专题19 二次函数中周长与面积的最值问题(含答案)-2024年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国版）

备战2024年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）

专题19二次函数中周长与面积的最值问题

【典型例题】

1.（2022•全国•九年级专题练习）在平面直角坐标系中，Rt^ABC,0ACB=9O°,48%轴,如图1,C(l,0),

⑴人点坐标为.,4点坐标为

⑵求过A、B、C三点的抛物线表达式;

⑶如图2,抛物线对称轴与AB交于点D,现有一点户从点A出发，以每秒1个单位的速度在A8上向点B

运动，另一点。从点。与点。同时出发,以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动.当点P到达8点时，点

P、。同时停止运动，问点P、。运动到何处时，13PQ8面积最大，试求出最大面积.

【专题训练】

一、解答题

1.（2022•山东槐荫•九年级期末）二次函数），=。r+笈+4（30）的图象经过点&-4,0）,6（1,0），与），轴交于点

C，点夕为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC,过点2作尸如轴于点。.

⑴求二次函数的表达式；

⑵连接小,PC,求S“AC的最大值；

（3）连接BC,当团。尸8=238CO时，求直线8P的表达式.

2.（2022•广东韶关•九年级期末）如图，已知抛物线），=3寸+版+c经过｛＜（））,8（0,-4）,

C(2,0)三点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵苦点"为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为机，AAMB的面积为S.求S关于川的函数关系

式，并求出S的最大值.

3.（2022•全国•九年级专题练习）综合与探究：

17

如图，已知抛物线），=/-1犬-3与x轴相交于A,两点（点4在点A的右侧），且与），轴交于点C.

图2

⑴求A,B,C三点的坐标;

(2)如图1,若M(m,yi),Ng均是第四象限内抛物线上的两个动点，且加＜〃，〃任〃=4.分别过点M,N

作上轴的垂线，分别交线段8c于点。，E.判断四边形MQEN的形状，并求其周长的最大值;

（3）如图2,在⑵的条件下,当四边形MDEN的周长有最大值时,若x轴上有一点”（2加，0）,抛物线的对称

轴与x轴相交于点F,试探究在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得射P8=2回OC”?若存在，请求出

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

4.（2022・全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线了=加+6+c的图象与轴交于人（-1,0）,

仇4,0）,与），轴交于点C（（）,-3）,连接AC、BC.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点。是抛物线上位于第四象限内的一点，连接A。，点E是A。的中点，连接BE、CE,求△BCE

面积的最小值；

(3)如图2,点尸是抛物线上位于第四象限内的一点，点Q在y轴上，(3P8Q=(3O8C,是否存在这样的点P、

Q使BP=BQ,若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

5.(2022•全国•九年级专题练习)如图,抛物线产底+瓜'+4交x轴于点A(-1,0)、5(4,0),交y轴于点C,

点P是直线BC上方抛物线上的一点.

备用图

⑴求抛物线的解析式；

(2)求团的面积的最大值以及此时点尸的坐标:

⑶在⑵的条件下，将直线8C向右平移1个单位得到直线/,直线/交对称轴右侧的抛物线于点连接PQ,

点R为直线BC上的一动点，请向在在平面直角坐标系内是否存在一点。使得四边形PQ7R为菱形，若存

在，请直接写出点7的坐标；若不存在，请说明理由.

6.(2022・全国•九年级专题练习淀义：平面直角坐标系x0y中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该

二次函数的坐标圆.

(1)已知点P(2,2),以P为圆心，的为半径作圆.请判断13P是不是二次函数y=F-4x+3的坐标圆，并说

明理由；

⑵已知二次函数y=f-4x+4图象的顶点为A,坐标圆的圆心为P,如图1,求APOA周长的最小值；

⑶已知二次函数.尸加・4仆4(0<〃<1)图象交x轴于点A,B,交)，轴于点C,与坐标圆的第四个交点为D,

连结PC,PD,如图2.若12cpz)=120。,求。的值.

