中考数学一轮复习【举一反三】系列-专题29 正方形的性质与判定【十六大题型】（举一反三）（原卷版）

专题29正方形的性质与判定【十六大题型】

♦题型梳理

【题型1根据正方形的性质求角度、线段长、面积、坐标】...........................................1

【题型2正方形的判定定理的理解】...............................................................2

【题型3证明四边形是正方形】....................................................................3

【题型4求正方形重叠部分面积】.................................................................5

【题型5与正方形有关的折叠问题】...............................................................6

【题型6根据正方形的性质与判定求角度】.........................................................7

【题型7根据正方形的性质与判定求线段长】.......................................................9

【题型8根据正方形的性质与判定求面积1..................................................................................10

【题型9根据正方形的性质与判定证明】...........................................................11

【题型10根据正方形的性质与判定解决多结论问题】...............................................12

【题型11与正方形有关的动点问题】..............................................................14

【题型12与正方形有关的规律探究问题】..........................................................15

【题型13正方形与一次函数的综合应用】..........................................................17

【题型14正方形与反比例函数的综合应用】........................................................18

【题型15正方形与一次函数、反匕例函数综合应用】...............................................19

【题型16正方形与二次函数综合应用】............................................................20

【知识点正方形的性质与判定】

1.定义：

四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形

2.性质：

正方形既是矩形，又是菱形,具有矩形和菱形的一切性质.

性质1：正方形的四个内角都相等,且都为90。，四条边都相等.

性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角.

性质3：正方形具有4条对称轴,两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线.

另外，由正方形的性质可以得出：

(1)正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形.

(2)正方形的面积是边长的平方,也可表示为对角线长平方的一半.

3.判定：

判定一个四边形是正方形，除了定义之外,还可以采用以下方法：

(1)先证明是矩形,再证明该矩形有一组邻边相等,或对角线互相垂直.

（2）先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等.

【题型1根据正方形的性质求角度、线段长、面积、坐标】

【例1】（2023•河南安阳•统考模拟预测）如图.四边形ABCO为正方形，点/I的坐标为（1,75）,将正方形绕

点0逆时针旋转,每次旋转60°,则第2023次旋转结束时,点。所到位置的坐标为（）

A.(V3,—1)B.(―1,—V3)C.(―1,V3)D.(V3,l)

【变式1-1]（2023•广东东莞・三模）如图，正方形48CZ）的两条对角线4C,BD相交于点0,点E在BD匕且

BE=BC.则4BEC的度数为

【变式1-2]（2023•河南・统考二模）如图，边长为2的正方形力BCO的对角线相交于点。过点。的直线分

别交4）、BC于E、夕则阴影部分的面积是

【变式1-3]（2023•江苏盐城-校考模拟预测）如图，以正方形4BCD的两边BC和4。为斜边向外作两个全等

的直角三角形8CE和ZMF,过点C作CG1AF于点G、交AD于点//,过点8作BI1CG于点I,过点〃作OK1

BE,交EB延长线于点K,交CG于点L.若S四边形在.=2s由，GH=1,则DK的长为.

【题型2正方形的判定定理的理解】

【例2】（2023•河北邢台・统考二模）下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据,可以判断菱形是

正方形的是（）

【变式2-1］（2023•河北邢台・二模）如图,四边形4BCZ）的对角线AC、8。相交于点。，下列条件中，能判定

四边形A8CZ）是正方形的是（）

A.AC=BC=CD=DA

B.AO=CO,BO=DO,AC1BD

C.AO=BO=CO=DO,AC1BD

D.AB=BC,CD1DA

【变式2-2］（2023•河南南阳•统考三模）在瓦4B8中，已知4C、为对角线,现有以下四个条件：

①=90。;②/。=BD;@ACA.BD;®AB=BC.从中选取两个条件,可以判定阿力BCD为正方形的

是.（写出一组即可）

【变式2-3］（2023•浙江绍兴・统考中考真题）如图，在平行四边形48。。中，力。=2AB=2,乙ABC=

60。,E,尸是对角线8。上的动点，且BE=DF,M,N分别是边边8c上的动点.下列四种说法：①存在无数

个平行四边形MENG②存在无数个矩形MEN";③存在无数个菱形MENF;④存在无数个正方形MEN".其

中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【题型3证明四边形是正方形】

【例3】（2023•山西忻州・统考模拟预测）综合与实践

如图1,在^ABC^,LBAC=90°,AB=AC,。是BC边上一点,将4AC。绕点4顺时针方向旋转，使力C与A8重

合,得到△ABEt过点E作EF||BC,交AB于点、F,过点F作尸G1BC于点G.

