专题54 分式方程的应用【十大题型】（举一反三）

专题5.4分式方程的应用【十大题型】

【北师大版】

♦题型梳理

【题型1行程问题】.............................................................................1

【题型2工程问题】.............................................................................2

【题型3销售问题】.............................................................................3

【题型4数字问题】.............................................................................4

【题型5图形问题】.............................................................................5

【题型6和差倍分问题】.........................................................................6

【题型7比值问题】.............................................................................7

【题型8航行问题】.............................................................................8

【题型9素材问题】.............................................................................9

【题型10方案问题】............................................................................13

，举一反三

【题型1行程问题】

【例1】（2023」二•山西吕梁•八年级统考期末）我国的铁路旅客列车，按不同的运行速度、运行范围、设备

配置、作业特征等，分为不同的级别，列车的级别由车次开头的字母来表示（部分是纯数字）.如G字头，

表示高速动车组旅客列车；。字头，表示动车组旅客列车；C字头，表示城际旅客列车；K字头，表示快速

旅客列车，等等.吕梁站至太原南站约180km,随着交通的发展吕梁站至太原南站已开通了多次列车，其

中“。50”次列车与“K1334”次列车相比，时速加快，并安全性更好.已知“C150”次列车的平均速度是速度是

“K1334”次列车的1倍，并“。50”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“K1334”次列车少用30分钟（两列

»5

车中途停留时间均除外）.求“。5（）”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站的平均速度分别是多少.

【变式1-1]（2023上•湖南长沙•八年级统考期末）八年级（1）班组织同学乘大巴车前往“韶山红色教育基地”

开展爱国教育活动，基地离学校有120公里，队伍8:00从学校出发，刘老师因有事情，推迟了半个小时从

学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地，问：

（1）大巴与小车的平均速度各是多少？

（2）刘老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？

【变式1-2】（2023•福建省泉州第一中学八年级期末）如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚

家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，

为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比

平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？

老师家

、学校

【变式1-3】（2023上•河北保定•八年级校联考期末）某日，河北经贸大学的青年志愿者协会举办了以“低碳

生活，绿色出行”为主题的志愿活动.为响应“低碳生活，绿色出行”的号召，赵琦每天骑自行车或步行上学,

已知赵琦家距离学校4千米，赵琦骑自行车的速度是步行速度的2.5倍（骑自行车和步行均是匀速），骑自

行车上学比步行上学早到0.6小时.

（1）求赵琦步行上学的速度.

（2）若赵琦某次上学步行了0.5千米后发现没有带数学作业，于是他原速原路返回家拿数学作业，然后骑自行

车去上学，他到家后开门、拿数学作业、取自行车等共用0.15小时，为了不迟到，赵琦以高于平时骑自行

车的速度匀速向学校行驶.若赵琦从步行出门到最后到学校共用了0.6小时，求赵琦这次骑自行车的速度.

【题型2工程问题】

【例2】（2023上•河北唐山•八年级统考期末）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一

号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程.当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一

大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共

同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.

（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？

（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？

【变式2-1］（2023下•重庆九龙坡•八年级重庆市育才中学校考期末）重庆育才成功学校食堂有10个供应饭

菜的窗口，第1到5号窗口的每一位工作人员的打饭速度是相同的，第6到10号窗口是炒菜炒饭特色窗口，

它的每一位工作人员的打饭速度是第1到5号窗口的每一位工作人员速度的"小主人委员会同学在执勤时

8

发现：第1到5号窗口分别都有相同数量的同学在排队，第6、7、8号窗II分别都有1号窗口数量的:的同

学在排队，第9、10号窗口分别都有1号窗口数量的或同学在排队，从此时开始计时，第1到5号窗口在

10分钟后结束排队，第6、7、8号窗口在18分钟以后结束排队，第9、10号窗口在15分钟以后结束排队.后

来小主人委员会的同学从伙食团团长处了解到：第1到5号窗口全部安排给了甲组工作人员负责打饭，第6

到1（）号窗口全部安排给了乙组工作人员负责打饭，其中乙组工作人员的:在6、7、8三个窗口打饭，另外的

:在9、10号两个窗口打完饭后，再到6、7、8号窗口帮忙直到排队结束，如果在排队期间，每个窗口单位

时间里来排队吃饭的同学数量相同，则甲、乙两组工作人员的人数之比是—.

