综合测试 第6章空间向量与立体几何

测试卷参考答案

综合测试第6章空间向量与立体几何

1.C2.A3.C4.A5.C

6.C提示因为M为8C的中点，所以刀(油+病)，所以而•助=/市

+/)・不力=凝元)+颉?Wb=O.所以AM_LA。所以△AM。为直角三角形

7.A提示取的中点G,连接PGCGOP，则PG^p,c,

//CD,所以点Q到平面PEV的距离即点Q到平面PGC。的八崔、＜

Vj\\

距离，与瓦'的长度无关，故B错.又因为A向〃平面PGCD,勺\'、、、\

^E-Fy^y

所以点4到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，_V

所以点Q到平面PE尸的距离与点。的位置无关，故D错.如图，以点。为原点

建立空间直角坐标系，则知点C(OMO),D(0,0,0),4m,0/),电，()，力，所以成

=(0M()),而=(〃,(),办加=整()，.设〃=(x,y,z)是平面PGCD的一个法向量,

n-DP=0,佟i+oz=0,.

则由j_得『令Z=1,则X=-2j=0,所以n=(—

.〃皮=0,[ay=0,

2,0,1).设点Q到平面P石尸的距离为“，则d=空'=-2守=害〃，即A

\n\9)

对C错

8.D提示连接ACBD,交点为O,连接OP,以。/

为坐标原点，OCODOP所在的直线分别为xj,2轴建立如图

所示的空间直角坐标系.由正四棱锥P-ABC。的棱长均为2,E44^源冷不

n

为PC的中点,知点A(_®0,0),B(0,一1,0),。柩0,0),D(0,＜2,0),P(0,0巾),

《乎，0,乎)，则砺=停，5阴，成=(一也，0,一也),而=(0,色，-

也).设m=(x,yz)是平面FAD的一个法向量，则m_1_欧，且mLPD＞即

\—y[2x—y[2z=0,

[gy—也z=0,令x=l,则z=—l,y=—1,所以m=(1,—1,-1).设BE与

平面办。所成的角为。，则由。〃=也西=率＜1,故8E与平面勿。不平行，且

BE与平面PAD所成的角小于30°

9.ACD提示①由同一|例＜|。+)|得向量a,b可能共线，比如共线向量a,b

的模分别是2,3,故A错误.②在空间四边形A3C。中，ABCD+BCAb^-CABb

=(At+两历一行历一元面=丘(田一丽)+3•(历一初=沅•肥+

CB-Ac=o,故B正确.③在棱长为I的正四面体A-BCD中，福・反1=1X1Xcos120°

=一盘故C错误.④若向量4,4。共面，则它们所在的直线在某个平面内或者

平行于某个平面，故D错误

10.ACD提示以。为坐标原点建立如图所示的空间4,、

直角坐标系.因为AB=q54Z)=A/5AAi所以A£)=AAI

"I，米、、

=1,则知点41Q0)Mi(l,0J)，C(0，V3,0),。i(0,0J)，。(0,0,0),涉二二

B(l,50),则就=(一1，3，一1)，取=(1,。,一1).对于A

选项，当疵=2击＞时，P为4c的中点，根据长方体结构特征，P为体对角线的

中点，因此产也为囱。的中点，所以⑤引。三点共线，故A正确.对于B选项，

当1时，APLA\C＞由题意可得AIA=N1+1+3二小,AC=N1+3=2,

所以由SA41AC=JL4I・4C=；AICAP,解得AP=!\「，所以4IP=坐，即尸为

靠近点4的五等分点，所以尸点坐标为修，卓，。则而皇—llAP

\JJJ/\JJJ/

=f—7,卓，7,所以万R•能=一条+余一条=一9£。，所以能与万R不垂直，

故B错误.对于C选项，当友=3病时，则与＞=：杭=(一£坐一点.设平

〃・比i=V5y+z=0,

面33G的一个法向量为〃=(x,yz),由J一令y=l,可得〃

〃。3=1+小》=0,

=(一小，1,一小)，乂因为万力=份一大办=修，坐一彳，所以说"=0,因

\JJJJ

此而所以。iP〃平面8OG,故C正确.对于D选项，当庆=5俞时，份

=7/GC=—-1,卓，所以而"浦"4Tbi=暂坐，一1],所以与t•况p=

D\J33/\D33/

0,加•周1=0,因此AC_LO|R4C_LO|A,根据线面垂直定理，可得AiC_L平面

DAP,故D正确.故选ACD

II.ABD提示如图，建立空间直角坐标系，则知点

4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),。(0/,0),4(0,0,1),81(1,0,1),