（1）如图1,当血。=90。时,求证：四边形4DMB是正方形;

（2）如图2,当点。在线段C4的延长线上时,若48=1,AC=3,求线段ME的长；

（3）如图3,过点人作4N||DE,交线段C8于点N,4N平分乙C4E,试探索：CN与MN的数量关系，并说明理由.

【题型4求正方形重叠部分面积】

【例4】（2023•浙江・统考中考真题）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案,

每块大正方形地砖的面积为劣小正方形地砖的面积为“依次连演四块大正方形地破的中心得到正方形

例力.则正方形ABC1）的面积为（用含a,b的代数式表示）.

【变式4-1］（2023•四川自贡•统考一模）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方

形AEFG的位置,则图中阴影部分的面积为（）

A请B.fC.^Df

【变式4-2]（2023•山东荷泽・校考一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点。是其中一个正方形

的中心,则图中阴影部分的面积为.

【变式4-3]（2023•天津・中考真题）如图,在正方形ABCD中，点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上，点

M,F,Q都在对角线BI）上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则把经雪的值等于____.

S正方形AEFG

【题型5与正方形有关的折叠问题】

【例5】（2023•安徽•模拟预测）如图，在正方一形力8。。中，G为/I。边上一点，将△A8G沿8G翻折到△尸8G处,

延长GF交边于点E,过点F作FH||BC分别交于点从P,Q.请完成卜列问题：

(2)若丹/==4,则BP=

【变式5-1]（2023•江苏扬州•校考三模）在边长为6的正方形ABCD中，点E是边8c上的动点（不与B,C重

合），连接4E,将^ME沿AE向右翻折得△AFE,连接CF和0居若AOFC为等腰三角形,则8E的长为

【变式5-2］（2023•山西朔州-校联考模拟预测）如图，在正方形485中，48=2,将其沿“.翻折，使

乙EFC=120。,顶点B恰好落在线段40上的点G处，点C的对应点为点H.则线段4E的长为.

［变式5-3］（2023•湖北-统考中考真题）如图，将边长为3的正方形力BCD沿直线Er折叠，使点B的对应点

M落在边4D上（点M不与点4八重合），点C落在点N处,MN与CD交于点P,折痕分别与边48,CD交于点E,F,

连接BM.

（1）求证：/-AMB=Z.BMP\

（2）若OP=1,求MD的长.

【题型6根据正方形的性质与判定求角度】

【例6】（2023•江西南昌・一模）已知正方形4皮刀与正方形力a正方形力内％绕点力旋转一周.

（1）如图1,连接以；、CF,

①求案的值；

②求/冽管的度数.

⑵当正方形力反'G旋转至图2位置时,连接CF、BE,分别取CF、跖的中点M、N,连接胧猜想豺与储的数

量关系与位置关系，并说明理由.

【变式6-1］（2023•陕西•陕西师大附中校考二模）如图，P为正方形ABCD内一点,PA：PB：PO1：2：3,则

NAPB二_____________

【变式6-2］（2023•山东潍坊•统考二模）如图，E是正方形"6对•角线BD上一点，连接力E,CE,并延长CE

交AD于点F.^LAEC=140°,求乙。尸£的度数.

【变式6-3］（2023•福建•模拟预测）四边形力时是矩形，点尸在边⑦上，/刈P=30°,点G与点〃关于直

线，仍对称,连接BG.

（1）如图，若四边形4完〃是正方形,求NG%.的度数；

（2）连接CG,设AB=a,AD=b,探究当NQ7Q120。时，求b的值.

【题型7根据正方形的性质与判定求线段长】

［例7］（2023•河南信阳・二模）如图，正方形ABCD的边长为1,点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重

合），以线段DE为边长，作正方形DEFG,使得点F、G落在直线DE的下方,连接AF、BF.当aABF为等腰三角

形时,BE的长为.

F

【变式7-1］（2023•湖北襄阳-统考中考真题）如图，在。中"8=/。，点。是AC的中点，将BCD沿8D折

叠得到△BED,连接力E.若DE1于点F,BC=10,则"的长为.

【变式7-2］（2023・广东茂名•统考一模）如图，在^ABC^ADE^,AB=AC,AD=AE,Z-BAC=Z-DAE=

90c,连接8D,CE,延长CE交AB于F.交BD于点G,且CG垂直BD,将力DE绕点A旋转至AEII80时,若CE=

5,EF=1,则BG的值是.

