微分中值定理教案

微分中值定理教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解并掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件和结论。能够运用微分中值定理解决一些简单的证明问题和实际应用问题。2.过程与方法目标通过定理的推导和证明，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。引导学生经历从特殊到一般的数学研究过程，提高学生的归纳总结能力。3.情感态度与价值观目标激发学生对数学的学习兴趣，培养学生严谨的治学态度。让学生体会数学知识之间的内在联系和相互转化，感受数学的和谐美。二、教学重难点1.教学重点罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容及证明。运用微分中值定理进行相关证明和应用。2.教学难点中值定理证明思路的理解和掌握。如何引导学生巧妙地构造辅助函数来证明相关问题。三、教学方法讲授法、讨论法、启发式教学法相结合四、教学过程（一）课程导入（5分钟）通过回顾导数的定义和几何意义，提问学生：导数反映了函数在某一点处的变化率，那么函数在一个区间上的整体变化情况与导数有什么关系呢？引出本节课要学习的微分中值定理，它将建立函数在区间上的整体性质与导数之间的联系。（二）知识讲解1.罗尔定理（15分钟）首先给出罗尔定理的内容：如果函数\(y=f(x)\)满足：在闭区间\([a,b]\)上连续；在开区间\((a,b)\)内可导；在区间端点处的函数值相等，即\(f(a)=f(b)\)，那么在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f'(\xi)=0\)。然后结合函数图像进行直观解释：例如\(y=x^21\)在\([1,1]\)上满足罗尔定理的条件，通过观察图像可以发现，在\((1,1)\)内存在一点使得切线水平，即导数为\(0\)。接下来进行证明：设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，在开区间\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)。因为\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，所以根据闭区间上连续函数的性质，\(f(x)\)在\([a,b]\)上必有最大值\(M\)和最小值\(m\)。情况一：若\(M=m\)，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒为常数，此时对于任意\(x\in(a,b)\)，都有\(f'(x)=0\)，定理显然成立。情况二：若\(M\gtm\)，由于\(f(a)=f(b)\)，所以\(M\)和\(m\)中至少有一个不等于\(f(a)\)和\(f(b)\)。不妨设\(M\neqf(a)\)，则在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f(\xi)=M\)。因为\(f(x)\)在\(\xi\)处可导，根据费马引理（函数在某点取得极值，且在该点可导，则导数为\(0\)），可得\(f'(\xi)=0\)。同理，若\(m\neqf(a)\)，也能得到相同的结论。2.拉格朗日中值定理（20分钟）给出拉格朗日中值定理的内容：如果函数\(y=f(x)\)满足：在闭区间\([a,b]\)上连续；在开区间\((a,b)\)内可导，那么在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f(b)f(a)=f'(\xi)(ba)\)。与罗尔定理进行对比：罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况（当\(f(a)=f(b)\)时）。证明思路引导：要证明\(f(b)f(a)=f'(\xi)(ba)\)，可以考虑构造一个辅助函数\(F(x)\)，使其满足罗尔定理的条件，通过对\(F(x)\)应用罗尔定理来证明。设\(F(x)=f(x)f(a)\frac{f(b)f(a)}{ba}(xa)\)。证明过程：首先验证\(F(x)\)满足罗尔定理的条件。\(F(x)\)在\([a,b]\)上连续，因为\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，\(y=\frac{f(b)f(a)}{ba}(xa)\)是一次函数也连续。\(F(x)\)在\((a,b)\)内可导，因为\(f(x)\)在\((a,b)\)内可导，\(y=\frac{f(b)f(a)}{ba}(xa)\)的导数为\(\frac{f(b)f(a)}{ba}\)是常数。且\(F(a)=f(a)f(a)\frac{f(b)f(a)}{ba}(aa)=0\)，\(F(b)=f(b)f(a)\frac{f(b)f(a)}{ba}(ba)=0\)。根据罗尔定理，在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(F'(\xi)=0\)。而\(F'(x)=f'(x)\frac{f(b)f(a)}{ba}\)，所以\(f'(\xi)\frac{f(b)f(a)}{ba}=0\)，即\(f(b)f(a)=f'(\xi)(ba)\)。3.