【变式2-2]（2023下•江苏盐城•八年级东台市三仓镇中学校考期中）某一项工程，在工程招标时，接到甲、

乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小

组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：

（I）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天：

（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成.

据上述条件解决下列问题：

①规定期限是多少天？写出解答过程；

②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？

【变式2-3]（2023下•重庆南岸•八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）重庆市某垃圾填埋场生态修复工程

全面竣工验收，全国最大垃圾填埋场摇身变为环境优美、空气宜人的生态绿地，实现了城市土地的循环再

利用.修夏之初，一期工程共有7500吨垃圾要运走，计划由甲、乙两个工程队运走垃圾.已知甲、乙两个

工程队，原II划甲平均每天运走的垃圾比乙平均每天运走的垃圾多|,这样甲运走4500吨垃圾的时间L匕乙运

走剩下垃圾的时间少两天.

⑴求原计划甲平均每天运垃圾多少吨？

（2）实际施工时，甲平均每天运走的垃圾比原计划增加了5a吨，乙平均每天运走的垃圾比原计划增加了

AOV

甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务，剩下的垃圾由乙再单独工作2天完成.若运走每吨垃圾的运输费

用为40元，请求出甲工程队的运输费用.

【题型3销售问题】

【例3】（2023下•山东泰安•八年级肥城市实验中学校考期中）某个体经营户了解到有一种盒装商品能畅销

市场，就用4万元购进这种商品，面市后果然供不应求，他又用8.8万元购进了第二批这种商品，所购数量

是第•批购进量的2倍，但每盒单价涨了4元，他在销售这种盒装商品时每盒定价都是56元，最后剩下的

150盒按八折销售，很快售完.

（1）该盒装商品两次的单价分别是多少元？

约分为:，则这个二位数是—.

【题型5图形问题】

【例5】（2023下•重庆沙坪坝•八年级重庆一中校考阶段练习）如图I,在一张长方形纸片的四个角分别剪去

一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒.

图I图2

（1）若图1中原长方形纸片长20cm,宽16cm,被剪掉的正方形边长为acm,折叠得到的无盖长方体纸盒的长、

宽、高之和为24cm,求”的值；

（2）现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正

方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制

作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组

有多少名同学？

【变式5-1］（2023下.安徽合肥.八年级合肥市第四十五中学校考价段练习）一根水管因使用口久，内携均匀

地形成一层厚2mm的附着物，而导致流通截面面积减少至原来的白，这根水管原来的内壁直径是（）

16

A.8mmB.9mmC.16mmD.18mm

【变式5-2］（2023下•浙江杭州•八年级阶段练习）为抗击新冠疫情，义乌市某企业承接了一批口罩所需包装

盒的制作业务，该企业进行了前期的试生产，如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的

边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱，（加工时接缝材料不计）

（【）该企业原计划用若干天加工纸箱300个，后来由于提升工作效率，实际加工时每天加工速度为原计划

的L5倍，这样提前3天超额完成了任务，且总共比原计划多加工15个，问原计划每天加工包装盒多少个;

（2）若该企业购进正方形纸板550张，长方形纸板1200张.问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能

将购进的纸板全部用完；

（3）该企业某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板100张，长方形纸板“张，全部加工

成上述两种纸盒，且150VQC168,试求在这一天加工两种纸盒时。的所有可能值.（请直接写出结果）

图1图2

【变式5-3]（2023•江苏南通•八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长

为a米（Q>1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为

（a-1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.

“丰收I号

（1）①“丰收1号”单位面积产量为kg/m2,

“丰收2号”单位面积产量为kg/m2（以上结果均用含Q的式子表示）；

②由图可知，（填“1号”或“2号”）小麦的单位面积产量高；

（2）若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多占kg/m2,求Q的值；

（3）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田•致，“丰收1号”

小麦种植面积为几平方米（九为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米.若两种小麦种植

后，收获的产量相同，当aV8且口为整数时，符合条件的几的值为（直接写出结果）.

【题型6和差倍分问题】

【例6】（2023上•四川广元•八年级统考期末）某社区拟建4B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的

占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米.用60平方米建4类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊

位个数的|?