Di(0,lJ),E(0,LB7c=(0,l,-l),BDI=(~

1,1,1),位)=(一1JO),丽i=(一1,0,1),所以前••丽i=-1X0

+lXl+(-l)Xl=0,即既二L防1,所以BC_LBD|,故B正确；B!CBD=-\X0

+1XH-(-l)X0=i,|/JTC1|=V2,即=也设异面直线小C与所成的角为仇

BtCBD17T7F

而夕£((),芥所以。节故D正确；设平面Ag的一

则cosO=二~~=2

〃•丽1=0,—x+z=0,

个法向量为〃=(xj,z),则，即，Jx+y=。，令日，则〃=(卬)，

nBb=0,

所以〃•抗=()义1+1X1+1X(—1)=(),即〃，亩t,乂因为直线囱OC平面480,

所以直线BC〃平面A\BD,故A正确；VC1-BlCE=VBi-CiCE=^B\CiSACiCE

=；x1X；X1X1=；,故C错误.故选ABD

J2O

12.BD提示如图，取AD的中点O,BC的中点E,连接。£OP.因为△雨。

为等边三角形，所以OPLAD因为平面平面ABCD,

所以。。，平面48。。.因为4。，。石,所以OO,O£OP两两垂

直.以。为坐标原点，以ODOEOP所在的直线分别为走轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系，则知点0((),(),()),D(加,0,0),

A(一加，0,0),P(0,0,3^2),C(V6,2vL0),B(一旗,2小,0).因为。是尸。的

中点，所以。点坐标为(坐，0,可设平面布。的一个法向量为帆=(0』,0),因

=偿,25,一挈，显然机与因不共线，所以。。与平面出。不垂直，所以

正=(加,2小,-3的,屈=(挛0,¥)AC=(2y[6,24,

A不正确;

63^6,3^2.

