2025年河北省高考数学全过程纵向评价试卷（四）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年河北省高考数学全过程纵向评价试卷（四）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|−1<x<3}，集合B={x∈N|x2−5x−6<0}，则A∩B的子集个数为A.2 B.4 C.8 D.162.已知i为虚数单位，复数(1−3i)z=3+4i，则|z|=(

)A.1 B.2 C.1023.已知向量a=(1,2)，向量b=(λ,3)，若a与b的夹角为45°，则自然数λ=(

)A.1 B.3 C.5 D.94.数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=3n−2,A.37 B.12 C.475.函数f(x)=tan2x与g(x)=(12)|x|的图象在x∈(−2,5)A.2 B.3 C.4 D.56.已知函数y=f(x−4)在R上单调递增，y=f(ln(mx−3))在(−∞,−1)上单调递减，则m的取值范围为(

)A.(−∞,−3) B.(−∞,−3] C.[−3,0) D.(−3,0)7.已知球O的体积为323π，在球O的内部放置一个圆锥，则能放下的圆锥的最大体积是(

)A.25681π B.83π C.8.已知函数f(x)=x2+2x+3,x≤023lnx+4A.(22,3)∪(3,23] B.(0,2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某市高三年级学生联考，学生的数学成绩X近似服从正态分布N(110,25)，则下列说法正确的是(

)A.该市高三年级学生的数学成绩的方差是5

B.从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小

C.P(X>110)>12

D.从本次联考数学成绩中随机调查3名学生的成绩，至少有1个成绩低于11010.以下选项正确的是(

)A.若等比数列{an}的公比为q，则“q>0”是“{an}是递增数列”的必要条件

B.函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的图像关于x=−π12对称，则ab=3−1

C.函数11.已知椭圆T：x24+y23=1，过平面直角坐标系原点O作两条互相垂直的直线分别交椭圆T于点A、CA.四边形ABCD一定有内切圆 B.四边形ABCD一定有外接圆

C.四边形ABCD面积的最小值为487 D.四边形ABCD周长的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.双曲线C：y2a2−x213.曲线y=exx+1在x=0处的切线与直线ax+3y−4=0垂直，则a=14.在三棱锥P−ABC中，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°且PA⊥平面ABC，小明和小亮两名同学做游戏，第一次每人从三棱锥P−ABC的表面中任取一个平面，取哪个平面相互独立，取出的两个平面若垂直，则游戏结束，否则游戏继续；第二次每人从三棱锥P−ABC的棱中任取一条棱，取哪条棱相互独立，取出的两条棱若共面，则游戏结束，否则继续第一次的游戏操作；如此反复直到游戏结束，则游戏在第三次结束的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3bsinC−c(2sinC−cosB)=0，且C=23π．

(1)求A的大小；

(2)若AC边上的中线16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC⊥CD，AD//BC，BC=CD=2，AD=4，PB<AB，E是棱PC的中点，若侧棱PB⊥底面ABCD，且直线PA与平面PCD所成角的正弦值为63．

(1)求PB的值；

(2)求平面PAB与平面PCD17.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0)，过F作互相垂直的两条直线l1，l2，这两条直线与抛物线C分别交于A，B和D，E两点，其中点A，D在第一象限．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求四边形ADBE面积的最小值；

(3)证明：直线AD18.(本小题17分)

已知函数m(x)=(x+1)lnx，n(x)=a(x−1)．

(1)求m′(x)的最小值；

(2)若函数f(x)=m(x)−n(x)有三个零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，

19.(本小题17分)