⑴求每个48类摊位占地面积各为多少平方米;

（2）该社区拟建48两类摊位共90个，且3类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍.求最多建多少个A类

摊位.

【变式6-1】（2023上•福建福州•八年级福建省福州屏东中学校考期中）学校要举行跳绳比赛，同学们都积极

练习.甲同学跳12（）个所用的时间，乙同学可以跳180个；又已知甲每分钟比乙少跳20个，求每人每分钟

各跳多少个？

【变式6-2】（2023上♦山东东营•八年级校考期中）某学校决定购买A,8两种的亚运会纪念徽章作为“校园

读书节”活动奖品，已知A种比B种每件多20元，预算资金为1600元.

（1）其中700元购买A种徽章，其余资金购买8种徽章，且购买B种的数量是A种的3倍.求A,B两种徽

章的单价.

（2）购买当日，正逢“十一”大促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：在不超过预算资金

的前提下，准备购买A,B两种徽章共120件；问最多购买A种徽章的多少件？

【变式6-3］（2023上•湖南永州•八年级统考期中）在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款100000

元，乙公司共捐款140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少20人

乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的:倍

（1）甲、乙两公司各有多少人？

⑵现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱15000元，B种物资每箱12000元.若

购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有儿种购买方案？请设计出来.（注：A、B两种物资均

需购买，并按整箱配送.）

【题型7比值问题】

【例7】（2023上.重庆江北•八年级统考期末）“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是

一重大举措.某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预

算这三个村民小组各需两种果树之和的比为4：5：6,其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7

千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为2：3.在购买这两种果树时，高山脆李树的价

格比预算低了10%，晚熟香桃树的价格高了20%,晚熟香桃树购买数量减少了12.5%.结果发现购买两种果

树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比

为•

【变式7-1］（2023上•河北保定•八年级校联考期末）数学的美无处不在.数学家们研究发现，弹拨琴弦发出

声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声

音就比较和谐.例如，三根弦长度之比是15：12：10,把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别

发出很调和的乐声而，加，s。，研究15,12,10这三个数的倒数发现：*一*我们称15,12,

10这三个数为一组调和数.现有一组调和数：x,5,3（x>5）,则可列关于x的方程为（无需

整理），解得无=.

【变式7-2】（2023上•重庆•八年级重庆一中校考期末）腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售

商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为3:5:3,腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为3:3:2.今年1月份，该销

售商将腊肠单价上调20%,腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增

加,其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的今年1月份腊肉的营业额将达到今年I月份总苣业额的《.若

430

腊舌今年I月份增加的营业额与今年I月份总营业额之比为1:5,则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比

是.

【变式7-3］（2023上•重庆大足•八年级统考期末）随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语

文、数学、英语的时间为2:4:4,班主任李老师提醒要学科均衡，补短板.他便将数学复习时间的20%分给

了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为3:5.李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息

时间分给了三个学科，其中20%分给了语文，余下的80%分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与

三科总复习时间比为1:4.若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为5:6,那么数学的总复习时间

与最后三科总复习时间之比为.

【题型8航行问题】

【例8】（2023上•天津和平•八年级天津市汇文中学校考期末）一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是

顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8km/h,平时逆水航行与顺水航行所用的时间

比为2:1,某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h.则甲，乙两港之间的距离为（）

A.空B.15kmC.号kmD.20km

【变式8-1］（2023•浙江杭州•八年级期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它以最大航速沿江顺

流航行108km所用时间是以最大航速逆流航行60km所用时间的1.2倍，则江水的流速为多少km/h?

【变式8-2］（2023上•河北唐山•八年级统考期中）一小船由4港顺流而下到B港需6h,由8港逆流而上到力港

需8h.某天早晨6点，该船由入港出发驶向8港，到达8港时，发现船上一救生圈在途中掉入水中，于是立

刻返回，3后遇到救生圈.

（1）该船按水流速度由A港漂流到8港需要多少小时？

⑵救生圈是何时掉入水中的？

【变式8-3］（2023上•江苏盐城•八年级校联考期末）图书管理员小张要骑车从学校到教育局，一出校门，遇

到了王老师，王老师说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了"，小张回答说：“去时逆风，回来时顺风，

和无风往返一趟所用时间相同（顺风速度=无风时骑车速度+风速，逆风速度=无风时骑车速度一风速）

（1）如果学校到教育局的路程是15km,无风时小张骑自行车的速度是20km/力，他逆风去教育局所用时间

是顺风回学校所用时间的:倍，求风速是多少？

（2）如果设从学校到教育局的路程为s千米，无风时骑车速度为u千米/时，风速为。千米/时（v>«）,那

么有风往返一趟的时间无风往返一趟的时间（填或“=”），试说明理由.