7.(2022•全国•九年级专题练习)如图7抛物线产0?+加+3过点4(-1,0),点8(3,0),与)，轴交于点C.M

是抛物线任意一点，过点M作直线双丫轴，交x轴于点E,设M的横坐标为〃?(0V〃?V3).

图2

⑴求抛物线的解析式及s廊08C的值;

(2)当〃?=1时，尸是直线/上的点且在第一象限内，若MCP是直角三角形时，求点尸的坐标;

(3)如图2,连接BC,连接AM交y轴于点N,交BC于点。，连接设回8OM的面枳为Si,团CON的面

积为求5i-Sz的最大值.

8.(2022・全国•九年级专题练习)如图，抛物线)，=如+饭+c与x轴交于A、B两点(点A在B左边)，与)，轴交

⑴若A(-l,0),8(3,0)两点,求该抛物线的解析式；

(2)在⑴中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P,使得闭尸的面积最大？若存在，求出点P的坐标及

团P8C的面积最大值；若没有，请说明理由；

(3)直线)，=1与抛物线y=/+〃x+c交于抛物线对称轴右侧的点为点。，点E与点。关于x轴对称.试判断

直线。B与直线AE的位置关系，并证明你的结论.

2

9.(2022・全国•九年级专题练习)如图，直线产-铲+4与"由交7点C,与y轴交于点B,抛物线y=av24

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图，点E是直线8c上方抛物线上的一动点，当I38EC面积最大时，请求出点E的坐标；

(3)在(2)的结论F，过点E作)，轴的平行线交直线8C于点M,连接AM,点。是抛物线对称轴上的动点，在

抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P

的坐标；如果不存在，请说明理由.

10.(2022•全国•九年级专题练习)如图,抛物线产全+b%+c与k轴交于点4-1,0),与〉轴交于点C(0,

-3).

⑴求该抛物线的解析式及顶点坐标；

⑵若尸是线段08上一动点，过P作），轴的平行线交抛物线于点儿交8C于点N,设。户=，时，团8C”的

面积为S.求S关于，的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由.

⑶若尸是x轴上一个动点，过P作射线Pga4c交抛物线于点Q,在抛物线上是否存在这样的点Q,使以A,

P，Q，。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

11.（2022・全国•九年级专题练习）已知抛物线），=aF+尻+3与x轴交于4、B两点（点A在点8的左侧）.与），

轴交于点C.其中OC=O&心疝CAO=3

⑴求抛物线的解析式；

（2）P是第一象限内的抛物线上一匈点，。为线段PA的中点，求（3CPQ面积的最大值时P点坐标:

(3)将抛物线沿射线CB方向平移2夜个单位得新抛物线y.M为新抛物线y的顶点.。为新抛物线y上任意

一点，N为x轴上一点.当以M、N、C、。为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N

的坐标.并选择一个你喜欢的N点.写出求解过程.

12.(2022・全国•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中,抛物线)，="2+法-3交x轴于点A(-1,0)

和点8(3,0),与y轴交于点C,顶点是O.

⑴求抛物线顶点。的坐标；

(2)若尸是抛物线在第四象限内的一点，设点尸的横坐标是〃?，连接AC、CP、BP,当四边形ACP8面积最

大时，求点P的坐标和最大面枳；

⑶若N是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点M,使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四

边修？若存在，请直接写出线段CN的长度；若不存在，请说明理由.

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专题19二次函数中周长与面积的最值问题

【典型例题】

1.(2022•全国•九年级专题练习)在平面直角坐标系中,Rt^ABC,a4cB=90°,A8加轴,如图1,C(l,0),

⑴人点坐标为,3点坐标为；

(2)求过A、B、C三点的抛物线表达式；

⑶如图2,抛物线对称轴与A8交于点Q,现有一点户从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B

运动，另一点。从点。与点。同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动.当点P到达8点时，点

P、。同时停止运动，问点P、。运动到何处时，13PQ8面积最大，试求出最大面积.

【答案】(1)(0,2),(5,2)

(2)过A、8、。三点的抛物线表达式为：)，=；/-|卢2

ss29521125

(3)当点尸的坐标为弓，2),点。的坐标为一)或(彳，-?)时，附Q8面积最大，最大面积为一.

