苏教版九上数学2.2圆的对称性教学案

苏教版九上数学2.2圆的对称性教学案一、教学目标1.知识与技能目标理解并掌握圆的旋转不变性，能运用这一性质解决相关的计算和证明问题。掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理，并能熟练运用该定理进行推理和计算。2.过程与方法目标通过观察、操作、分析、归纳等活动，培养学生的动手实践能力和逻辑推理能力。经历探索圆的旋转不变性及圆心角、弧、弦之间关系定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。3.情感态度与价值观目标通过积极参与数学活动，让学生体验数学的严谨性和趣味性，激发学生学习数学的兴趣。在小组合作交流中，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神。二、教学重难点1.教学重点圆的旋转不变性及圆心角、弧、弦之间关系定理的理解和掌握。运用圆心角、弧、弦之间的关系定理解决相关的计算和证明问题。2.教学难点对圆心角、弧、弦之间关系定理的正确理解和灵活运用，尤其是在证明过程中的逻辑推理。如何引导学生通过自主探究和合作交流得出圆的旋转不变性及圆心角、弧、弦之间的关系定理。三、教学方法1.讲授法：讲解圆的旋转不变性及圆心角、弧、弦之间关系定理的概念、性质和应用，使学生系统地掌握知识。2.直观演示法：通过多媒体动画演示、教具展示等方式，直观地展示圆的旋转过程以及圆心角、弧、弦之间的关系，帮助学生理解抽象的概念。3.探究法：组织学生进行探究活动，让学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，自主探索圆的旋转不变性及圆心角、弧、弦之间的关系定理，培养学生的探究能力和创新精神。4.练习法：设计有针对性的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力。四、教学过程（一）情境导入1.展示一个圆形的摩天轮图片。提问：同学们，摩天轮在旋转过程中，它的形状是否发生改变？引导学生回答：摩天轮的形状始终是圆形，没有发生改变。2.提出问题：为什么摩天轮在旋转过程中形状不变呢？这与圆的什么性质有关呢？引出本节课的主题圆的对称性(3)，让学生带着问题进入新课的学习。（二）探究新知1.圆的旋转不变性让学生拿出事先准备好的圆形纸片，将圆形纸片绕圆心旋转任意角度。提问：旋转后的图形与原来的图形能够完全重合吗？学生通过操作后回答：能完全重合。教师总结：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意角度后都能与原来的图形重合。多媒体动画演示圆绕圆心旋转不同角度后的重合情况，进一步验证圆的旋转不变性。2.圆心角、弧、弦之间的关系定理（1）圆心角的定义在圆中，顶点在圆心的角叫做圆心角。教师通过在黑板上画出一个圆，并标注出圆心角，让学生直观地理解圆心角的定义。（2）探究活动如图，在⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′，连接AB、A′B′。①学生动手操作：用量角器测量∠AOB和∠A′OB′的度数，发现它们相等。用直尺测量弦AB和A′B′的长度，比较它们的大小关系。②小组讨论：观察弧AB和弧A′B′，它们的长度有什么关系？从上面的操作中，你能发现圆心角、弧、弦之间有什么关系吗？③小组代表发言，汇报讨论结果。教师总结：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（3）推理证明已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠A′OB′。求证：弧AB=弧A′B′，AB=A′B′。证明：将∠AOB连同弧AB绕圆心O旋转，使射线OA与OA′重合。因为∠AOB=∠A′OB′，所以射线OB与OB′重合。又因为点A与点A′重合，点B与点B′重合，所以弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合。即弧AB=弧A′B′，AB=A′B′。（4）定理的延伸教师引导学生思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角有什么关系？所对的弦呢？如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角有什么关系？所对的弧呢？学生通过小组讨论，得出以下结论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。教师总结圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等。（三）例题讲解例1：如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F。（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么弧AB与弧CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？解：（1）OE=OF。理由如下：因为∠AOB=∠COD，所以AB=CD（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等）。又因为OE⊥AB，OF⊥CD，所以AE=1/2AB，CF=1/2CD（垂径定理）。所以AE=CF。在Rt△AOE和Rt△COF中，OA=OC（同圆半径相等），AE=CF，所以Rt△AOE≌Rt△COF（HL）。所以OE=OF。（2）弧AB=弧CD，AB=CD，∠AOB=∠COD。理由如下：因为OE⊥AB，OF⊥CD，OE=OF，所以AB=CD（在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的弦相等）。所以弧AB=弧CD（在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等）。所以∠AOB=∠COD（在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等）。例2：已知：如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M、N。求证：弧AC=弧BD。证明：连接OC、OD。因为M、N分别是AO、BO的中点，OA=OB，所以OM=1/2OA，ON=1/2OB，即OM=ON。又因为CM⊥AB，DN⊥AB，所以∠OMC=∠OND=90°。在Rt△OMC和Rt△OND中，OC=OD（同圆半径相等），OM=ON，所以Rt△OMC≌Rt△OND（HL）。所以∠COM=∠DON。所以弧AC=弧BD（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。（四）课堂练习1.在⊙O中，已知弧AB=弧BC，且∠AOB=70°，则∠BOC=______。2.如图，AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，AB=6，则⊙O的半径为______。3.已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线与CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点E、F。求证：弧AE=弧CF。（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容：圆的旋转不变性。圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等。2.让学生谈谈在本节课中的收获和体会，以及存在的疑问。（六）布置作业1.书面作业：教材P58练习第3、4、5题。2.拓展作业：已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，E、F分别是AB、CD的中点。求证：∠AEF=∠CFE。五、教学反思通过本节课的教学，学生对圆的旋转不变性及圆心角、弧、弦之间的关系定理有了较深入的理解和掌握。在教学过程中，通过创设情境、直观演示、探究活动等方式，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的动