么数列（1,Pl,P2,…，P2006）的“蔡查罗和”为（A）

A.2007B.2008C.2006D.1004

4.（集训试题）已知数列｛期｝满足3an+i+an=4（n21）,且a】=9,其前n项之和为S”则满足不等

式|S,『n-6|<—的最小整数n是（）

125

A.5B.6C.7D.8

解：由递推式得：3（an+1-l）-（an-l）,则｛a『l｝是以8为首项，公比为的等比数列,

3

8口-(-；)"]]J]

nn

Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+,,,+(an-1)=-----------=6-6X(--),/.|Sn-n-6|=6X(—)<----,得:

1133125

1十一

3

32>250,・,•满足条件的最小整数n=7,故选C。

6,12005

5.（集训试题）给定数列｛福｝,X1=l,且Xn+尸洋」，则£4二（）

J3-n=\

A.1B.-1C.2+V3D.-2+V3

V3

x+

«~T万r

解：x+i=----T=——，令x=tana,x+i=tan(a+—),x+6=x,xi=l,X2=2+v3,

n.V3nnnn6nn

「3%

2005

X3=-2-V3,X4=-1,X5=-2+A/3,X6=2-V3,x?=1,...，・••有2%〃=七=1。故选A。

n=l

6.（2006陕西赛区预赛）已知数列｛q｝、出｝的前n项和分别为A“，B“记

c=%e+24-4也(〃>1)则数列｛。“｝的前10项和为(C)

A.Aj04-Bl()B.4。2――C.Ao.S]。D.JAU•4o

7.（2006年浙江省预赛）设/（〃）为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比

如"123）=12+22+32=14。记力（“）=/（”），九（〃）=/（"（〃））,左=1,2,3,

则力（x）6（2006）=（D）

A.20B.4C.42D.145

解：将/（2006）=40记做2006—40,于是有

2006—40—16—37—58—89—145—42—20—4—16-…

从16开始，，是周期为8的周期数列.

故力（）06（2006）=力004a6）="250*8（16）=£（16）=145.正确答案为D。

二、填空题部分

1.数列｛%｝的各项为正数，其前n项和S“满足Sn=-（an+—），则*=一五-斤一.

2.（2006天津）已知。，氏c,d都是偶数，且0<avZ?<cvd,d-a=90f若a,b,c成

等差数列，"成等比数列，则Q+b+c+d的值等于—194.

3.（2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1,3,

6,10,•­•,记这个数列前n项和为S（n）,则]皿/—=_______.1

—Kos（〃）II/

4.（2006年江苏）等比数列｛叫的首项为q=2020,公比q=—L

,、I51071051

设）（〃）表示这个数列的前九项的积，则当"=12时,./

/（〃）有最大值.

5.在x轴的正方向上，从左向右依次取点列｛A/,/=1,2,…，以及在第一象限内的抛物线

3

/=]X上从左向右依次取点列｛4｝,左=1,2,…，使AAl&A（左=1,2,…）都是等

边三角形，其中人是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是迦.

【解】：设第n个等边三角形的边长为明。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点8.

的坐标为（q+&+…+。〃一1+T扃+y

再从第n个等边三角形上，我们可得8“的纵坐标为=等“"°从而有

"a"=+的+…++今），即有=a,+a2+•••+«„_,»

乙V乙、乙）乙乙

a1c

由止匕可得4]+。2+…+。“=—--%(1)

1222

以及，+口2+…+4-1=智■+(2)

(1)一(2)即得an=(a,,-an_y)+(a„-a,,^)(«„+an_,).

变形可得(a“一a,--1)(%+a,-)=0.

由于a“+a,i声0,所以an-an_i=1o在(1)式中取n=1,可得

而6w0,故。]=1。

因此第2005个等边三角形的边长为々2005=20050

6.(2005年浙江)已知数列满足(〃+1)%〃+|=x〃+〃，且百=2,则％2(X)5=——-一.

2005!

【解】：由(〃+l)x“+]=X“+〃，推出X.+]-I=±_-o因此有

n+l

x-1x„_I-1x_-1匹-11

x—]=----n--------=-----------------=------------n----2--------------=...=--------------------------------------~----------------.

〃+1(〃+1)〃(〃+1)〃(〃-1)(T?+1)7?(H-1)---2(〃+1)!

口n七1Ji丁一rzn2005!+1

即有X”+1=----------------Hlo从而可得x=-------o

5+1)!2(0x0)552005!

7.（2005全国）记集合T={0,123,4,5,6},M=号+叁+字■+墨|”=1,2,3,4},将M中

的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）

55635562

A+++B+++

一

一

一

一

-一-

7?7

72737273743

o411。

一

一-

c+k-D-十

++一+

-一

7774

73747273

解：用…4（表示k位P进制数，将集合M中的每个数乘以7。得

32

M'={^-7+a2-7+-7+a41a1.&T,i=1,2,3,4}={fal«2«36t4]71«,G=1,2,3,4}.

M'中的最大数为[6666上=[24001。。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的

第2005个数是2400-2004=396。而[396]„）=[1104「将此数除以74，便得M中的数

1104…八

一+^+―?+•故选C.