222_2o

【解析】

【分析】

⑴由点C的坐标可得。。=1,进而可得04=2,因为A在)，轴上，可得A的坐标，然后根据勾股定理计算AC、

4B的长，即可确定点8的坐标：

⑵直接利用待定系数法求二次函数的解析式即可：

⑶用动点的时间和速度的关系表示出P8和。Q的长，然后再根据三角形面积公式表示AQQA面积，最后根

据二次函数的最值即可.

(1)

解：0C(1,0),

团OC=1,

(3OC：04=1：2,

回。八=2,

财(0,2),

财c=#7F=8

a4C：BC=\i2,

团BC=2逐，

回朋CB=90°,

团A8=JAC2+BC2=J(右)2+(2石)2=5

轴,

勖(5,2),

故答案为：(0,2),(5,2).

⑵

解：设过4、氏。三点的抛物线表达式为：)，=32+以+C,

1

c=22

贝『25〃+58+c=2解得：/?=--

a+b+c=();

c=2

团过A、B、C三点的抛物线表达式为：)，=gr-gx+2.

⑶

解：如图2,设运动I秒时，团PQ8面积最大，且0小5,则3P=5-1,DQ=5I,

回S“Q8=^xBPxDQ=^(5-t)-5t=-^r,

0t?=—<0

2

25

2

团当广―――时，面积最大值是：S4P(2B=-|X(()+^X|=115,

2xl-|j222/28

此时点P的坐标为（g，2）,

529

当点。向上运动时，点Q的坐标为（旌5），

5?1

当点。向下运动时，点。的坐标为石，-万）,

29521_125

—)S?(~»——»(3PQ8面积最大，最大面积为7-.

222o

本题属于二次函数综合题，主要考查了直角三角形、几何动点问题、勾股定理、三角形面积、运用二次函

数求最值等知识点，确定点。的坐标以及灵活运用学会分类讨论成为解答本题的关键.

【专题训练】

二、解答题

1.（2022•山东槐荫•九年级期末）二次函数），="+6+4（"0）的图象经过点人-4,0）,B（l,0）,与），轴交于点

C,点。为第二象限内抛物线上一点，连接8P、AC,过点。作PQSr轴于点Q.

⑴求二次函数的表达式;

⑵连接见，PC,求Sjac的最大值;

⑶连接8C，当团时，求直线8P的表达式.

【答案】⑴尸«・3x+4

(2)8

⑶产号+9

【解析】

【分析】

⑴先将点A和点B代入二次函数的解析式，然后求得。和b的值，最后得到二次函数的表达式;

⑵先求出点C的坐标，然后求得直线AC的解析式，将P。与AC的交点记为点N,过点。作。硼P。于点

H,然后求得团网C的面积，最后根据二次函数的性质求得团心C的面积最大值;

⑶记BP与)，轴的交点为点E,由PD吩轴得到回QPBWOEB,然后由呢PB=2回BCO得到团ECBWE8C,从而

得到CE=8巴然后设0代小通过直角三角形中的勾股定理列出方程求得〃的值得到点E的坐标，最

后求得直线以3的解析式.

⑴

解：回二次函数y="2+版+450)的图象经过点A(-4,0),6(1,0),

16«-4/7+4=0

a+b+4=0

解得：

回该二次函数的表达式为尸・/・3叶4；

⑵

解：将X=0代入产/・3户4得，产4,

回点C(0,4),

设直线AC所在直线的表达式为广hr+/力，则

0=-4xk+力4二1

/］，解得：

4=44=4

因直线AC的表达式为y=v+4,

如图，设尸Z)与线段AC交于点N,

团N(/，什4),

^PN=yP-yN=-t2-4t,

过点C作CH0P。，则CH=-i,AD=t-4,

^SAAPC=S^APN+SAPCN=IPNMD+；PN・CH

=；PN・(AD+CH)

=；(-r2-4r)*(-/+r+4)

=2P・8/

=-2(/+2)2+8,

0«=-2<O,

回当u-2时，SM尸C有最大值，回用。面积的最大值为8.