0),设平面AQC的一个法向量为〃=(x,yz),则令x

ivAC=2加x+2A/3.V=0,

=1,则>=一也，z=f,所以〃=(1,一$，一回设PC与平面4QC所成

角为仇则sin6>=1,所以cos0=卒,所以B正确；三棱锥B-ACQ的体积为VB.ACQ

=VQ-ABC=^SMBC^OP=^XIX2^3X2y[6X|X3y/2=6,所以C不正确；设四棱

锥Q-A8CO外接球的球心为点M(0,小,。)，则MQ=MO,所以(乎>+(#尸+

Q—乎)=(%)2+(小产+序，解得。=o,即MQ木

,())为矩形ABCQ对角线的

交点，所以四棱锥Q-ABC。外接球的半径为3.故选BD

13.4俱提示由囱C〃平面A山知直线BC到平面48。

的距离就等于点囱到平面AiBD的距离.以点D为坐标原点建立

如图所示的空间直角坐标系，则知点囱((),2啦，3),5((),2&,()),

Ai(—1。3),丽=(0,2、53),加=((),2吸，())，Z)Ai=(-1,0,3).设

n±DB,.访=0,

平面48。的一个法向量为〃=(x,yz),所以_即_即

n-LDAi,nDAi=0,

12g=0,|〃•丽|

t—x+3z=0,令Z=l,则〃=(3,0,1).所求距离为d=

l〃l

3Vib

一io

14,1提示如图，取BC的中点。，连接。上OA,因为

O

△4BC和△尸均为等边三角形，所以A0_LBCP0_L3C,所

以8。，平面PAO,即平面a0，平面ABC.故/尸OA的大小就是二面角P-BC-A

的大小，即NPOA=120。,建立空间直角坐标系如图所示.设AB=2,则知点A（小,

0,0）,C（0,-l,0）,仅0』,0）,。（一乎，0,所以危=（一小，-1,0）,PB=

停，1,一卷cos（AC,PB）=-1,所以异面直线P8与AC所成角的余弦值

15.^5提示如图，以O为坐标原点，建立空间直角

坐标系，则知点0(0,0,0),C(3,0,0),5(0,3,0),A(3,3,0),

0(333),所以葩=(3,0,0),CA=(0,3,0),Ab=(0,0,3).设平

\BA-n\_|3x|

面a的一个法向量为〃=（x,y,z）,则点B到平面«距离为di=

1川-V?+y2+z2

也①,点C到平面a距离为“尸端叽衣甥也②,由①®可得M巾阳

寸|国.所以点D到平面a的距离为\AD-n\_|3z|

Ml.f+.+z2

16.平行手提示（1）如图，以。为原点，OA为x

轴，DC为），轴，DDi为z轴建立空间直角坐标系，则知点

4（1,0/）,H。，1，3,8（1,1。）.因为点已（？均在平面4田。6

内，所以设点尸3力,1），。（明〃』），则疵=（一1，1，一；），丽=（々一1/一1,1）,两

=(m——1,1).因为80_LA\E,BQ_LA\E,所以

BPA?E=-(t/-l)4-(p-l)-1=0,

解得jj可得PQ//BD⑵

-(/«-l)+m-1)-1=(),

n—m=2-

当4P取最小值时，点P在平面内，设点。的坐标为（。力,1）,由（1）得〃

所以4P=寸伍-1）—=

2(。一(>+/所以当〃4即点P的坐标为『点1)时，4P的最小值为第

—►-►

17.(1)因为福=(—2,—1,3),病=(1,-3,2),设〈后,危〉=0,则cos0=—：----

|AB|.|AC|

=蒲<常$得,=60。，所以以AB,AC为边的平行四边形的面积S=

ABAC.sin9=7事(2)设a=(xj,z),则a-AB=(x^,z)-(-2,-1,3)=0,aAC=(x,yz)-(1,

-3,2)=()y+/+z2=3,解得。=或。=(一1,一1,-1)

18.(1)设彳&=〃,At=b,A!)=c,则M|=|b|=|c|=I,<afb)=〈8c〉=〈c,〃〉=

60°,反;斗病+屐）一砌=切+c—a),所以由.矗=g(a仍+a・c—*=3

(1乂1乂：+1乂1乂3—1)=0.故诙_1_而即EGJ_A3(2)由的=-1+*+*

得面|2=12+/2+*_；4仍+/。—%以=斗则I的=笔即EG的长为堂(3)

历自2

由题意知后=)+%及=41+崩=—6+%cosAG,CE■-

IAGMCEI'

由于异面直线所成角的范围是（（），I],所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为

2

3

19.（1）由二面角Ai-AB-C是直二面角，四边形AIABBI为正方形，可得44

_L平面ABC.又因为AB=ACBC=qi4伐所以482+4。2=3。2.所以/013=90。，

n-AiA=()>-2z=0,x=0,—

即彳即1取)=1,则〃=(0』,0).所以4出=2〃,

6.八2x=0,z=().

l〃AC—0,

即4Thi〃〃，所以A山I_L平面AA\C(2)易知Ml=(0,2,2),MC\=(1,1,0),MC=(2,0,

ni'A\C\=0,

—2),设平面A\C\C的一个法向量为m=(xi,yi,zi),贝卜_即

"•AiC=0,

xi+yi=0,__

,令xi=l,则yi=—l,zi=l,即m=(l,—1,1).所以A8i・〃z=0Xl

2jri_2zi=0,

+2X(—1)+2X1=(),所以篇i_L,〃.又因为ABQ平面ACC所以A囱〃平面A\C\C

20.(1)如图，以4为原点，4民4cAp所在的直线分别

为为yz轴，建立空间直角坐标系由AB=AC=\.PA=2f

知点40,0,0),B(l,0,0),C(0,l,0),P(0,0,2),DQ,0,0),

信2f0)H0,；，1).设平面DEF的一个法向量为〃=

〃.虎=0,W)',分(0,?。)=()，fx=2z,

(X.)⑵，则J即1、\解得J八取z=

1〃•丽=。，鼠)，，z)(T1)=0,〔尸

1,则〃=(2,0,1).设必与平面阳'所成的角为仇则如。=侬且=理故直

\PA\-\n\

线以与平面。E厂所成角的正弦值为坐(2)因为即=(0,一1)，〃=(2,0,1),

所以点P到平面。所的距离为(3)因为冲=((),—1),EF=

向，建立如图所示的空间直角坐标系，则知点40,0,2),Bi(—1巾,0),

坐，O,，Ai(-1,小，2).设平面ABiE的一个法向量为〃=(XIJI,ZI),&i=(一

l—►(I\ti'AB\=0»

