2025年甘肃省白银八中高考数学质检试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年甘肃省白银八中高考数学质检试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|−2≤x≤2}，B={x|log2x<2}，则A∩B=A.{x|−2≤x<4} B.{x|−2≤x≤2} C.{x|0<x<4} D.{x|0<x≤2}2.某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下(单位：cm3)：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24.估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为A.21 B.21.5 C.22 D.22.53.已知复数2+3ia−i是纯虚数，则实数a的值为(

)A.−32 B.32 C.−4.若tan(α−β)=3，tan2α−tan2A.−12 B.−2 C.−35.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1A.x216+y212=1 B.6.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为(

)A.2π3 B.2π C.7π3 7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2−b2=A.π12 B.5π12 C.7π128.已知函数f(x)=ax−lnx−1,x>0,−2x3−ax2+1,x≤0,A.[1,+∞) B.[1,22] C.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知双曲线C：x24−y2b2=1(b>0)的右焦点为F，直线l：x+by=0是CA.C的虚轴长为22

B.C的离心率为6

C.|PF|的最小值为2

D.过点P(2,2)能作10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1A.过点E有且只有一条直线与直线AB和A1D1都相交

B.过点E有且只有一个平面与直线AB和A1D1所成角相等

C.过A，D1，E三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为22+511.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目(若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质).函数φ(n)以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如φ(10)=4，(10与1，3，7，9均互质)则(

)A.φ(12)+φ(17)=20 B.数列{φ(2n+1)}是单调递增数列

C.若p为质数，则数列{φ(pn)}为等比数列 D.数列{n三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(2,2)，向量b在向量a方向上的投影向量的模长为12|a|，写出一个满足条件的向量13.排球比赛实行“五局三胜制”(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为______．14.已知正四棱锥M−P1P2P3P4的底面边长与高均为2，设D是正方形P1P2P3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；(同一组数据用该区间的中点值作代表)

(2)根据频率分布直方图，求样本的80%分位数(四舍五入精确到整数)；

(3)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数(四舍五入精确到整数)．

附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则16.(本小题15分)

已知函数f(x)=(a−x)ex，a∈R．

(Ⅰ)若a=2，求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；

(Ⅱ)若不等式f(x)>1−x没有整数解，求实数a17.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2n=2an+1，S4=4(a3−1)，n∈N∗．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，三角形PAD是正三角形，M是棱PC的中点，设平面PAD与平面PBC的交线为l．

(1)证明：l//平面ABCD；

(2)证明：BC⊥DM；

(3)若二面角P−AD−B为60°，求直线DM与平面PAB所成角的正弦值．19.(本小题17分)

抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，直线l：y=2过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线l1和l2，且l1，l2分别交x轴于点A，B，交l于点M，N．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN；

参考答案1.D

2.B

3.B

4.D

5.A

6.D

7.B

8.D

9.ACD

10.AD

11.AC

12.(1,1)(答案不唯一)

13.648114.2

15.解：(1)设样本平均数的估计值为x−，

则x−=10(40×0.01+50×0.02+60×0.03+70×0.024+80×0.012+90×0.004)=62．

(2)因为前几组的频率依次为0.1，0.2，0.3，0.24，

所以样本的80%分位数为65+0.8−0.60.24×10=65+253≈73．

(3)由(1)可知样本平均数的估计值μ=62，σ≈14，

所以90=μ+2σ，

则P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)=12(1−0.9545)=0.02275．

所以估计能参加复试的人数为2000×0.02275≈46．

16.解：(1)当a=2时，f(x)=(2−x)ex，

令f′(x)=(1−x)ex=1，即1−x=e−x，

令φ(x)=e−x+x−1，

则φ′(x)=−e−x+1=ex−1ex，

令φ′(x)<0，得x<0，令φ′(x)>0，得x>0，

则φ(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

所以φmin(x)=φ(0)=0，

故有且仅有x=0，f′(0)=1，

此时f(0)=2，

所以所求切线方程为y=x+2．

(2)由f(x)=(a−x)ex>1−x得aex>xex−x+1，即a>x−x−1ex，

所以a>x−x−1ex没有整数解，

设ℎ(x)=x−x−1ex，ℎ′(x)=1−2−xex=ex+x−2ex，

设t(x)=ex+x−2，t′(x)=ex+1>0，所以t(x)单调递增，

且t(0)=−1<0，t(1)=e−2>0，

所以存在唯一的x0∈(0,1)，使t(x0)=ex0+x0−2=0，即ℎ′(x0)=0，

当x∈(−∞,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，

当x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，

又ℎ(0)=ℎ(1)=1，所以当x∈Z时，ℎ(x)≥1，

所以当a≤1时，a>ℎ(x)没有整数解，即f(x)>1−x没有整数解．

17.解：(1)由等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2n=2an+1，S4=4(a3−1)，n∈N∗，

由等差数列的通项公式与求和公式，可得a1+(2n−1)d=2a1+2(n−1)d+14a1+6d=4(a1+2d−1)，解得a1=1d=2，

∴{an}的通项公式为an=2n−1．

(2)(i)∵bn=k,n=2k−1,bn−1+k,n=2k,其中k是正整数，

∴b1=1，b2=b1+1=2，b3=2，b4=b3+2=4．

(ii)i=12nbi=b1+b2+b3+…+b2n=(b1+b3+b5+…+b2n−1)+(b2+b4+b6+…+b2n)

=(b1+b3+b5+…+b2n−1)+[(b1+1)+(b3+2)+(b5+3)+…+(b2n−1+2n−1)]．

=2(b1+b3+b5+…+19.解：(1)因为直线l：y=2过抛物线C的焦点，

所以p2=2，

解得p=4，

则抛物线C的方程为x2=8y；

(2)因为△PMN为阿基米德三角形，

所以l1，l2分别与抛物线C切于点M，N，

设点M在y轴左侧，

此时M(−4,2)，N(4,2)，

易知y=18x2，

可得y′=14x，

所以l1的斜率为−1，l2的斜案为1