已知数列{an}是无穷数列，且an∈N∗，an+1的值为an在a1，a2，a3，⋯，an中所出现的次数，记Sn为数列{an}的前n项和．

(1)若a1参考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.D

6.B

7.A

8.D

9.BD

10.ACD

11.AC

12.y=±13.6

14.512815.解：(1)因为3bsinC−c(2sinC−cosB)=0，且C=23π，

由正弦定理可得：3sinBsinC−sinC(2sinC−cosB)=0

又sinC≠0，所以3sinB−2sinC+cosB=0，

即sin(B+π6)=sinC=32，

又因为B∈(0,π3)，B+π6∈(π6,π2)，

所以B+π6=π3，即B=π6，

可得A=π6；

(2)由(1)得B=A=π6，则△ABC是以C为顶角的等腰三角形，

设CD=x>0，则AC=BC=2x，

在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cosC=4x2+x2+2x2=28，

解得x=2，

即AC=BC=4，

由正弦定理可得ABsinC=ACsinB，即AB32=412，

可得AB=43，

所以C△ABC=4+4+43=8+43．

16.解：(1)连接BD，

由直角梯形ABCD满足BC⊥CD，AD//BC，BC=CD=2，AD=4，

可得，BD2=BC2+CD2，

所以可得BD=22，

取AD的中点F，连接BF，

计算可得BF=2，AF=2，所以AB=22，

所以AB2+BD2=AD2，

所以AB⊥BD，以直线BD为x轴，直线BA为y轴，直线BP为z轴建立坐标系，

令P(0,0,t)，

A(0,22,0)，B(0,0,0)，C(2,−2,0)，D(22,0,0)，

所以PA=(0,22,−t)，

PC=(2,−2,−t)，DC=(−2,−2,0)，

令平面PCD的法向量为n1=(x,y,z)，

则n1⊥PCn1⊥DC，则n1⋅PC=0n1⋅17.解：(1)因为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0)，

即p2=1⇒p=2，

所以抛物线C的标准方程y2=4x；

(2)当直线l1的斜率为0时，不符合题意，

当直线l1的斜率不为0时，设直线l1：x=my+1，

联立y2=4xx=my+1，

可得y2−4my−4=0，

Δ=16m2+16>0恒成立，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则y1+y2=4m，y1y2=−4，

所以|AB|=1+m2(y1+y2)2−4y1y2=4(m2+1)，

同理|ED|=4(1m2+1)，

则四边形ADBE的面积为S=12|AB||ED|=8(2+m2+1m2)≥32，

当且仅当m218.解：(1)函数m(x)=(x+1)lnx，定义域为(0,+∞)，

m′(x)=lnx+1+1x，

令v(x)=m′(x)=lnx+1+1x，

v′(x)=1x−1x2=x−1x2，

当x∈(0,1)时，v′(x)<0，∴m′(x)在x∈(0,1)单调递减，

当x∈(1,+∞)时，v′(x)>0，∴m′(x)在x∈(1,+∞)单调递增，

∴m′(x)min=m′(1)=2，

(2)①：f(x)=(x+1)lnx−ax+a=0的三个根分别为x1，x2，x3，

则a(x−1)=(x+1)lnx，

当x=1时，f(x)=0，∴x=1是方程(x+1)lnx−ax+a=0的一个根，

当x≠1时，由a(x−1)=(x+1)lnx，得a=(x+1)lnxx−1，

设g(x)=(x+1)lnxx−1，

则g′(x)=(lnx+1+1x)(x−1)−(x+1)lnx(x−1)2=x−2lnx−1x(x−1)2，

设ℎ(x)=x−2lnx−1x，则ℎ′(x)=1−2x+1x2=(x−1)2x2≥0恒成立，

∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，

∵ℎ(1)=0，∴x∈(0,1)，ℎ′(x)<0，g(x)单调递减；

x∈(1,+∞)，ℎ′(x)>0，g(x)单调递增，

∵x→1lim(x+1)lnxx−1=x→1limlnx+1+1x1=2，

∵lnx≤x−1，

下证明：构造s(x)=lnx−x+1，求导可得s′(x)=1x−1=1−xx，

易得x∈(0,1)，s′(x)>0，x∈(1,+∞)时，s′(x)<0，

∴s(x)=lnx−x+1在x∈(0,1)单调递增，在x∈(1,+∞)单调递减，

s(x)max=s(1)=0，

∴lnx≤x−1，

∴ln1x≤1x−1，即lnx≥1−1x，

当x∈(0,1)时，(x+1)lnxx−1≥(x+1)(1−1x)x−1=1+1x，

对∀a>2,∃x0<1a−1，使得g(x0)>a，

当x∈(1,+∞)时，(x+1)lnxx−1≥lnx，

对∀a>2,∃x0>ea，使得g(x0)>a，

∴a的取值范围是(2,+∞)．

②f′(x1)−f′(x3)>0，证明如下：

由①可知，x1<1<x3，其中x2=1．

g(1x)=1x+11x−1ln1x=1+x1−xln1x=x+1x−1lnx=g(x)，

∴x1=1x3，即x1x2x3=1，

∵f′(x)=l