【题型9素材问题】

【例9】（2023下・浙江温州•八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务.

奶茶销售方案制定问题

当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨

素

梅”.每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元.

材I

两款奶茶配料表如下:

芝士杨梅配料

芝1100mL/杯

茉莉清茶400mL/杯

1杨梅肉

多肉

满杯杨梅配料

茉莉清茶500mLz杯

li杨梅肉

多肉

素5月27口当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润48（）元，其中每杯“芝士杨梅”的利

材3润是每杯“满杯杨梅”的:倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯.

素由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅"每杯降价4元促销，并要求当天芝

材4士消耗量不少于3500mL,配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅''和“满杯杨梅”.

问题解决

任确定奶茶的售

每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅''的售价是多少？

务1价

任确定奶茶的成每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅''的成本是多少？（每杯利润=每杯售价-每杯成本

二总利润）

务2本数量）

任

拟定最优方案为了使5月28口这两种奶茶获利最人,需制做••芝士杨梅••和••满杯杨梅”共多少杯？

务3

【变式9-1】（2023下•浙江湖州♦八年级校考期末）根据素材，完成活动任务:

为鼓励学生积极参加学校劳

动，养成劳动习惯，培养劳动

品质某校“方志实践”劳动基

素1

地打算用如图所示的围栏搭L

材一副I围七

建一块蔬菜基地.已知围栏的

横彳

横杠长为15dm,竖杠长为8dm1--------------二竖杠

t1

:<------------------------------------15dm-f

一副围栏由2个横杠，5个竖11

杠制作而成

素项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm,价格为50元/根.为

材了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自已购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了

围栏的牢固性，用料不能是拼接而成.

解决问题

任务要求解决办法

方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪_______________根；

任方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm

一根40dm长的围栏材料有哪

务长的竖杠_______________根；

些裁剪方法呢？（余料作废）.

方法③:当先裁剪下2根15dm长的横杠时,余下部分最多能裁剪8dm

长的竖杠________________根：

基地负责老师告诉项目化学

习小组：搭建蔬菜基地需要用项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务.请计

任

到的围栏长为75dm（即需要算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的闱

务

制作5副围栏，需要的用料为：栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材

25个竖杠，10个横杠），请料的费用.

完成裁剪并计算费用.

某安装技术人员告诉项目化

任小组同学：我们在单位时间内

任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠

务可以安装小根竖杠或（7—阳）

所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则.

根横杠.现需知道技术人员的

安装效率.

【变式9-2】（2023下•浙江绍兴•八年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务.

如何设计奖品购买及兑换方案？

素某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比

材1用160元购买钢笔的数量多8件.

素某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数

材2量之比为3:2.

1

素学校花费400元后，文具店赠送m张兑换券1凭此卷可兑换钢笔

兑换券1

110支或笔记本20本

材3（如右）用于商品兑换.兑换后，笔记本与钢笔数量相同.1

尸_

问题解决

任探求商品单价请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单

务1价.

任

探究购买方案探究购买钢笔和笔记本的数最.

务2

任

确定兑换方式运用数学知识，确定兑换方式.

务3

【变式9-3］（2023下•浙江温州•八年级阶段练习）根据素材，完成任务.

如何设计雪花模型材料采购方案？

素学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作.每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料.某同

材学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花

模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9.

某商店的店内广告牌如右图所示.5月，

素1.短管子售价:a元/根，

学校花费320元向该商店购得的长管子长管子售价：2。元/根.

材2.6月1口起，购买3根长管子赠送1根短管子.

数量比花200元购得的短管子数量少803.本店库存数量有限,长管子仅剩267根,短管

子仅剩2130根，先到先得！

根.

素

6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管了各若T根全部用火制作甲、乙雪花模型（材

材

料没有剩余），且采购经费恰好用完.

问题解决

任

务分析雪花模型结构求制作•个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？

任

试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材

务确定采购费用