1,S,-2),AE=z,乎，-2,因为彳所以

/rAE=(),

(-xi+邛yi-2zi=0,

\1仍令yi="则xi=1,zi=1,所以〃=(1,小，1).设平

［产+2-2zi=0,

面的一个法向量为m=6yz),A■自=((),(),—2),人为=停，一坐一2),

f-2z=0,

“47左=0,叫务率rz=o,

因为，令y=小,则x=l,所以m=

m-A\E=0,

(145,0).因为w=4,所以cos〈，〃,〃〉=|词.闻’,设

2R

二面角A-EBi-Ai为。，则cos«=cosGn,n)=_T_,所以二面角A-EB\-A\的余弦

值为芈(3)假设存在点M(x,y,z),因为说=比尢Ae[(),l],所以(x—lj,z)=/(一

1,0,2),所以M点坐标为(1一九0,22),所以百力=七一九一半，2/1).由(2)知平面

1_;_3

48E的一个法向量为股=(1,#,0),所以斗?=—/：2,得6以2

—382+5=0,即(32—1)(232—5)=0,所以2=；或1=/,所以詈或詈=砥

Anv

去).设AQ=O『，在Rt△相。中，38=而===2,解得户2,所以即

=1.以点。为原点，QBQCD4所在直线分别为％y,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系D-xyz,则知点。(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0)，A(0,0,2),M(0,1,1),成，匕。)，

则诙=(一1』,1).设N点坐标为(0M,0),则丽=(一；，〃一1,0).因为E7V_LBM

所以城•发力=(),即(一*a-\,0)

.(—1,1,1)=0,得所以N点坐标为

(o,0).所以当ONq即点N是。。的靠近点D的一个四等分点)时,EML8M.

,(\\〃•丽=0,

设平面8NM的一个法向量为〃=(x,yz),且BN=-1,5,。，由彳得

〃•曲=0,

<2令尤=1,则〃=(1,2,—1).取平面8NC的一个法向量加=(0。1),

jv+y+z=(),

则cos〈巴加=点卷=£*=—*，所以锐二面角M-8N-C的余弦值为*方案

二：选②.在△ABC中，设前>=i肚，则病=施+前=前+2就=筋+2(病一初)

=(1—2)通+2危.又因为屐)=彳宿+y屐?，由平面向量基本定理知2=1，即BD

=1.以下过程同方案一方案三：选③.在△ABC中，设BD=x(0<x<3),则CQ=

3-x,因为AOJ_8CNACB=45。，所以△A。。为等腰直角三角形，所以AO=CZ)

=3一尢折起后，ADlDC,ADlBDf且800。。=。，所以AO_L平面BCD又因

为N8DC=90。,所以品58=5(3—x),VA-BCD=^ADS^BCD=^(3—x)p(3—x)=1(^

—6f+9犬),x£(0,3).令(J)=1U-1)(X-3).当0<r<l时，

/(x)>0；当14<3时,/(x)〈0.所以时，三棱锥人8。>的体积最大.以

下过程同方案一

阶段测试立体几何初步、空间向量与立体几何

1.D2.C3.D4.D5.A

6.C提示如图，取AC的中点。，连接。EOF.易知异)