⑶

解：设与)，轴交于点E,

轴，

00DP/?=0O£Z?,

团团OP3=203c0,

回回0E8=2圆8C0,

回回EC8WEBC,

©BE=CE,

0C(0,4),B(I,0),

0OC=4,08=1,

设0E~a,贝ijCE=RE=4-a,

在R周BOE中，8尸=0必+0¥,

0(4-«)2=«2+12,

解得：。邛，

O

团仇。,

O

设BP所在直线表达式为产区+〃伙工0),

>+/?=0

山15，

b=—

8

^=_15

解新，3

b=一

8

回直线BP的表达式为

88

【点睛】

本题考查了二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、解题的

关键会用切割法求得MPC的面积最大值.

2.(2022•广东韶关•九年级期末)如图，已知抛物线)，=；/+法+c经过A(-4,0),3(0,-4),C(2,0)三点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点'为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为小，AAMB的面积为S.求S关于川的函数关系

式，并求出S的最大值.

【答案】(i).y=；/+x-4

(2)5与m的函数关系式为S=-m2-4m,S的最大值为4.

【解析】

【分析】

⑴将440),C(2,0)两点坐标代入尸+法可求出氏c的值即可确定关系式;

(2)根据面积法得出S关于〃，的函数关系式，再利用函数的性质得出最大值.

(1)

解：把A(40),C(2,0)代入产；/+加+。得，

—xl6-4/?+c=0

b=\

■2:，解得，

c=-4

-x4+2/?+c=0

2

团抛物线的解析式为产gw+04；

(2)

又EM(〃?，—m2+m-4),

(3ON=-〃?，MN=-^m2-m+4,AN=4+〃?)=4+〃?，

⑦S)BM=SAANM+S梯即MNOB-SAAOB

=；(4+〃?)(-ym2-m+4)+y(-yw2-/??+4+4)(-7??)-；x4x4

=-n^-4m

=3+2产+4,

但当m=-2时，S您人=4,

答:S与m的函数关系式为S=-m2-4m,S的最大值为4.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，用待定系数法求出二次函数的关系式是解

决问题的关键.

3.(2022・全国•九年级专题练习)综合与探究：

17

如图，已知抛物线)，=/-3与X轴相交于A,8两点(点8在点A的右侧)，且与)，轴交于点C

⑴求A,B,C三点的坐标；

(2)如图1,若M(m,户)，”)是第四象限内抛物线上的两个动点,且加V〃,〃?+〃=4.分别过点M,N

作工轴的垂线，分别交线段点。，E.判断四边形MOEN的形状，并求其周长的最大值；

(3)如图2,在⑵的条件下，当四边形MDEN的周长有最大值时，若x轴上有一点，(2加，0),抛物线的对称

轴与x轴相交于点F,试探究在抛物线的对称轴上是否存在••点尸，使得财尸8=2团。C”？若存在，请求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

3

【答案】—0),6(4,0),C(0,-3)

4

(2)四边形MQEN为平行四边形，四边形MDEN的周长有最大值8?9

O

⑶存在，点尸的坐标13为19或(113,1;9)

84X4

【解析】

【分析】

⑴令I=0得出y的值，则点C坐标可得：令户0,解方程可得48的横坐标，纵坐标为0,结论可得；

(2)求出直线BC的解析式，分别用m,〃表示。，E的坐标，用坐标表示线段MD,NE的长度，利用/〃+〃=%

将MD,NE都用机表示后可得MD=NE,四边形MQEN的形状可得；过。作用勾股定理求得线段

BC,利用△O9C313F石£>,求得线段力石的长，利川四边形MDEN为平行四边形的结论可求它政周长，将周

长的式子用配方法变形后，周长的最大值可得；

⑶依据题意画出图形，分点P在二轴的上方和尸在X轴的下方两种情形讨论解答，设出点P的坐标，用坐

标表示相应的线段的长度；由己知胡PB=2团。C”，和抛物线的史称性可得回P8F=(3OC”，利用三角函数得出

比例式，解由比例式得到的方程，结论可求.