【变式7-3］（2023•江苏宿迁•沐阳县怀文中学校联考一模）如图，已知四边形ABC。中，力0||8。,41=

90。，AB=BC=4,40=2,点E,尸分别是边40,BC上的两个动点，且4E=CF,过点8作BG_LE/于G,

连接CG,则CG的最小值是（）

ED

A.2710-V2B.V10+^/2C.V10D.\4IO-X/2

【题型8根据正方形的性质与判定求面积】

【例8】（2023•浙江舟山•校考一模）如图，在A48C中，48=90°,作血月8于点〃以力8为边作矩形

ABEF,使得AF=ADt延长CD,交EF于点G,作4月_力。交"于点「V；作J£VJ_4M交⑦的延长线于点机.秘V分别

交BE,〃G于点从八若NP二HP,A片1,则四边形/出网的面积为（）

A.3B.2.5C.3.5I）.V5

【变式8-1］（2023•陕西西安-校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，〃8c=乙ADC=90°,连接BD且BD

平分N4BC.若4B+BC=8,则三边形4BCD的面积为.

【变式8-2］（2023•甘肃白银•校联考一模）模型探究：⑴如图1,在四边形ABCD中=48。0=

90。,AB=AD,AE1CD『点、E,若AE=10,求四边形ABCO的面积.

拓展应用：（2）如图2,在四边形的面中，N4BC+4WC=180。,48=AD,AE1BC于点£若力E=

19,BC=10,CD=6,求四边形4BC。的面积.

图1图2

【变式8-3］（2023•重庆九龙坡•重庆市育才中学校联考二模）如图，在正方形48co中，。为4C、80的交

点,△DCE为直角三角形,Z.CED=90°,0E=372,若CE•DE=6,则正方形的面积为（）

AP

E

B

A.20B.22C.24D.26

【题型9根据正方形的性质与判定证明】

【例9】(2023•湖南株洲-校考模拟预测)如图，四边形A8C。是矩形,E是8D上的一点,48力E=

乙BCE,乙AED=^CED.点G是8C、AE延长线的交点,4G与CD相交于点尸.

G

(1)求证：四边形力BCD是正方形；

(2)当AE=3EF,DF=三时，求GF的值.

8

【变式9-1](2023•山东泰安・校考二模)如图，正方形力BCD中,4B=1,点〃是对角线4c上的一点，连接

DE.过点/作EF1ED,交48于点片以DE、E尸为邻边作矩形DE产G,连接/1G,EB.

(D求证：①乙EFB=LEBF;

②矩形。"G是正方形；

(2)求4G+4E的值.

【变式9-2](2023•山东泰安•三模)四边形力8co为正方形，点E为线段AC上一-点,连接DE,过点E作EF1

DE,交射线BC于点F,以DE、E"为邻边作矩形DEFG,连接CG.

备用图

(1)如图1,求证:矩形。EFG是正方形;

⑵若AB=2,CE=V2,求CG的长度;

(3)当线段DE与正方形A8CD的某条边的夹角是30。时，直接写出的度数.

【变式9-3]（2023•内蒙古赤峰・统考三模）问题情境：

如图①，点/为正方形48CD内•点，乙AEB=90°,将At△48E绕点B按顺时针方向旋转90。,得到△CBE'（点

A的对应点为点C）,延长AE交7点F,连接DE.

猜想证明：

（1）试判断四边形BE'Ffi1的形状,并说明理由；

（2）如图②,若。A=0已请猜想线段CP与广。的数量关系并加以证明；解决问题：

（3）如图①,若AB=10,CF=2,请直接写出DE的长.

【题型10根据正方形的性质与判定解决多结论问题】

【例10】（2023•黑龙江鸡西-统考二模）如图,在正方形力BCD中，M,N分别为48,8C的中点,CM与DN相交

于点G,延长8G交CD于点E,CM交BO于点H.下列结论：①CM_!ON;②8〃=;③5血幽=

3s④NBGM=45。;⑤GM+GN=&G从其中正确结论的序号有（）

B.①®@C.①③④⑤I).①②④©

【变式10-1]（2023•广东深圳•统考一模）如图，正方形ABCD中,对角线AC、劭交于点0,/的C的平分线

交初于E,交8c于F,BH1AF于F,交力。于G,交CD于P,连接GE、GF,以下结论：①4的傍d饮;;②四边形

以M是菱形;③法CG④祟&T;⑤S“K：SA.M.V=1：2,其中正确的有（)

