立体几何中的向量方法-教学设计-教案

立体几何中的向量方法-教学设计-教案一、教学目标1.知识与技能目标理解直线的方向向量与平面的法向量的概念，并能运用它们表示直线、平面间的平行、垂直关系。掌握用向量方法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系。理解并能运用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题。2.过程与方法目标通过对立体几何中向量方法的探究，培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力。让学生经历向量法解决立体几何问题的过程，体会向量法在解决立体几何问题中的优势，提高学生运用向量知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。让学生体会数学的严谨性，感受数学的应用价值，增强学生学好数学的信心。二、教学重难点1.教学重点直线的方向向量与平面的法向量的概念及应用。用向量方法证明空间中的平行与垂直关系。用向量方法求空间中的夹角。2.教学难点平面法向量的求法。如何将立体几何问题转化为向量问题，并合理运用向量运算求解。三、教学方法1.讲授法：讲解直线的方向向量、平面的法向量的概念，以及向量方法证明平行与垂直关系、求夹角的原理和步骤。2.演示法：通过多媒体动画演示，直观展示直线与平面的位置关系、向量的运算过程等，帮助学生理解抽象的概念和复杂的运算。3.讨论法：组织学生讨论如何建立合适的空间直角坐标系，如何选择向量进行运算等问题，培养学生的合作交流能力和思维能力。4.练习法：布置适量的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高运用向量方法解决立体几何问题的能力。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）通过回顾立体几何中传统的证明和计算方法，指出其在解决一些复杂问题时的局限性，引出本节课将学习的向量方法。展示一些利用向量方法解决立体几何问题的简洁性和高效性的实例，激发学生的学习兴趣。（二）讲解新课（30分钟）1.直线的方向向量（5分钟）定义：如果表示非零向量\(\vec{a}\)的有向线段所在直线与直线\(l\)平行或重合，则称此向量\(\vec{a}\)为直线\(l\)的方向向量。强调：直线的方向向量不唯一，与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量。示例：在正方体\(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{DC}\)，\(\overrightarrow{A_{1}B_{1}}\)等都是棱\(AB\)所在直线的方向向量。2.平面的法向量（10分钟）定义：如果向量\(\vec{n}\)所在直线垂直于平面\(\alpha\)，则称这个向量\(\vec{n}\)与平面\(\alpha\)垂直，记作\(\vec{n}\perp\alpha\)，此时向量\(\vec{n}\)叫做平面\(\alpha\)的法向量。讲解平面法向量的求法：设平面\(\alpha\)内有两条不共线向量\(\vec{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，\(\vec{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}=(x,y,z)\)。由\(\vec{n}\perp\vec{a}\)且\(\vec{n}\perp\vec{b}\)，可得\(\begin{cases}\vec{n}\cdot\vec{a}=0\\\vec{n}\cdot\vec{b}=0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}x_{1}x+y_{1}y+z_{1}z=0\\x_{2}x+y_{2}y+z_{2}z=0\end{cases}\)。解这个方程组，令\(x\)（或\(y\)或\(z\)）为一个非零常数，求出\(y\)和\(z\)的值，就得到平面\(\alpha\)的一个法向量。示例：在正方体\(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，求平面\(ABCD\)的法向量。因为平面\(ABCD\)垂直于\(z\)轴，所以可设平面\(ABCD\)的法向量\(\vec{n}=(0,0,1)\)。3.用向量方法证明平行关系（5分钟）直线与直线平行：设直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)的方向向量分别为\(\vec{v}_{1}\)，\(\vec{v}_{2}\)，则\(l_{1}\parallell_{2}\Leftrightarrow\vec{v}_{1}\parallel\vec{v}_{2}\Leftrightarrow\vec{v}_{1}=k\vec{v}_{2}(k\inR)\)。直线与平面平行：设直线\(l\)的方向向量为\(\vec{v}\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}\)，则\(l\parallel\alpha\Leftrightarrow\vec{v}\perp\vec{n}\Leftrightarrow\vec{v}\cdot\vec{n}=0\)。平面与平面平行：设平面\(\alpha\)，\(\beta\)的法向量分别为\(\vec{n}_{1}\)，\(\vec{n}_{2}\)，则\(\alpha\parallel\beta\Leftrightarrow\vec{n}_{1}\parallel\vec{n}_{2}\Leftrightarrow\vec{n}_{1}=k\vec{n}_{2}(k\inR)\)。示例：已知正方体\(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，\(E\)，\(F\)分别是棱\(AB\)，\(BC\)的中点，求证：\(EF\parallel\)平面\(A_{1}C_{1}D\)。证明：以\(D\)为原点，分别以\(DA\)，\(DC\)，\(DD_{1}\)所在直线为\(x\)轴，\(y\)轴，\(z\)轴建立空间直角坐标系。设正方体棱长为\(2\)，则\(E(2,1,0)\)，\(F(1,2,0)\)，\(A_{1}(2,0,2)\)，\(C_{1}(0,2,2)\)，\(D(0,0,0)\)。可得\(\overrightarrow{EF}=(1,1,0)\)，平面\(A_{1}C_{1}D\)的法向量\(\vec{n}=(2,2,2)\)。因为\(\overrightarrow{EF}\cdot\vec{n}=(1)\times2+1\times2+0\times(2)=0\)，所以\(\overrightarrow{EF}\perp\vec{n}\)，即\(EF\parallel\)平面\(A_{1}C_{1}D\)。4.用向量方法证明垂直关系（5分钟）直线与直线垂直：设直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)的方向向量分别为\(\vec{v}_{1}\)，\(\vec{v}_{2}\)，则\(l_{1}\perpl_{2}\Leftrightarrow\vec{v}_{1}\perp\vec{v}_{2}\Leftrightarrow\vec{v}_{1}\cdot\vec{v}_{2}=0\)。