2024-2025学年江苏省南京市高一下册3月月考数学学情检测试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省南京市高一下学期3月月考数学学情检测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，若向量，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标运算求解即可.【详解】因为，所以，解得.故选：C2.若，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由、，结合已知即可求.【详解】∵，∴.故选：C3.已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由投影向量计算公式，可得答案.【详解】在上的投影向量.故选：C.4.在中，若，则是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形【正确答案】C【分析】利用正弦两角和差公式即可判断三角形的形状.【详解】由于，故，从而.所以是直角三角形，故选：C.5.已知，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用两角和差的正弦公式求出，，再结合同角三角函数的基本关系变形求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，解得，，由同角三角函数的基本关系得，，故D正确.故选：D6.一艘船在A处，灯塔S在船正北方向，船以100海里/小时的速度向北偏东30°航行，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船南偏西75°方向上．此时灯塔S与船B之间的距离为（）海里A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由题意作图，利用正弦和角公式与正弦定理，可得答案.【详解】由题意可作图如下：在中，，，，，由正弦定理可得，则.故选：A.7.如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】因为，,在中，.故选：B8.在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由得，由利用正弦定理边化角结合两角和的正弦求得，进而得，再根据利用两角差的正弦公式结合辅助角公式得到并求值域即可.【详解】在中，因为，所以，，所以因为，由正弦定理得,所以，即，所以,由，解得所以，所以的范围是.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.下列化简结果是的选项为（）A. B. C. D.【正确答案】AB【分析】逆用两角和与差的正弦公式计算可判断A；逆用二倍角的正弦公式可判断B；逆用两角和与差的正弦公式结合诱导公式计算可判断C；与对比可判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，.对于D，，故D不正确.故选：AB.10.下列命题正确的是（）A.在中，是的充要条件B.在中，角所对的边分别为，若，则C.在中，角所对的边分别为，若三角形有两解，则的取值范围为D.在中，，则为锐角三角形【正确答案】AC【分析】利用正弦定理，可得判定A正确；结合正弦定理求得，的有两种情况可判定B错误；由正弦定理可得求得的取值范围为，可判断C正确；由正弦定理得，结合余弦定理得，可判断D错误.【详解】对于A中，在中，由得，可得，可得，反之，由得，即，则，所以A正确；对于B中，在中，，由正弦定理知，即，得或.故B不正确；对于C，在中，，若三角形有两解，则即故C正确；对于D，在中，，由正弦定理得，则，根据余弦定理知,所以是钝角，故D不正确.故选：AC.11.在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（）A.B若，则C.D.若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为【正确答案】AC【分析】对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由得，再利用数量积求模即可判断B不正确；对于C，由知分点的位置求出即可判断C正确；对于D，由题意利用正弦定理求得得或，当时，由此判断D不正确.【详解】对于A，设，因为则，，由共线，得解得，所以，故A正确；对于B，由得，所以所以，故B不正确；对于C，由知是的中点，所以，，又，所以，所以，，故C正确；对于D，设的三边分别为，依题意得，由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以，由，得或，当时，，故D不正确.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，满足，，且，则，夹角的余弦值为________．【正确答案】【分析】首先根据得到，再利用夹角公式求解即可.【详解】，解得，所以.故13.________．【正确答案】2【分析】利用余弦二倍角，辅助角公式和诱导公式化简求解即可.【详解】.故214.如图所示，已知点是的重心，过点作直线与、两边分别交于、两点，且，，则________；的最小值为________．【正确答案】①.②.【分析】由题可知，设，化简得出，根据平面向量的基本定理可求出的值；由已知得出，可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】因为为的重心，延长交于点，则为的中点，且，由重心的几何性质可知，因为、、三点共线，设，即，所以，，因为，，则，，则，因为、不共线，所以，，，则，，故，即，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，且与的夹角为.（1）求；（2）若向量，求实数的值．【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）由向量数量积定义与运算律，可得答案；（2）由向量数量积的运算律，根据垂直向量的数量积为零，可得答案.【小问1详解】，，所以.小问2详解】由，则，即，，即，或.16.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据给定条件，利用差角的正切公式计算得解.（2）由（1）的结论，利用齐次式法计算得解.（3）由（1）及已知求出，再确定角的范围即可.【小问1详解】由，得.【小问2详解】由（1）得.【小问3详解】依题意，，由，，得，，而，则，所以.17.如图，在中，已知，是边上一点，，，.（1）求的值；（2）求的长；（3）求的面积.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用余弦定理求解即可.（2）首先根据题意得到，从而得到，再利用正弦定理求解即可.（3）首先利用正弦定理得到，从而得到，再利用面积公式求解即可.【小问1详解】在中，，，，由余弦定理可得.【小问2详解】因为，所以，所以，在中，，，，由正弦定理可得.【小问3详解】在中，，，所以，在中，由正弦定理可得，，所以，.18.已知函数．（1）求的周期及在上的值域；（2）已知锐角中,，且的面积为，，求边上的中线的长．【正确答案】（1），（2）2【分析】（1）根据题意得到，再求周期和值域即可.（2）首先根据题意得到，根据面积公式得到，利用余弦定理得到，再根据求解即可.【小问1详解】，因为，所以，所以，所以在上的值域.【小问2详解】因为为锐角三角形，所以，，又，所以，即，因，所以，在中，由余弦定理得，所以，因为为边上的中线，所以，所以，所以.即边上的中线的长为19.我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时，使得的点即为“点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题:已知的内角所对的边分别为.（1）若，则①求；②若，设点为的“点”，求；（2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值.【正确答案】（1）①；②；（2）.【分析】（1）①由正弦定理，边化角，利用两角和的正弦公式化简，即可求解；②由三角形面积公式及向量数量积求解；（2）由三角恒等变换可知，再设，，，，得到，结合三个余弦定理表示，和，勾股定理确定等量关系，再结合基本不等式