面直线A8与PC所成的角即为直线。E与。尸所成角.因为/

二辛-

IJ

DE=Sc=5,DF=gAB=3,EF=7,所以cos/EOF=。炉+。尸—£尸25+9—49

2DEDF=2X5X3

=-1,即NED/=120。.所以直线QE与。尸所成的角为60。，即异面直线”与

PC所成的角为60。

〃•牯=0,

7.A提示设平面A5CD的一个法向量为〃=（x,yz）,所以J_所

〃崩=（）,

2x—y+3z=0,一

以if+尸。，令I则尸2『，所以〃=（12。）.设〃与-的夹角为

"设四棱锥的高为人所以8,震=含所以仁嚅=3=坐

8.D提示由题意知水的体积为4X4X2=32.如

图，设水槽绕CD倾斜后，水面与棱Ay4i.BBi.CCi.DDi

分别交于点MNjQ,由题意知PC=3,水的体积为

rri、BN+PCR“BN+3

SBCPN,CD=32,所以一5—BCCD=32,即1X4X4

=32,所以BN=1.在平面BCCB内，过点Ci作GH//NP,交BBi于点H,则四

边形NPG"是平行四边形，且N"=PG=11而侧面COOCi与桌面所成的角即侧

面CDDiCi与水面MNPQ所成的角，即侧面CQDiG与平面HCiDi所成的角（为

ZHC1C）,N”GC=NBiHG,在RtZXBiHG中，tanNBiHG=^"=3=2

t5\nZ

9.AD

10.BD提示取A。的中点从连接MBi.MDi.BN,可得BN

则BN〃平面“MBIOI,故平面a即为平面〃MB1D1.故截面为等

腰梯形，可得B\D\=y[lfMH=*,MBi=HDi=坐,高为（乎｝一（乎）=今§,

其面积S=；X停+词X平岑故A错误，B正确.另外，几何体A/7M-A山Q

为棱台，上底面的面积为S“MH=/,下底面的面积为SZ\4181O1=；,高为A4

1/I1A7717

=1,故体积为0=]X卜+Z+Rx1=五，另一部分体积为吻=1-五=五，所

以Vi：V2=7：17.故C错误，D正确

11.ABC提示①对于A：因为ABC-ABG为“堑堵”，所以侧棱A4i_L

平面ABC,所以A4_LBC.又因为ACLBC,所以8C_L平面4ACG,满足“阳马”

