专题 分类讨论思想在五种题型中的应用 中考数学

专题15分类讨论思想在五种题型中的应用

压轴题密押

通用的解题思路：

题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论

1.假设结论成立；

2.找点：当所给定氏未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如不：

①当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧,

若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐

标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；

②当定长为底边时，根据尺规作图作出定氏的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线

有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点

不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点.

3.计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添

加辅线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解

题型二、直角三角形的存在问题分类讨论

1.设出所求点的坐标，用变量表示出所求三角形三边的长的平方的代数式，如本题，设点F（l,f）,

△BCF三边长为："=4+/，疗=/+6/M0,BC=18；

2.找点：根据直角顶点的不确定性，分情况讨论：

①当定长（已知的两个点连线所成的线段）为直角三角形的直边时（如本题（4）中的边BC）,分

别过定长的某一端点（B和C）做其垂线，与所求点满足的直线或抛物线（本题是抛物线对称轴）有

交点时，此交点即为符合条件的点；

②当定长为直角角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所有点满足条件的直线或抛物线有交

点时，此交点即为符合条件的点.

3.计算：把图形中的点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形各边（表示线段

时，注意代数式的符号），再利用相似三角形得比例线段关系或利用勾股定理进行计算.

题型三、不等式（组）中的分类讨论思想

分类讨论思想在不等式（组）中主要体现在含有字母系数的一元一次不等式（组）的解法问题，在

求其解集时要对字母进行分类讨论。

对含字母系数的不等式或不等式组，在求解时一定要注意字母系数的取值范围，要进行分类讨论。

题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想

在函数问题中,分类有两种情况：•种是对概念进行分类,一种是分情况讨论问题,对概念进行分

类，是明确概念的一种逻辑方法，有助于对概念的理解与掌握；分情况讨论问题，可以帮助我们全

面考察一个对象，得出可能的结论，也可以使问题更容易人手，分类思想方法对于中学生来是比较

难掌握的一种数学思想方法，在对概念进行分类时，往往把握不住标准，不能坚持用同一个标准进

行分类，出现“重〃或“漏〃的现象，从而容易导致错误的发生

题型五、圆中的分类讨论思想

由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且具有旋转不变性，因此有不少题目会出现多解问

题。这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养同学们严谨周密的逻辑

思维能力。如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。在圆

中解这类问题时，需要利用分类讨论思想，在解题时可以多考虑将圆进行折叠或旋转。

压轴题预测

题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论

1.（2023•广安）如图，一次函数y="+为常数，女工0）的匆象与反比例函数），='（帆为常数，〃叱0）

的图象在第一象限交于点，与x轴交于点8（-3,0）.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式.

（2）点尸在x轴上，A/M是以⑭为腰的等腰三角形，请直接写出点。的坐标.

2.（2023•澄城县一模）如图，抛物线丁=-%2+以+。与x轴交于点4—1,0）、B,与），轴交于点CQ3）,直

线/是抛物线的对称轴.

（I）求抛物线的函数解析式;

（2）在对称轴/上是否存在点M,使AM4C为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标;

若不存在，请说明理由.

3.12023•婺城区模拟）在矩形ABCZ）中，AB=4,AD=10,石是4）上的一点，且AE=2,M是直线反

上一点，射线ME交直线CD于点尸，EG_LME交直线3CF点G,连结MG、FG,直线FG交直线AD于

点N.

（1）①当点M为■中点时，求。尸与EG的长;

②求震的值.

(2)若AEGN为等腰三角形时，求满足条件的AM的长.

D

4.：2023♦濮阳县模拟)在等腰直角三角形ABC中，NAC8=90°,4c=BC,点P为直线/W上一个动点,

绕点C将射线CP逆时针旋转45。，交直线钻于点Q.

