2024-2025学年河北省承德市双滦区高二下册期初考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年河北省承德市双滦区高二下学期期初考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（）A.B. C. D.2.已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知为等差数列的前n项和，若，，则公差（）A. B.1 C.2 D.34.如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（）A. B. C. D.5.已知直线与直线，且，则的最小值为（）A.15 B. C.12 D.6.如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为()A. B. C. D.7.在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为（）A.4 B.4或 C.6或 D.68.已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中错误的是（）A.弦AB的最小值为B.若，则三角形的周长C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）9.点在圆：上，点在圆：上，则（）A.PQ的最小值为2B.PQ的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为D.两个圆相交弦所在直线的方程为10.(2023·四川省成都市树德中学期中)如图，在四棱锥中，是矩形，侧棱底面，且，分别为的中点，为线段上的动点，则()A.四面体每个面都是直角三角形B.

C.当点异于点时，平面D.直线和平面所成角的正切值为11.已知an为等差数列，满足2a2−a4=1A.数列an的首项比公差多1 B.数列an的首项比公差少1

C.数列bn的首项为2 D.数列三、填空题（本大题共3小题，共15分）12.过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点.设为线段的中点，为坐标原点，则__________．13.如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则_________.14.毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1,5,12,22,⋯，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为，若这些数构成一个数列，记为数列an，则a1四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知的圆心在x轴上，经过点和．（1）求的方程；（2）过点的直线l与交于A、B两点．（ⅰ）若，求直线l的方程；（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．16.（本小题15分）如图，长方体中，，点为的中点，平面.（1）求证：平面；（2）求的长，及二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.17.（本小题15分）已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n.(1)求a1，a2；(2)设cn＝an＋1－2an，求证：数列{cn}是等比数列；(3)求数列的前n项和Tn.18.（本小题17分）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）求四棱柱被平面截得的截面周长；（3）求直线与平面所成角的正切值.19.（本小题17分）己知椭圆与椭圆有相同的焦点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知过圆上一点的切线方程可整理成，经计算知过椭圆上一点的切线方程也有类似的写法.设为上一动点，直线与相切于点.（i）原点为，若直线与的斜率均存在，分别表示为，求；（ii）过原点作圆的两条切线，设两条切线与椭圆交于两点，则与是否相等？说明理由.答案：1.【正确答案】B设圆心为，因为圆与轴相切，所以圆的半径为r=b代入，解得，所以圆的方程为，即，所以选择B.2.【正确答案】A因为双曲线的离心率为，因为，则；所以可得，故双曲线的渐近线方程为．故选：A.3.【正确答案】D由题意：因为，所以．故选：D.4.【正确答案】A因为三棱柱，所以四边形是平行四边形，所以由平行四边形法则可知，故，所以，又因为，所以，，，则线段的长度为．故选：A．5.【正确答案】D由得，即，由于，故，当且仅当，即时取“=”，故的最小值为.故选：D.6.【正确答案】A建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，，，所以，设平面的法向量为，由m→⋅A.所以与平面所成角的大小为，所以选A．7.【正确答案】B设插入的两个数分别为，，依题意得：，，成等比数列．故(1).因为，，成等差数列，所以(2).联立(1)(2)，消去得：，即，解得：或当时，，所以插入的两个数的和为；当时，，所以插入的两个数的和为.故选：B.8.【正确答案】D分析选项A：当直线垂直于轴时，弦最短.将代入双曲线方程，可得，即，解得，所以，A选项正确.分析选项B：由双曲线的定义，，.的周长为，B选项正确.分析选项C：设，，，则，.将、两点代入双曲线方程相减可得：，，两式相减得：，即，因为，，所以，C选项正确.分析选项D：若直线的斜率为，由双曲线的渐近线斜率为，当直线与渐近线平行时是极限位置.因为直线的斜率为，所以，又，可得，即，D选项错误.综上，答案是D.9.【正确答案】BC由已知圆的方程可得，半径为1，，半径为1，圆心距为，所以两圆相离，没有公共弦，故D选项不正确.又点在圆上，点在圆上，所以，，故A错误，B正确；对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确；故选：BC．10.【正确答案】BC因为，，在中，为中点，由于只有在等腰三角形中底面上的高才能垂直底面，由于不是等腰，则与不垂直，则在四面体有的面不是直角三角形，故A不正确；分别为的中点，则在中，因为平面，平面，所以平面.C正确以点D为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则，则可判断.B正确；，则方向向量为.平面的法向量设直线和平面所成角为，则，则，D错误.故选：BC11.【正确答案】AD设an的公差为d，由2得2a1+d所以A正确，B错误．设bn的公比为q，由b6b3=所以C错误，D正确，故选：AD.12.【正确答案】1对于双曲线，可得，，则，左焦点，圆的圆心为，半径.设双曲线右焦点为，因为为中点，为线段中点，由中位线定理知，又，即，所以.连接，，在中，，，根据勾股定理得，，则.综上，答案为.13.【正确答案】建立如图所示空间直角坐标系，由题知，，所以，设平面的法向量为n→=所以，所以.设，则，因为平面，则，所以，所以，所以，所以.14.【正确答案】92336记第n个图形的点数为an，由题意知a1=1a3−a2=1+3×2累加得an即an=n2(3n−1)所以a115.【正确答案】解：（1）因为的圆心在x轴上，设圆心为，所以，解之得，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为（2）①当时，圆心到直线的距离为，（ⅰ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，满足题意；（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.②当时，圆心到直线的距离最大，此时，AB取最小值，因为，则，所以直线的方程为，.16.【正确答案】解：（1）连接交于F，连接，因为四边形为正方形，故F为的中点，因为点为的中点，所以,又因为平面，平面，所以平面；（2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，则,因为平面，所以，即，则，又因为表示长度，所以，即；所以平面的法向量可取为，平面的法向量可取为，则二面角的余弦值，由原图可知二面角为钝角，故其余弦值为；（3）由题意知，平面的法向量为，故点到平面的距离为.17.【正确答案】(1)解∵a1＝S1,2a1＝S1＋2，∴a1＝S1＝2.由2an＝Sn＋2n，知2an＋1＝Sn＋1＋2n＋1＝an＋1＋Sn＋2n＋1，∴an＋1＝Sn＋2n＋1，①∴a2＝S1＋22＝2＋22＝6.(2)证明由题设和①式知an＋1－2an＝(Sn＋2n＋1)－(Sn＋2n)＝2n＋1－2n＝2n，即cn＝2n，∴cn+1∵c1＝21＝2，∴{cn}是首项为2，公比为2的等比数列．(3)解∵cn＝2n，∴＝n+12n+1∴数列的前n项和Tn＝＋＋＋…＋n+12n+1，Tn＝＋＋…＋n2n+1＋n+12n+2，两式相减，得Tn＝＋＋＋＋…＋12n+1－n+12n+2＝＋－n+12n+2＝－12n+1－n+12n+2＝－n+3∴Tn＝－n+32n+118.【正确答案】解：（1）因为四边形是菱形，为的中点且，所以，因为为直四棱柱所以平面平面，因为平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因为，且平面，所以平面.（2）因为平面，所以平面与平面的交线与平行，所以交线为，连接，，，则四棱柱被平面截得的截面为四边形，，，，因为，所以，因为，所以，所以四边形的周长为.（3）过点作DG⊥CE，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以点在平面上的投影在上，所