的定义，所以四棱锥8-4ACG为“阳马”，故A正确.②对于B：因为CG,

底面ABC,所以CGJ_8C,即△GBC为直角三角形.同理可知△ACC也为直

角三角形.由选项A可得BCL平面A/CG,所以BC_L4C,即△4BC为直角

三角形.因为CGJL底面AiBiCi,所以CCUAC.又因为4G_LBiCi,所以4cl

_L平面BCGBi,所以4GJLC4,即△4C】B为直角三角形.所以四面体4・CC3

的四个面全为直角三角形，即四面体4-GCB为“鳖膈”，故B正确.③对于C：

由①可得8C_L平面AACGA尸U平面AMCG,所以BC_LAE又因为AF1A1C,所

以4凡L平面48C,所以4儿1_4及又因为AE_LA8,所以48_L平面AER所以

AiBLEF,故C正确.④对于D：设AC=f,则矩形AiACC的面积为2r.在RtA

ABC中，BC=q4T，所以四棱锥B-A\ACC\的体积为V=rX

JJ

尸一—

X—+45—=小4故D错误

JJ

12.ABD提示①对于A：当E为A8的中点时，可得

4。1〃川口40何平面”/花，NEU平面MNE,即有ADi〃平面

MNE,故A正确.对于B：由于4力i_LDC,当人力氏

且Q由<AB,可得直线,4。」平面BCDi,故B正确.对于C：

假设存在某个位置，使得直线HDi与。历所成角为60。，由AQi〃NE,过点E作

EH//DM,可得NNEH=60。.设CD=AD=IAC=也,8。=小，BC=2,可得

13+#11,12+6^/513+/1/1,y[3

NE='，DM=l,EH=-^~,^=^4+^6-2X2X6-X2=VS4-]1

<NM=3,与N”AVM矛盾，故C不正确.对于D：过点作OiO_L平面A8C,

垂足为O,连接OA,过点。作。凡LBC,垂足为F,连接。|F,可得NQMO为

直线AQ与平面A8C所成角，ZDiFO的大小为二面角Di-BC-A的大小，lanN

。凶0=鬻，tanNGFO=器，而042OF,可得蜉W誓，则对于任意位置,

二面角D^BC-A始终不小于直线ADi与平面A8C所成角，故D正确

13.2ng2^2提示由题意得病=施+比+w），则屐）』（赢+反:+前）2

=油2+反72+加+2寿氏+2交Cb+2初•前=1+I+4+2•瓦金=6+

2ABCD,而异面直线AAC。所成的角为率则6+2B诙=6+2X1X2Xcos壮

JJ

8或6+2筋•诙=6+2XlX2Xcosw=4,则病?=8或屐^=4,所以A。的长为

2或2也

143手提示由题意知正六面体ABCD-A\B\C\D]是棱

长为4的正方体，因为ABi〃DCiBiDi〃BD,ABiCBIDT=

BCDCBD=D,所以平面〃平面BGD连接AC可

得4CJ_平面ABOiAUL平面8G£>,设垂足分别为E,F,则

平面AB\D\与平面BGD之间的距离为EE止方体的体对角线长为142+4?+4?=

」X」X4X4X4/—

4小.在三棱锥Ai-ABiDi中，由等体积法求得AiE=~~1----------后=半

|x|x4V2X4V2X^

所以平面ABiDt与平面BCiD之间的距离为4小一芈X2=^

JJ

15.*提示设点。到平面以。的距离为"，设直线OC和平面以C所成

角为a,则由等体积法得VO-PAC=Vp-OACy即1s/%cd=；・PO&o仁所以d—

戏中坐X】也所以.”啦干旱亚

；-Q»所以sina=7^=,,于是cosa=-V

我小X,3CO33

16.2^33y[i提示截得的.三角形中，面积最大的是

以正方体的表面正方形的对角线所构成的等边三角形，如图

中的SA^1C18=JX2啦X坐义2啦=2小.当平面

a截正方体所得截面为正六边形时，此时截面面积最大，其

中，MN=25GH=、「,OE=堂,截面面积S=2X/苧也X乎=33

17.若选②：因为尸。_L平面ABCD,PCLAB,所以A8_L平面PAC,所以AB

J_AC,所以N3AC=90。，BOBA,这与底面ABC。为菱形

矛盾，所以②必不能选，故选①③.下面证明：因为POJ_

平面ABCQ,四边形ABCQ为菱形，所以.因为PC

_L8D,PCAAC=C,所以BO_L平面APC.又因为POU平面

APC,所以。.因为%=PC,。为AC的中点，所以PO_LAC.又因为ACPI8。

=0,所以P0J_平面4BCD.以0为坐标原点，痂,0C,由的方向分别为二轴、

y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz,因为A8〃C。，所以

ZPBA为异面直线PB与CD所成的角，所以NP8A=60。.在菱形ABCD中，设

43=2,因为NA8C=60。，所以04=1,0B=®设P0=a,贝U必=而不T,

