建筑力学课件：平面汇交力系与平面力偶系

平面汇交力系与平面力偶系建筑力学汇交力系§2–1汇交力系合成与平衡的几何法力系分类：力系平面力系空间力系——各力的作用线都在同一平面内的力系力系汇交力系力偶系平行力系一般力系（或任意力系）特殊力系汇交力系研究方法：几何法，解析法。§2–1汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系：各力的作用线都汇交于一点的力系。平面汇交力系平面汇交力系空间汇交力系一、合成的几何法——力多边形法则：1.两个共点力的合成由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形法则来作。合力方向由正弦定理：合力大小由余弦定理：

FRFR§2–1汇交力系合成与平衡的几何法2.任意个汇交力的合成AA§2–1汇交力系合成与平衡的几何法表达式：2.任意个汇交力的合成AA§2–1汇交力系合成与平衡的几何法

把各分力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。加上一封闭边（即合力矢），就得到一个多边形，称为力多边形。力多边形法则：AA§2–1汇交力系合成与平衡的几何法AA

合力矢与各个分力的合成次序无关。改变分力矢的作图顺序：本质：矢量求和符合交换律§2–1汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系的合成结果：

汇交力系可以合成为一个合力，合力作用在力系的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边来表示。A注意：合力矢是从第一个分力的起点到最后一个分力的终点所作的矢量。§2–1汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系的合成结果：

汇交力系可以合成为一个合力，合力作用在力系的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边来表示。A§2–1汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系：力多边形为平面图形空间汇交力系：力多边形为三维图二、汇交力系平衡的几何条件：汇交力系平衡的充要条件是：合力为零意味着第一个分力的起点与最后一个分力的终点重合！即力多边形自行封闭！力系中各力的矢量和等于零A§2–1汇交力系合成与平衡的几何法二、汇交力系平衡的几何条件：

汇交力系平衡的充要条件是：

在几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：力多边形自行封闭A§2–1汇交力系合成与平衡的几何法

已知：P=10kN,BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。求：在P的作用下杆AC、BC所受力的大小。①选铰链C为研究对象②取分离体画受力图解：FCB与FCA和外力

P构成一平面汇交力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭。ACPBPFCA由作用力和反作用力的关系，AC、BC杆受力等于。例题1FCBPFCBFCA

已知：P=10kN,BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。求：在P的作用下杆AC、BC所受力的大小。思考：研究对象还可以选择谁？ACPBFBCFAC整体！PFBCFAC在几何法求解时，若受力分析时约束反力的指向与实际指向相反，则在作自行封闭力多边形时，应根据分力首尾相接的原则确定并修改为实际指向。例题1§2–1汇交力系合成与平衡的几何法几何法解平衡问题步骤：①选研究对象；②作出受力图；③选择适当的比例尺作闭合力多边形；④求出未知量。几何法解题不足：①精度不够，误差大②作图要求精度高；③不能表达各个量之间的函数关系。

下面我们研究汇交力系合成与平衡的另一种方法：

解析法

一、力在轴上和平面上的投影结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦（方向余弦）

。§2-2力在坐标轴上的投影FxxABαab1、力在轴上的投影——方向角“+”：ab的方向与坐标轴正向相同“-”：ab的方向与坐标轴正向相反力在坐标轴上的投影是代数量，应特别注意它的符号。§2-2力在坐标轴上的投影思考：力在坐标轴上的投影在什么情况下为零？当力垂直于坐标轴时！投影的正负号取决于方向余弦的正负。投影的计算也可采用便于计算的锐角：结论：力在平面上的投影是矢量，其大小等于力的模乘以力与该平面间夹角的余弦。§2-2力在坐标轴上的投影ABab2、力在平面上的投影二、力在直角坐标轴上的投影§2-2力在坐标轴上的投影FxFyxyOABαβaa’bb’1、力在平面直角坐标轴上的投影xyFxFyOABαβaa’bb’§2-2力在坐标轴上的投影三、投影与分力的比较1、联系当力在坐标轴上的投影为正时，其相应分力的指向沿坐标轴正向；当力在坐标轴上的投影为负时，其相应分力的指向则沿坐标轴负向。xyz§2-2力在坐标轴上的投影三、投影与分力的比较1、联系将力F按坐标轴x、y、z方向分解：§2-2力在坐标轴上的投影2、区别xyz分力——是矢量，有大小、方向、作用线投影——是代数量，无所谓方向、作用线

力在轴上的投影绝对值与相应分力的大小一定相等?xyO

力在轴上的投影绝对值与相应分力的大小一定相等?§2-2力在坐标轴上的投影错误！

合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。一、合力投影定理：§2-3汇交力系合成与平衡的解析法A(a)xABCD(b)合力FR