(1)

令厂0,贝1卜2_4_3=0.

3

解这个方程得：内=4,玉=-^.

团点8在点A的右侧，

3

(M(-0),8(4,0).

4

令1=0,则y=-3.

13c(0,-3).

⑵

四边形MOEN为平行四边形.理由：

回若M(〃?，川，Ng刈是第四象限内抛物线上的两个动点，

m->13•>13,

0yt-nr--—AH-3,y2-n"--—n-3.

设直线8C的解析式为y=履+从由题意：

4k+b=0

'b=-3，

解得：,4.

b=-3

团直线BC的解析式为y=1x-3.

4

国过点M,N作x釉的垂线，分别交线段3c于点。，E,

33

回。("?，-m-3),E(n,—n-3).

44

133

(WD=-(m2---m-3)-(3—in)=-m2+4/n,

44

133

EN=-(n2---n-3)-(3—〃)=-n2+4n.

44

fflm+n=4,

□n=4-tn.

国EN=-(4-/??)2+4(4-m)=-m2+4m.

®MD=EN.

田过点M,N作工轴的垂线，分别交线段BC于点。，E,

^MD^EN.

团四边形MQ£N为平行四边形.

过D作。箱NE于R则。?=〃-〃?，如图，

团08=4,OC=3.

22

^BC=y］oc+OB=5-

团。/词03.

^EDF=^0BC.

00COB=13DF£=9O°,

回团DF硼［汕0C.

DFDE

自---=---.

OBBC

n-mDE

0-------=——.

45

555

(3OE=­(〃・〃?)=­(4-m-m)=y(2-m).

团平行四边形MOEN的周长=2M/)+2OE=2(-〃户+4"力+2X；(2-m)=-2w2+3w+IO.

3)89

0-2ni2+3m+\0=-2(in—)2+——,

48

又-2V0,

团当/"=［3时，四边形MOEN的周长有最大值89

4o

⑶

在抛物线的对称轴上存在一点P,使得MPB=2I3OC”.

由⑵可知〃的坐标为弓，（））.

3

团0/7=".

2

团抛物线的解析式为>>=x2-x-3,

4

团抛物线的对称轴为直线%=菖13.

O

团0尸=—.

8

1319

自BF=0B-0F=4-----=——.

88

分两种情况解答：

①当〃在入•轴的下方时，SAPZ?=20（?C//.如图，

团由抛物线的对称性可知MPB=2I38P凡

^0CH=^BPF.

^taMCH=taiWPF.

3

-,BF

酊，〃加0C”=OH21，tar^BPF=——

=—=—FP

OC32

BF1

回——=-

PF2

1919

^PF=2BF=2x——=—

84

1319

回点P的坐标为3

i□in

②当点P在X轴的上方时，由对称性可知，点P的坐标为（木,7）.

o4

综上所述，在抛物线的对称轴上存在一点P,使得财PB=2团。CH,此时点P的坐标13为1域9(19311)9.

8484

【点睛】

本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，待定系数法确定直线的解析式，平行四边形的判定与性质，

列代数式，求代数式的最大值，图象上点的坐标的特征，抛物线的对称性，直角三角形的边角关系，勾股

定理，渗透了分类讨论的思想.利用点的坐标的特征表示相应线段的长度是解题的关键.

4.(2022•全国•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)=泼+云+。的图象与釉交于4-1,0),

8(4,0),与)，轴交于点。(0,-3),连接AC、BC.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点。是抛物线上位于第四象限内的一点，连接AD,点E是A。的中点，连接BE、CE,求ABCE

面积的最小值；

(3)如图2,点尸是抛物线上位于第四象限内的•点，点。在〉轴上，0PBQFO8C,是否存在这样的点P、

Q使BP=B。，若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)该抛物线的函数表达式为)，=5工2一1工一3

44

(2)当f=2时，S/CE取得最小值?