尸8=、。2+3.在△P8A中,由余弦定理得以2=842+8p2—28A/Pcos/P84,所

以/+1=4+苏+3—2乂2，〃2+3*5，解得〃=、6.所以知点A(0,-1,0),3(小，

0,0),C(0J,0),P(0,0,祀).设/n=(xi”zi)为平面A8P的一个法向量,油=(小,

；/nAb=0,1/5月+yi=0,

1,0),成=(0/碗，由<可得J.r令zi=l,得〃i=(，L

I/IIAP=O,y\+\6zi=0,

一乖，1).设〃2=CE2J2Z2)为平面CBP的一个法向量，CB=(V3,-1,0),W=(0,

l/nC&=0.可得产了=0,

—1,\6),由“令Z2=1,得〃2=(6,V6,1).设

1^2―^/6Z2=0,

/nCP=0f

二面角A-PB-C的大小为仇所以cos方部H，所以二面角A-PB-C的余弦值

为〃

18.(1)记前=〃,Q)="/为=c,则⑷=1例=1。1=1,(a,b)=(b,c)=(c,a)=

60°,所以ab=bc=ca=^.\AC\\1=(a-\-b-^c)2=a2-\-b2-\-c2-\-2(ab-\-b'C-\-ca)=1

+1+1+2X修+[+£)=6,所以宿=#,即AG的长为#⑵因为届=0+》

+c,BD=5一a,所以AC\BD=(a+8+c)-(b~a)=ab+|》F+be—|a|2—ab—ac—

Zrc—〃・c=|b||c|cos6()。一|〃||c|cos6()o=().所以4G_L3。，所以AC\LBD(3)BDi=b

+。-4危=。+6,所以|丽||=啦，|危|=小，BD\AC=(b+c-ay{a^b)=tr-a1

丽i.恁乎.所以异面直线AC与BDi夹

+a・c+"c=l.所以cos〈防，AC)=

\BD\\-\AC\

角的余弦值为平

19.(1)在△AOE中，AO=2,AE=1,ND4E=60。，所以DE1=AD2-\~AE--

2ADAEcosZDAE=21-\-P-2X2X1Xcos60°=3,所以DE--\-AE?=4=AD2Z

AEO=90。，即。E_LAEOE_LEC翻折后，DEIA1£。£；_1后。.又因为"'C\EC

=E,EA‘，ECU平面A'EC,所以DELL平面A；EC,旦NA'EC=60。.又因为

AfCU平面A'EC,所以。E_LA'C®.在△4'EC中，A'E=\,EC=2,ZA'EC

f

-60°,与证明NAED—90。同理可得NEVC~90°t所以A'C±AE②.由①@

及A'EQDE=E,AfE,OEU平面A'ED,所以A'CJ_平面A'DE(2)由(1)

可知OE_L平面A'EC而OEU平面BDEC,所以平面8OEC_L平面A'EC.在平

面A'EC内过点作A'HLEC于点H,由于平面A'ECA^FffiBDEC=EC,

J3

A'HU平面A'EC,所以A'”_L平面8OEC.而A'H=A'Esin60°=V»S四边形

BDEC—SJABC~SADE—X32-*xsin60°=^*75»所以Kv-so£c=；S四边形

HDECA'HX坐=£

20.(1)连接CQ,交A产于点”，连接HG,根据三棱柱

的性质可知AO〃。64O=CR所以四边形AQFC是平行四

边形.所以〃是A尸的中点.因为G是。E的中点，所以

〃G〃C£由于"GU平面AGFCm平面AG尸，所以CE〃平

面AGb(2)因为四边形8E/C是正方形，所以3C_L8E因

为平面3£尸。_1平面ADEB,平面BEFCQ平面所以3C_L平面ADEB,

则BCJ_B£3C_LBG.因为NOE8=60。，GE=2,BE=1,在△BGE中，由余弦定理

BG=y]BE?+GE?-2BEG£cos60°=V3»所以BE2+BG2=GE2,所以BGLBE.

以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则知点G(黄，0,0),AQ小,-

2,0),F((),l,l),D(25-1,0),£(0,1,0),历=(一3，2,0),而=(一小,1,1),

而=(一5,1,0).设平面AGF的一个法向量为m=(.”)，ia),则

n\AG=—yl3x\+2ji=0,l厂l

,_令xi=2,则yi=zi=小，故〃=(2,小，小).设

ni-GF=­y[3x\+yi+zi=0,

点。到平面AGf的距离为d,则d=|窄产卜需=嚅(3)假设线段3c上存

在一点P，使得二面角P-GE-8为45。.设P点坐标为(0,0,/?),则改=(一小，0&),

成=(0,—17?).设平面PGE的一个法向量为〃2=(X2J2Z2),则

H2'GP=—V3X2+//Z2=0,h(h\

"令Z2=l,则X2=F，y2=/l,所以〃2=一币h,1.