【变式10-2]（2023•广东河源・统考二模）如图，在正方形力仇力中,48=6,点。是对角线〃'的中点，点Q

是线段如上的动点（点。不与点。，[重合），连接BQ,并延长交边/“于点回过点。作FQ1BQ交⑦于点F,

分别连接班'与防跖交对角线力，于点G.过点。作CHIIQF交施于点〃连接4C有以下四个结论：

①8尸=&8Q;②△颂的周长为12;③线段力〃的最小值为2;④2sMQG=S.E/其中正确结论的个数为

()

AED

A.1B.2C.3D.4

【变式10-3]（2023•湖北襄阳・统考模拟预测）七巧板是•种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸

板HBCD中,BD为对角线,E,F分别为BC,CD的中点,4P1EF分别交BD,“于0,P两点,M,N分别为B。,DO

的中点,连接MP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板,则在剪开之前,关于该图形的下列说法：①图中

的三角形都是等腰直角三角形;②图中的四边形MPEB是菱形;③四边形EFNB的面积占正方形4BCD面积的

正确的有（）

O

A.B.①©C.只有①D.②③

【题型11与正方形有关的动点问题】

【例11】（2023•浙江嘉兴・统考中考真题）如图，在ZL48C中/8.4C=90。,力分/代5,点。在力。上，且AZ）=2,

点f是/国上的动点,连结。匕点，G分别是BC,您的中点,连接＜G,FG,当力为%1时,线段DE长为

（）

A.V13B.苧C.亨D.4

【变式11-1】（2023•山东济南-校联考二模）如图，已知正方形力磨9,点必是边物延长线上的动点（不与点

月重合），且43仍Z\C您由平移得到.若过点少作刃〃_〃"/为垂足，则有以下结论：

①点必位置变化，使得/力£-60°时，2跖=颂

②无论点"运动到何处，都有DM=y/2HM\

③无论点时运动到何处，掰一定大于135。.其中正确结论的序号为（）

A.①@B.①@C.②③D.①②③

【变式11-2】（2023•湖北黄石-黄石十四中校考模拟预测）如图,P是正方形4BCD边BC上一个动点,线段

4E与AD关于直线AP对称,连接EB并延长交直线4P于点R连接CF.

（1）如图l^BAP=20。,直接写出乙4FE=;

（2）如图2,连接CE,G是CE的中点AB=1,若点P从点8运动到点C,直接写出点G的运动路径长为.

图1图2

【变式11-3]（2023•陕西西安・高新一中校考二模）如图，正方形力四中，力/=4+2H，已知点F是边月8上

的一动点（不与力、8重合）将△力必沿应对折，点A的对应点为P,当为=阳时，则线段AE=_.

【题型12与正方形有关的规律探究问题】

【例J12】（2023•辽宁阜新-统考模拟预测）在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示.点A的坐标

为（1,0）,点D的坐标为（0,2）.延长CB交x轴于点Ai,作正方形AB3C;延长CB交x轴于点A2,作正方形

AzBCC…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（）

A.5x(|)2010B.5x(^)2010C.5x(^)2012D.5x(1)4022

【变式12-1]（2023•山东烟台•统考一模）如图，正方形48co的边长为1,以48为底边在正方形48co内作

等腰点E在CO边上，再在等腰A48E中作最大的正方形为B1G5,・・•，按照此规律继续下去，则第

2019个等腰三角形的底边长为（）

品

A.22018B.

C.

【变式12-2]（2023•黑龙江齐齐哈尔・统考二模）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形0ABC,

边OA,0C分别在x轴,y轴上,如果以对角线0B为边作第二个正方形0BBC,再以对角线0B.为边作第三个正

方形OBAG,照此规律作下去，则点B仙9的坐标为

【变式12-3]（2023•辽宁鞍山・统考一•模）如图，射线〃犷在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°,过点

〃（6,0）作〃/LL〃必于点4作线段初的垂直平分线BE交x轴于点£交/切于点8,作射线OB,以仍为边在

△加以的外侧作正方形/I比4,延长力，交射线如于点风以/!£为边在△〃阳的外侧作正方形儿8£血,延长

4C交射线切于点艮，,以人员为边在△〃，彼的外侧作正方形/13出…按此规律进行下去，则正方形

A202^H202OC202OA?021的周长为

【题型13正方形与一次函数的综合应用】

【例13】（2023•安徽蚌埠-校考一模）如图，在平面直角坐标系T四边形为8CD为正方形，点4（0,3）,8（1,0）,

将正方形力BCD沿x轴的负方向平移，使点〃恰好落在直线AB上,则平移后点8的坐标为.