7727374

8.（2004全国）已知数列为，4，。2,…，满足关系式（3-。“+1）（6+。“）=18,且%=3,

则X—的值是”

i=oai

解：设〃=’,"=0,1,2,...,则（3--匚）（6+-!-）=18,

%%b,

即3%—6ydM=2〃"，%+g=2S,"）故数列依+J是公比为

2的等比数列，

n+1n+,

〃+：=2"（瓦+l）=2«（-+1）=lx2bn=1（2-l）o

33。0333

£二口=及2，一)=要(21)-(n+1)=1(2n+2-«-3).

i=vaii=0i=0332-1

9.（2005四川）设r,s"为整数，集合｛a|a=2、+2,+2,0Vf<s<r｝中的数由小到大组

成数列｛a“｝：7,11,13,14,.则&<=⑶

解：•••「,5/为整数且0Wf<s<r,最小取2,此时符合条件的数有C；=1

r=3,s,f可在0,1,2中取，符合条件有的数有C；=3

同理，r=4时，符合条件有的数有C：=6

r=5时，符合条件有的数有=10

厂=6时，符合条件有的数有C；=15

厂=7时，符合条件有的数有=21

因止匕，46是厂=7中的最小值，即/6=20+21+27=131

三、解答题部分

1.（20。6天津）已知数列｛a“｝满足q=p,a2p+1,an+2-2an+i+an-n-20,其

中p是给定的实数，〃是正整数，试求〃的值，使得明的值最小.

【解】令勿=。”+1-凡，〃=1,2,…由题设a,+2-2a“+]+a“=〃-20,

.一!

有4+i--20，且仇=1...........5分于是Z（，+|-々）=Z（i-20）,

i=li=l

即么一々=[i+2+・・・+（〃-1）]一2〃（〃一1）.

.](72-1)(/?-40)/y

..£?,=-----------------+1...........................1i0n7T

〃2

又4=p,a2=P+1，则％=2a2-4+1-20=〃-17va1<a2.

・•・当〃”的值最小时,应有〃之3,〃“<%+],且

即2=",用_”“20,bn_t^an-an_｝<0..............................15分

(M-1)(/1-40)>2n>40

由（:※）式，得由于〃N3,且几EN*,解得

(H-2)(H-41)<-2n<40

・・・当〃=40时，的值最小....................................20分

2.(2006陕西赛区预赛)(20分)已知sin(2c+0=3sin/7,设tana=x,tan/?=y，记

y=/*).

X

(1)求/(%)的表达式；/(%)=

l+2k

(2)定义正数数列｛a,,｝；"=2%•/(4)(〃eN*)。试求数列｛4｝的通项公式。

3.(2006安徽初赛)已知数列｛%｝(及20)满足%=0,对于所有“e乂，有

a„+,=2^30a„(a„+1)+1lq,+5,求a“的通项公式.

4.(2006吉林预赛)设｛aj为一个实数数列，ai=t,an+i=4an(l—厮)。求有多少个不同的实数

t使得azoxO.(22004+1)

5.(2006年南昌市)将等差数列｛a,,｝:4=4〃-1(〃eN*)中所有能被3或5整除的数删去

后，剩下的数自小到大排成一个数列｛。“｝,求勿的值.

解:由于a*-=60，故若。“是3或5的倍数，当且仅当«„+15是3或5的倍数.

现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+8)=(0,60)U(60,120)U(120,180)5-，

注意第一个区间段中含有｛a„｝的项15个，即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59淇

中属于｛包｝的项8个，为=7,2=11,优=19,

b4=23也=31也=43,仿=47,4-59,

于是每个区间段中恰有15个｛%｝的项,8个｛切｝的项，

且有为"一瓦=60左,kWN』WrW8.

由于2006=8X250+6,而仄=43所以23=60x250+4=60x250+43=15043.

6.(2004湖南)设数列｛。“｝满足条件：卬=1,。2=2,且%+2=«„+|+(〃=1,2,3,­•■)

求证：对于任何正整数n,都有五+1-1+-/=

,{a„

1

证明：令“0=1,则有ak+]=ak+ak_x,且1=刍-+%•(&=1,2,…)，于是

ak+\ak+\

n=由算术-几何平均值不等式，可得

k=Tak+\k=\ak+\

1%。2,Mo

14n-----,.......十n...........

Va2a3an+\V“2a3an+\

注意到a。=q=1,可知IN—1H—/,即@21H—7=

+1,当〃为偶数时,

2

年上海）数列｛4｝定义如下：％=1,且当〃22时，a

7.（2006n1

,当〃为奇数时.

%

30

己知见=广，求正整数n.

解:由题设易知，a“>0,n=l,2,….又由q=1,可得，当n为偶数时，可〉1；当〃（>1）

是奇数时,（4分）

由〃=把〉1,所以n为偶数，于是/=型—1=〃<1,所以，2是奇数.

"1919192

19n108n—2

于是依次可得：a=—>1,2—1是偶数，a=--\=—<\,〜是奇数,

pn112¥nl11114

an_2=->1,是偶数,a„_6=--l=-<l,上是奇数，

84V8