〃2E。=—/+〃Z2=0,7

由于8C_L平面ADEB,所以比=(0,0,1)是平面BGE的一个法向量，所以cos：BC,

8c上存在一点R使得二面角2GE-3为45。，且BP=哗

21.(1)因为在三棱柱ABC-A'夕C中，四边形ACC'A'是平行四边形，

AC1GA'C=E,所以E是AC'的中点.因为尸是夕C

的中点，所以£尸〃48’.因为平面48'C,AB'U平面

AB'C,所以所〃平面A8'C(2)如图，过点8'作8'H

_L平面48C,交AC的延长线于点〃，过点”作CC'的平

行线”M,交A'C于点、M,连接”8,则NMH8'的大

小是二面角A'-AC-B1的大小.因为AC=2,8C=4,NAC7?=120。，ZACCr=

90°,且平面A"C_L平面48C,二面角A'-AC"为3()。，所以=Z

BB'H=30°,NBCH=60。,所以NHBC=30。，Z^/7C=90°,所以CH=£BC=

22

2,所以BH=yj4-2=2y/3f所以点B'到平面ABC的距离为B'H=-^lo=6

IdUDU

(3)以〃为原点，为x轴、为)，轴、HB'为z轴建立空间直角坐标系，则

知点A(4,(),()),3(0,2S，())，B'(0,0,6),C1(2,-2^3,6),而=(4,一2镉，0),

BB'=(0,—2小，6),BCf=(2,—4小，6).设平面ABB'的一个法向量为n=

nBA=4x—lyl3y=0,取x=事,得〃=(小，2,鸣.设平面

Qy,z),贝1}

n-BB'=—2小y+6z=0,

nvBW=-2，5)，+6Z=O,

BB'C的一个法向量为根=Q,)，，z),则J_取工=

[m-BC1=2x—4Sy+6z=0,

®得〃，=(小，1,用.设二面角A-BB'-C的大小为仇则cos0=jg=

17

117VB,所以二面角48二-。'的余弦值为岭国

65

22.(1)由已知得AD//BE,CG//BE,所以AD//CG,故

AD,CG确定一个平面，从而ACG。四点共面.由已知得AB

_L6£A8J_3C,故A6_L平面8CGE.又因为ABU平面A8C,所

以平面A8C_L平面3CGE(2)作£7/_L8C,垂足为”.因为£“u平面8CGE,平

面8CGEJ_平面ABC,所以E”_L平面ABC由已知得菱形BCGE的边长为2,NEBC

=60。，可求得BH=1,EH=小以H为坐标原点,碇的方向为x轴的止方向，建

立如图所示的空间直角坐标系"Uyz,则知点A(—1/。)，C(l,0,0),G(2,O,，5),CG

=(1,0,小)，AC=(2,-l,0).设平面ACG。的一个法向量为〃=(%)⑵，则

CGn=0,x+v3z=0,上

'一即所以可取〃=(3,6,一小).而平面BCGE的一个法

启〃=(),ZLJ=0,

向量可取为/"=(0/,0),所以cos〈〃,/加=潦*=乎.因此，二面角8-CG-A的大

\nv\m\z

小为30°

综合测试第7章计数原理

1.D2.D3.A4.C

5.B提示分两类：①有一个人与甲被安排在同一个比赛场地，有6种不

同的安排方案；②没有人与甲被安排在同一个比赛场地，有C*A3种不同的安排方

案.故若甲不去4比赛场地，则有C%A3+aA3)=24种不同的安排方案

6.D提示由题意知Ci!=C；!,故〃=7+3=10,所以奇数项的二项式系数之

和为:X210=29

7.D

8.B提示取x=0,得ao=l.再取x=一得次)一年+爱一爱+…+篝一

。20421

9.AD提示因为77+1=(2叱卜(丁)「=。；/厂〃，所以当〃=4Z(Z£N*)时，展

开式中存在常数项，故A正确，B错误；当〃=4L—1/£N*)时，展开式中存在工

的一次项，故D正确，C错误

10.BC

11.ABC

12.ACD提示对任意实数x,有(2%—3)9=QO+〃I(X—1)+ai(x—l)2+«3(x—

1)34b〃9(X—1)9=9,所以42=-C&X22=-144,故A正确;令X=l,可得40

=-1,故B不正确；令x=2,可得40+41+02+…+〃9=1,故C正确；令x=(),

可得的-01+02+…一〃9=—3\故D正确

13.1560

14.150

15.24提示分情况讨论：①若末位数字为0,则1,2为一组，且可以交换

位置，共可以组成2A§=12个五位数；②若末位数字为2,则1与它相邻，且0

不是首位数字，共可以组成2A3=4个五位数；③若末位数字为4,则1,2为一组,

且可以交换位置，0不是首位数字，共可以组成2X2XA3=8个五位数.所以符

合要求的五位数共有24个

16.—10提示由题意，得(一1)3-C5(5—5x)3%6=〃仃6,则46=—1.(—5

+5x—x2)3=+6/1(2—X)+a2(2~x)2HF«6(2—A)6,令>=1,可得40+0HF

46=—1；令X=3,可得〃0—。|+…+。6=1,所以2(40+42+44+46)=(),即〃O+

17.选①:若个位是0,有Ab=5()4个.若个位是2,4,6,8,有(2度楂看=1792

个.共504+1792=2296个.选②：若个位是0,有Ag=5()4个.若个位是5,

有CUS=448个.共5044-