柯西中值定理（15分钟）给出柯西中值定理的内容：如果函数\(f(x)\)及\(F(x)\)满足：在闭区间\([a,b]\)上连续；在开区间\((a,b)\)内可导；对任意\(x\in(a,b)\)，\(F'(x)\neq0\)，那么在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(\frac{f(b)f(a)}{F(b)F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}\)。与拉格朗日中值定理进行联系：当\(F(x)=x\)时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。证明思路：构造辅助函数\(G(x)=f(x)f(a)\frac{f(b)f(a)}{F(b)F(a)}[F(x)F(a)]\)，然后利用罗尔定理进行证明。证明过程：验证\(G(x)\)满足罗尔定理条件。\(G(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(G(a)=0\)，\(G(b)=0\)。根据罗尔定理，在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(G'(\xi)=0\)。\(G'(x)=f'(x)\frac{f(b)f(a)}{F(b)F(a)}F'(x)\)，所以\(f'(\xi)\frac{f(b)f(a)}{F(b)F(a)}F'(\xi)=0\)，即\(\frac{f(b)f(a)}{F(b)F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}\)。（三）例题讲解（20分钟）1.例1：验证函数\(f(x)=x^33x\)在\([0,\sqrt{3}]\)上满足罗尔定理的条件，并求出满足定理的\(\xi\)值。首先分析函数\(f(x)\)的连续性和可导性：\(f(x)=x^33x\)是多项式函数，在\(R\)上连续且可导，所以在\([0,\sqrt{3}]\)上也满足条件。然后计算\(f(0)=0\)，\(f(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^33\sqrt{3}=3\sqrt{3}3\sqrt{3}=0\)，满足\(f(0)=f(\sqrt{3})\)。求\(f'(x)=3x^23\)，令\(f'(\xi)=0\)，即\(3\xi^23=0\)，解得\(\xi=1\)或\(\xi=1\)，因为\(\xi\in(0,\sqrt{3})\)，所以\(\xi=1\)。2.例2：证明当\(x\gt0\)时，\(\frac{x}{1+x}\lt\ln(1+x)\ltx\)。设\(f(t)=\ln(1+t)\)，在区间\([0,x]\)上应用拉格朗日中值定理。因为\(f(t)\)在\([0,x]\)上连续，在\((0,x)\)内可导，所以存在\(\xi\in(0,x)\)，使得\(f(x)f(0)=f'(\xi)(x0)\)。\(f(0)=\ln(1+0)=0\)，\(f'(t)=\frac{1}{1+t}\)，则\(\ln(1+x)=\frac{1}{1+\xi}x\)。因为\(0\lt\xi\ltx\)，所以\(\frac{1}{1+x}\lt\frac{1}{1+\xi}\lt1\)，即\(\frac{x}{1+x}\lt\frac{1}{1+\xi}x\ltx\)，也就是\(\frac{x}{1+x}\lt\ln(1+x)\ltx\)。3.例3：设函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)=0\)，证明在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f(\xi)+f'(\xi)=0\)。构造辅助函数\(F(x)=e^xf(x)\)。因为\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，\(y=e^x\)在\(R\)上连续且可导，所以\(F(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导。又\(F(a)=e^af(a)=0\)，\(F(b)=e^bf(b)=0\)。根据罗尔定理，在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(F'(\xi)=0\)。而\(F'(x)=e^xf(x)+e^xf'(x)=e^x[f(x)+f'(x)]\)，所以\(e^\xi[f(\xi)+f'(\xi)]=0\)，因为\(e^\xi\neq0\)，所以\(f(\xi)+f'(\xi)=0\)。（四）课堂练习（15分钟）1.验证函数\(f(x)=x^24x+3\)在\([1,3]\)上满足罗尔定理的条件，并求出满足定理的\(\xi\)值。2.证明当\(x\gt1\)时，\(e^x\gtex\)。3.设函数\(f(x)\)在\([0,1]\)上连续，在\((0,1)\)内可导，且\(f(0)=0\)，\(f(1)=1\)，证明在\((0,1)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f'(\xi)=1\)。（五）课堂小结（5分钟）1.回顾罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件和结论。2.强调中值定理证明过程中辅助函数的构造方法和思路。3.总结运用微分中值定理解决证明问题和实际应用问题的一般步骤。（六）布置作业1.书面作业：教材课后习题相关题目，如验证定理条件、证明不等式、求解满足定理的点等。2.拓展作业：思考微分中值定理在其他领域的应用，查阅资料并写一篇简短的报告。五、教学反思通过本节