4

⑶存在，P管,-蜉)

【解析】

【分析】

⑴先设交点式抛物线解析式，利用待定系数法求即可；

339

⑵先利用待定系数法求直线4c的解析式为y=：x-3,过点E作EM%，轴，交8C于设0(/,-r2--Z

4”44

/_I3Q3/-13/-27

-3),利用中点坐标公式求出E(J-,9f2-x-3),M(J-,一:)，利用三角形面积得出函数关系式

2o522o

SABCE=WEM・OB=2("--x+—)=-(/-2)2+-；

282844

f20116641_________।_____

(3)存在，P--,----，---C-(0,—).如图2,先利用勾股定理求出4C=Jo幺+OC?=x/^手=5,可

1927

FGRG4412

证团BCO,得出==—,求出£(一,--),再证△£(?脱团OC3,

34555得喏嗤

444

"0，・?),利用待定系数法直线E/的解析式为y=-：x-g,联立方程组,得：,解方

JzJO

……(201吟64

程组求出Pj»再证AP匹酿QO8(4S4),求出Q(0,■方)即可.

乙7

(1)

解：团抛物线)，=五+队+c的图象与轴交于A(-1,0),8(4,0),

团设该抛物线的函数表达式为y=6'(x+1)(x-4),将C(0,・3)代入,

得：-4a=-3,

解得："=［3，

4

339

0v=-(x+l)(.r-4)=—x2-----x-3,

444

39

团该抛物线的函数表达式为jL3；

44

⑵

(2)设直线BC的解析式为y=kx^n.

0B(4,0),C(0,-3),

女+〃=0

0

n=-3

解得：4,

〃=一3

睢线“的解析式为尸》T

过点E作EM0y轴，交BC于M,

39

设％,1卞-3),

13点E是A力的中点,

/-I393

0E(--,-

2882

…I3r-27

-1―)x，

2o

-3,933r-27_3,315

回£74=-t2~~x--------=-r--x+一，

8828828

^SLBCE=EM»OB=2{^t2-1-A+y)=1(z-2)2+1,

3

0->O,

4

3

团当，=2时，SZkBCE取得最小值：；

⑶

2011664

解：存在，P--，

9--27，Q（。，-万）

如图2,在BC上截取8E=8O=4,过点E作EGO。。交x轴于G,作£/词BC交），轴于F,交抛物线于尸,

05(4.0).C(0,-3).

(3OB=4,0C=3,CE=BC-BE=\,

团团80c=90°,

鲂C=yj0B2+0C~="+3?=5，

0EG0OC,

回财EG画6c。,

闭”=变=经

OCOBBC

团型=也，

345

^EG=—,BG=—,

55

164

^OG=OB-BG=4——=-

55

4

呐M'

0EM3SC,

00CEF=0COB=9O0,

00ECF=0OCB,

^ECI^OCB,

0e-C-E=-O-C,

CFBC咱4

0CF=|,

3

54

OF=OC-CF=3--=

33

4

研0,-

设直线EF的解析式为y=hx+〃i,

4124

团E（《'~—）*"（O’-

4,12

1年+勺T

4

4

3

解得：

4

n\

3

团直线EF的解析式为y=--x

联立方程组，得：

20

x,=-lx?=w

解得：（舍去），｛,

y.=0116

iy=---

I2727

^PBQ=^OBC,

团［3P3E+0c8Q=回C8Q+(3Q8。,

^PBE=^QBO,

&SLPEB和团Q08中,

"BE=NQBO

BE=BO

NPEB=ZQOB

^PEB^QOB(ASA)f

64

团BP=BQ,OQ=PE=—,

算

图2

【点睛】

本题考查待定系数法求抛物线解析式，直线解析式，利用三角形面积列二次函数，其函数最值，勾股定理,

三角形相似判定与性质，联立方程组求交点坐标，三角形全等判定与性质，掌握待定系数法求抛物线解析

式，直线解析式，利用三角形面积列二次函数，其函数最值，勾股定理，三角形相似判定与性质，联立方

程组求交点坐标，三角形全等判定与性质，是解题关键.