直线与平面垂直：设直线\(l\)的方向向量为\(\vec{v}\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}\)，则\(l\perp\alpha\Leftrightarrow\vec{v}\parallel\vec{n}\Leftrightarrow\vec{v}=k\vec{n}(k\inR)\)。平面与平面垂直：设平面\(\alpha\)，\(\beta\)的法向量分别为\(\vec{n}_{1}\)，\(\vec{n}_{2}\)，则\(\alpha\perp\beta\Leftrightarrow\vec{n}_{1}\perp\vec{n}_{2}\Leftrightarrow\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}=0\)。示例：已知正方体\(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，求证：平面\(A_{1}AC\perp\)平面\(BDD_{1}B_{1}\)。证明：以\(D\)为原点，分别以\(DA\)，\(DC\)，\(DD_{1}\)所在直线为\(x\)轴，\(y\)轴，\(z\)轴建立空间直角坐标系。设正方体棱长为\(1\)，则\(A(1,0,0)\)，\(C(0,1,0)\)，\(A_{1}(1,0,1)\)，\(B(1,1,0)\)，\(D(0,0,0)\)，\(B_{1}(1,1,1)\)，\(D_{1}(0,0,1)\)。可得平面\(A_{1}AC\)的法向量\(\vec{n}_{1}=(0,1,0)\)，平面\(BDD_{1}B_{1}\)的法向量\(\vec{n}_{2}=(1,0,1)\)。因为\(\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}=0\times1+1\times0+0\times1=0\)，所以\(\vec{n}_{1}\perp\vec{n}_{2}\)，即平面\(A_{1}AC\perp\)平面\(BDD_{1}B_{1}\)。（三）例题讲解（20分钟）例1：在三棱锥\(PABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(AB\perpBC\)，\(PA=AB=BC=1\)，求直线\(PB\)与平面\(PAC\)所成角的大小。分析：建立空间直角坐标系，求出平面\(PAC\)的法向量和直线\(PB\)的方向向量。利用向量的夹角公式求出直线\(PB\)与平面\(PAC\)法向量的夹角，进而得到直线\(PB\)与平面\(PAC\)所成角的大小。解答：以\(B\)为原点，分别以\(BA\)，\(BC\)，\(BP\)所在直线为\(x\)轴，\(y\)轴，\(z\)轴建立空间直角坐标系。因为\(PA=AB=BC=1\)，所以\(B(0,0,0)\)，\(A(1,0,0)\)，\(C(0,1,0)\)，\(P(0,0,1)\)。则\(\overrightarrow{AC}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{AP}=(1,0,1)\)，\(\overrightarrow{PB}=(0,0,1)\)。设平面\(PAC\)的法向量为\(\vec{n}=(x,y,z)\)，由\(\begin{cases}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\\\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=0\end{cases}\)，可得\(\begin{cases}x+y=0\\x+z=0\end{cases}\)，令\(x=1\)，则\(y=1\)，\(z=1\)，所以\(\vec{n}=(1,1,1)\)。设直线\(PB\)与平面\(PAC\)所成角为\(\theta\)，则\(\sin\theta=\vert\cos\langle\overrightarrow{PB},\vec{n}\rangle\vert=\frac{\vert\overrightarrow{PB}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\overrightarrow{PB}\vert\vert\vec{n}\vert}=\frac{\vert0\times1+0\times1+(1)\times1\vert}{\sqrt{0^{2}+0^{2}+(1)^{2}}\times\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。所以直线\(PB\)与平面\(PAC\)所成角为\(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}\)。例2：已知直三棱柱\(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(AC=BC=AA_{1}=2\)，\(\angleACB=90^{\circ}\)，\(E\)为\(BB_{1}\)的中点，求证：\(CE\perp\)平面\(A_{1}EC_{1}\)。分析：建立空间直角坐标系，求出\(\overrightarrow{CE}\)，\(\overrightarrow{A_{1}E}\)，\(\overrightarrow{A_{1}C_{1}}\)。通过计算向量的数量积，证明\(\overrightarrow{CE}\perp\overrightarrow{A_{1}E}\)且\(\overrightarrow{CE}\perp\overrightarrow{A_{1}C_{1}}\)，从而证明\(CE\perp\)平面\(A_{1}EC_{1}\)。解答：以\(C\)为原点，分别以\(CA\)，\(CB\)，\(CC_{1}\)所在直线为\(x\)轴，\(y\)轴，\(z\)轴建立空间直角坐标系。因为\(AC=BC=AA_{1}=2\)，所以\(C(0,0,0)\)，\(A(2,0,0)\)，\(B(0,2,0)\)，\(A_{1}(2,0,2)\)，\(C_{1}(0,0,2)\)，\(E(0,2,1)\)。则\(\overrightarrow{CE}=(0,2,1)\)，\(\overrightarrow{A_{1}E}=(2,2,1)\)，\(\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=(2,0,0)\)。因为\(\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{A_{1}E}=0\times(2)+2\times2+1\times(1)=3\neq0\)，这里发现原解答有误，重新分析：应该是\(\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{A_{1}E}=0\times(2)+2\times2+1\times(1)=3\neq0\)，说明原证明思路有误。正确的应该是\(\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{A_{1}E}=0\times(2)+2\times2+1\times(1)=3\neq0\)，重新计算：\(\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{A_{