在x轴上投影：xABCD

推广到任意多个力F1、F2、

Fn

组成的汇交力系，可得：abcd各力在x轴上投影：§2-3汇交力系合成与平衡的解析法根据合力投影定理得合力的大小：方向：作用点：为该力系的汇交点§2-3汇交力系合成与平衡的解析法二、合成的解析法合力的大小：平面汇交力系：§2-3汇交力系合成与平衡的解析法方向：F1F2FRF3xABCy

FRxFRy作用点：为该力系的汇交点§2-3汇交力系合成与平衡的解析法确定平面汇交力系合力方向的另一种方法：F1F2FRF3xABCy

FRxFRy

—合力与x轴所夹的锐角

xy

角+

的正负号已知：F1=200N,F2=300N,F3=100N,F4=250N,求图示汇交力系合力的大小和方向。解：xyOF1F2F3F445o60o45o30o例题解：合力大小：xyOF1F2F3F445o60o45o30oFR

方向：已知：F1=200N,F2=300N,F3=100N,F4=250N,求图示汇交力系合力的大小和方向。例题

力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。——汇交力系的平衡方程三、汇交力系平衡的解析条件：

从前述可知：汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。§2-3汇交力系合成与平衡的解析法（可求解3个未知量）平面汇交力系的平衡方程：§2-3汇交力系合成与平衡的解析法解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:1、选取研究对象；2、作研究对象受力图；3、建立坐标系，建立平衡方程∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0

；4、求解未知量。（可求解2个未知量）[例1]

已知P=2kN，

求CD杆受力和A处约束反力。由CB=BE=0.4m，④解平衡方程解：①取AB杆为研究对象②画出受力图③列平衡方程ABCExyABCExy①②由①式：代入②式：由CB=BE=0.4m，④解平衡方程另解：①取整体为研究对象②画出受力图③列平衡方程Exy[例2]

已知如图P=10N、Q=30N，求平衡时=？地面的反力FND=？解：取球为研究对象，受力如图：由②得由①得①②列平衡方程：Axy解题技巧及说明：1、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知量。2、解析法解题时，未知约束反力的指向一般可以任意假设（柔体和光滑面接触约束除外），如果求出负值，说明力的实际指向与假设相反。xy30°30°？？x30°30°？？y§2-3汇交力系合成与平衡的解析法静力学基础

平面力偶力系移动效应--取决于力的大小、方向转动效应--取决于力矩的大小、方向力对物体可以产生：§3-1平面力对点之矩平面力对点之矩:

在同一平面内,力F对任意一点O的力矩定义为其中：点O——矩心

d——力臂OdAB§3-1平面力对点之矩

平面力对点的矩是代数量，正负号通常规定为:§3-1平面力对点之矩OdAB力矩的单位：N

m或kN

m。§3-1平面力对点之矩说明：1)

F↑,d↑转动效应越显著2)当F=0（无力作用）或d=0（力通过矩心）时，3)MO(F)=2⊿AOB=Fd,2倍⊿形面积4)力沿作用线移动时，对某点的矩不变5)力矩与矩心O位置有关6)矩心O位置可任意选取OdABO求力F对A点之矩：求力F对B点之矩：?合力矩定理合力对平面内任一点之矩等于其分力对该点力矩的代数和。

如求力F对坐标原点的矩：求力F对A点之矩：求力F对B点之矩：一、力偶和力偶矩1、力偶——大小相等,方向相反,不共线的两个力所组成的力系。作用效果：引起物体的转动AB记为：§3-2平面力偶系的合成与平衡力偶作用实例：§3-2平面力偶系的合成与平衡力偶作用实例：§3-2平面力偶系的合成与平衡2、力偶臂3、力偶矩

力偶中任一个力的大小与力偶臂d

的乘积，加上适当的正负号。力偶矩正负规定：力偶中两个力作用线之间的垂直距离。ABd§3-2平面力偶系的合成与平衡单位为N•m

或kN•m。力偶性质一：

力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。力和力偶是静力学的两个基本要素力偶性质二：

力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能与力偶平衡。ABd§3-2平面力偶系的合成与平衡力偶性质三：

力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的转动效应用力偶矩度量。力偶对任意点O的矩：§3-2平面力偶系的合成与平衡=MF

Fd说明：①

M是代数量，有+、－；②F、

d

都不独立，只有力偶矩M是独立量；③M的值

M=±2⊿ABC

。ABC§3-2平面力偶系的合成与平衡四、同平面内力偶的等效定理平面力偶的等效定理:Fd因此，以后可用力偶的转向箭头来表示力偶。

作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。=MM=F

d

=§3-2平面力偶系的合成与平衡两个推论：①力偶可以在其作用面内任意移转，而不影响它对刚体的作用效应。FF´F´F§3-2平面力偶系的合成与平衡两个推论：①力偶可以在其作用面内任意移转，而不影响它对刚体的作用效应。§3-2平面力偶系的合成与平衡两个推论：②

只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。FF´F/2F´/2§3-2平面力偶系的合成与平衡两个推论：②

只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意