5.12022•全国•九年级专题练习)如图，抛物线产”+云+4交x轴于点4-1,())、5(4,0),交y轴于点C,

点P是直线8C上方抛物线上的一点.

y

备用图

⑴求抛物线的解析式；

⑵求团PBC的面枳的最大值以及此时点P的坐标：

(3)在⑵的条件下,将直线6c向右平:移!个单位得到直线/,育线/交对称轴右侧的抛物线干点0,连接PQ,

4

点R为直线上的一动点，请叵在在平面直角坐标系内是否存在一点7,使得四边形PQ7K为菱形，若存

在，请直接写出点r的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-N+3X+4

(2)8；P(2,6)

(3)存在,T(-0.5387,2.2887)WH—,—)

5656

【解析】

【分析】

⑴将A(-l,0)、8(4,0)代入抛物线公式即可求得a,b.

⑵过P点做平行于直线8C的直线K,当K与抛物线恰有一个交点时，△〃/?€1面积最大，求得此时的P点坐

标.再过P做垂直于直线3C的直线求得北与直线4c的交点，求得交点后发现，此时恰巧交点时C,

18cl即为△P3C的高，再利用三角形面积公式即可求解.

(3)考查菱形的性质.菱形是一个极具对称性的图形，在进行求解时，对角线互相垂直平分.因此，两个相

对点的坐标中点也是另外两个相对点的坐标中点.同时，利用菱形的四条边长相等进行求解.

(1)

解.：将4(・1,0)、B(4,0)代入抛物线公式，如下：

0=。-/?+4

0=16。+48+4'

求得。=3

抛物线解析式为：y=-x2+3x+4.

(2)

解：设夕到直线4C的距离为d,夕点坐标为(x,-x2+3x+4)(0<X<4),

0v=-J2+3A+4交y轴于点C,

令i=0,

0v=4,

团CO,4),

rhB(4,0),C(0,4)两点求得直线8c的解析式为：y+x・4=0.

做直线8C的平行线K：y=-X+/M,因为K与BC平行，我们将K平移，根据题意，点P是直线BC上方抛

物线上的一点，

团随着K平行移动，以为底的E1PBC的高d在逐渐增大，当K与抛物线)=-W+3.r+4恰有一个交点时，

此时以4c为底的团。4c的高d最大，即此时(EP8C面积最大.

团此时K：y=-x+/n与抛物线y=-.F+3x+4相交，且仅有一个交点，

团-x+m=-x2+3x+4,m=8.

目直线K：y=-x+8.

此时求K和抛物线的交点为：

-A+8=-/+3x+4,解得x=2,

将X=2代入直线K：y=-x+8,

解得)，=6.

因此。(2,6).

现在我们来求P到直线6C的距离，即田/生。的高d：

过P作垂直于BC的直线k：y=x+〃?.

团尸在直线4上，

团6=2+〃?，

期?=4,直线k=x+4.

y=-x+4

直线K与直线出的交点为：f“，

解得交点坐标(0,4),即交点为。点.

因此的回尸8c的高d即为B点和C点两点之间的距离，

酎=\BC\=7(2-0)2+(6-4)2=275.

在RP8C中，

团仍。|=4&,回P8C的面积的最大值50PHe=；18cl・d=gx4及x2&=8.

⑶

7

解：存在.直线BC向右平移三个单位得到直线/,

4

723

(3/：y=-(x—)+4=-x+——.

44

2”3x=—7

y=—xH12

.•,4,解得j.

2

y=-x4-3.r+4x2=—

3

二次函数y=-X“3X+4对称轴为x=j,

团直线/交对称轴右侧的抛物线于点Q,

7人、239

取=5，代入)，=-%+彳=^.

79

叫才.

设7(。，b).

回R为直线8C上的一动点，

团设R(x,-x+4).

(团)假设7在。点左侧：

7

回〃〈一.

2

79

此时〃(2,6),T(a,")为菱形对称顶点，Q(g，，R(x,-/4)为菱形对称定点.

24

在菱形中产了QA中，|PR|=IQr|,

即5/(2—x)24-(6+x—4)2='(a-gf+(4一*2①

又®对角线互相垂直平分，且对称顶点横纵坐标的中点相等，即：

7

2+«_2+X

2

②

9.