【变式137］（2023•湖北黄冈•校考模拟预测）如图1,正方形4BCD在直角坐标系中，其中力8边在y轴上，

其余各边均与坐标釉平行,直线/：y=%-5沿p轴的正方向以每秒1个单位的速度平移,在平移的过程中,

该直线被正方形力BCO的边所截得的线段长为/〃，平移的时间为X秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2

中5的值为.

【变式13-2】（2023•辽宁葫芦岛•校联考二模）如图，MN_L8E,垂足为点〃,8。平分乙M8E,B。=2,点力

从点8出发,沿射线BN运动，连接AD,0。_1力。交8£于点6设48=%，△80C的面积为乂则下列图象中

(1)求线段43的长；

⑵如图,将1沿x轴正方向平移,分别交x轴,y轴于E,/两点，若直线EF上存在两点C,〃使四边形力8CD为

正方形,求此时E点坐标和直线力。的解析式；

(3)在⑵的条件下,将E尸绕K点旋转,交直线1于尸点,若Z04B+乙OEP=45°,求产点的坐标.

【题型14正方形与反比例函数的综合应用】

1例14](2023•安徽•二模)如图，正方形/BCD的顶点4〃分别在函数y=一久*<0)和y=：(乃>0)的图

象上,点B,C在x轴上,则点〃的坐标为()

A.(1,3)B.(2,3)C.(2,2)D.(3,2)

【变式14-1](2023♦北京西城・统考一模)如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标是(5,0),点/，是函数

y=^(x>0)图象上的一个动点,过点“作4cLy轴交函数y=-1(x<0)的图象于点C；点〃在x轴上(〃在

力的左侧)，且力介阳连接力氏⑦.有如下四个结论：

①四边形力仇力可能是菱形；

②四边形力仇力可能是正方形；

③四边形/以力的周长是定值；

④四边形/山⑺的面积是定值.

A.①@B.③®C.①③D.①④

【变式14-2](2023•福建泉州・模拟预测)如图，反比例函数y=£(%>0)图象经过正方形。力BC的顶点

4BC边与y轴交于点D,若正方形045C的面积为12,BD=2CD,则A的值为（)

A.3B.-C.-D.-

553

【变式14-3]（2023•福建・统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=：和y=鲍

图象的四个分支上,则实数几的值为（）

【题型15正方形与一次函数、反比例函数综合应用】

⑵如图,将1沿x轴正方向平移,分别交x轴,y轴于£尸两点,若直线EF上存在两点C,〃，使四边形A8CD为

正方形,求此时少点坐标和直线力。的解析式；

⑶在⑵的条件下,将E/喙少点旋转,交直线/于P点,若N04B+"EP=45°,求〃点的坐标.

【变式157]（2023•广东湛江•统考三模）如图，直线力。：y=3%+3与坐标轴交于力、〃两点，以力。为边

在Z1D右侧作正方形48CD,过。作CG1y轴于G点.过点。的反比例函数y=：（4工0）与直线40交于E、F

两点.

(1)求证：△AOD三ADGC;

（2）求反尸两点坐标;

(3)填空：不等式3x+3的取值范围是______.

【变式15-2】(2023•湖南娄底•二模)如图，四边形ABC。为正方形.点4的坐标为(0,2),点8的坐标为

(0,-3),反比例函数y=:的图象经过点C,一次函数y=ax+。的图象经过点。和点A.

(1)求反比例函数与•次函数的解析式；

(2)写出Q无+的解集；

X

⑶点尸是反比例函数图象上的一点,若404P的面积恰好等于正方形/BCD的面积,求产点坐标.

【变式15-3】(2023•山东济南・III东省济南稼轩学校校考一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=

x+匕与反比例函数y=；(x>0)的图象交于点力(3,n),与y轴交于点8(0,—2),点P是反比例函数y=

如>0)的图象上一动点,过点/乍直线PQIIy轴交直线y=%+b于点、Q,设点尸的横坐标为£,且0vtV3,

连接AP,BP.

(1)求£6的值.

(2)当△力8P的面积为3时,求点P的坐标.

(3)设PQ的中点为C,点〃为x轴上一点，点后为坐标平面内一点，当以B,C,