6+b「+4

-2~

4=3.5387%=-0.5387

由①，②解得＜

"=-1.78876,=2.2887

»一

又函V：,

团此时7点坐标为：T(-0.5387,2.2887).

(眇假设7在。点右侧：

0«＞-.

2

79

此时尸(2,6),Q(gg)为菱形对称顶点,Tia,b),R(x,-x+4)为菱形对称定点.

24

在菱形PT0R中，|PR|=|P",

即、/(a-2)2+(〃-6》=J(2—x)2+[6+x-4)2,③

乂仅对角线互相垂直平分，且对称顶点横纵坐标的中点相等,

6+2

-A=/-4-

即：2,A+，④

r7

2+—=a+x

2

由③，④解得。=婆＞:，符号题意.此时人=经.

56256

此时r点坐标为：丁(?爱69，姜977).

5656

综上所述：丁存在两点，分别为:

7(-0.5387,2.2887)和丁(丝，—).

5656

【点睛】

此题主要考查二次函数性质，同时还考查了三角形的面积，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结

合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度.同时对于菱形的求解，注意利用对称性求解.

6.(2022・全国•九年级专题练习)定义：平面直角坐标系X。)，中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该

二次函数的坐标圆.

(1)已知点P(2,2),以P为圆心，石为半径作圆.请判断团P是不是二次函数y=x2-4x+3的坐标圆，并说

明理由；

⑵已知二次函数y=f-41+4图象的顶点为A,坐标圆的圆心为P,如图1,求△尸0A周长的最小值；

(3)已知二次函数y=a『-4x+4(0VaVl)图象交x轴于点A,B,交>轴于点C,与坐标圆的第四个交点为D,

连结PC,PD,如图2.若团CP力=120。，求。的值.

【答案】⑴团。是二次函数)，=必-4.计3的坐标圆，理由见解析

⑵即OA周长的最小值为6

46+3

⑶人-^

【解析】

【分析】

⑴先求出二次函数产/_以+3图象与x轴、)，轴的交点，再计算这三个交点是否在以P(2,2)为圆心，曲为

半径的圆上，即可作出判断.

⑵由题意可得，二次函数户.己4六4图象的顶点4(2,0),与y轴的交点”(0,4),所以APOA周长

=P()+PA+OA=PO+PH+2>()H+2,即可得出最小值.

(3)连接CO,以，设二次函数户ar24V+4图象的对称轴/与C。交于点E,与x轴交于点F,由对称性知，

对称轴/经过点P,且他CO,设PE=/〃，tt|0CPD=12O-,可得必=PC=2〃?，CE=yf3m,PF=4-m,表示出A3、

AF=BF,在R尼以尸中，利用勾股定理建立方程，求得〃?的值，进而得出。的值.

(1)

对于二次函数-4x+3,

当工=0时，y=3；当y=0时，解得x=l或x=3,

团二次函数图象与X轴交点为&I,0),用3,0),与y轴交点为C(0,3),

团点P(2,2),

回玄=P8=PC=6，

酿P是二次函数y=r-4x+3的坐标圆.

(2)

团二次函数)，=9-4x+4图象的顶点为A,坐标圆的圆心为P,

财(2,0),与丁轴的交点”(0,4),

回回POA周长=PO+PA-^OA=PO+PH+2>OH+2=6,

能1POA周长的最小值为6.

⑶

如图2,连接CQ,PA,

设二次函数)二分2-4x+4图象的对称轴/与CD交于点E,与x轴交于点F,

由对称性知，对称轴/经过点P,且/0CQ,

财8=J1676G:4后，

^AF=BF=

Q

00CPD=12O°,PC=PD,C(0,4j,

盟PC7)=[3POC=30°,

设PE=mt则PA=PC=2m,CE=6m,PF=4-m,

2

团二次函数y=a>?-4A+4图象的对称轴/为X=-,

a

0+m=—,BP-3,

a\/3，〃

在取△见/中，以2=。尸必尸,

04〃/=(4-m)2+——)2,