在图I中，将AAPC绕点C逆时针旋转90。得到A/M/C,连接MQ,

VZACP+ZBCC=45°,ZACP=ZBCM,

:"MCQ=45o=/PCQ,

又CP=CM,CQ=CQ,

.•.APCQ三AMCQ.

请阅读上述过程，并完成以下问题:

（1）得出APCQWAMCQ的依据是(填序号).

①SSS

②SAS

③A4S

®HL

(2)在以上条件下，如图2,当点尸在线段84的延长线上时，求证：PQ，=AP?+BQL

(3)在等边三角形力4c中，4c=2,点尸为射线84上一个动点，将射线CQ绕点C逆时针旋转30°交直

线附于点Q,将AAPC绕点C逆时针旋转60。得到MMC,连接MQ,当MMQ为直角三角形时，请直接

写出AP的长.

5.（2023•武侯区校级模拟）如图，在矩形A3CD中，AB=kBC（0<k<\）,将线段AB绕点A逆时针旋转

a度（0<。<90）得到线段AE,过点E作AE的垂线交射线8于点”，交射线4）于•点M.

D

B'-------------fC

备用图

［尝试初探］

（1）当点M在4）延长线上运动时，㈤上与N4A柜始终相等，且AAEW与MDM始终相似，请说明理

由；

［深入探究］

（2）若k=L,随着线段的旋转，点”的位置也随之发生变化，当C〃=?C。时，求tana的值;

24

［拓展延伸］

（3）连接£D,当AEDM为等腰三角形时，求tana的值（用含攵的代数式表示）.

3

6.(2023•虹口区一模)如图，在A48C中，AB=AC=1O,sin5=-,点D、石分别在边胡、BC上,

5

满足NC7)E=N4.点/是£陀延长线上一点，且NECF=ZACD.

(1)当点。是4?的中点时，求tanNBC/)的值;

(2)如果力。=3,求式的值：

DE

(3)如果ABZ龙是等腰三角形，求3的长.

7.(2023•文成县一模)如图，点石，尸分别为矩形A8CD边4),8上的点，以的为直径作O交BF

于点G,且与0。相切，连结EG.

(1)若AE=EG,求证：AABE^AGBE.

(2)若/W=2,tanZEBF=-.

2

①求OE的长.

②连结AG,若AA3G是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的4c的长.

(3)连结CG,若CG的延长线经过点A,且旦)=EG,求生的值.

EF

8.(2023•涪城区模拟)如图，已知：在AA8C中，ZC=90°,点P是8C边上的动点，PD工BC交AB于D,

以PD为直径的。分别交人户于点石，F.

(1)求证：ZEFP=^EPB.

3

(2)若人4=20,sinB=-.

5

①当Z4P8=4NAP£),求尸C的长.

②当4%方为等腰三角形时，请求出所有满足条件的A/%尸的腰长.

(3)若sinB=立，且。，尸，C在一条直线上，则OP与AC的比值为

9.（2023•河南模拟）如图所示，在RlAABC中，NABC=90。，点O为射线AC上一动点，作々。

过点、B作BELBD,交DE于点E,连接CE.（点A、七在4。的两侧）

【问题发现】

（1）如图1所示，若NA=45。时，AD.CE的数量关系为，直线4）、CE的夹角为；

【类比探究】

（2）如图2所示，若NA=60。时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

【拓展延伸】

（3）若NA=30。，AC=2y/3,且A/加）是以AB为腰的等腰三角形时，请直接写出线段CE的长.

题型二、直角三角形的存在问题分类讨论

I.12022•大连模拟)如图，RtAABC中，ZC=9O°,AC=3cm,BC=4cm，点P在边AB上，过点尸作AB

的垂线与边AC或8c相交于点D,将点。绕点尸顺时针旋转93。得点E，过点上作AB的垂线与边AC或

8C相交于点尸.设AP的长为x(cm),四边形。尸所的面积为y(a/).

(1)求AB的长；

(2)求)，关于x的函数解析式，并直接写出自变量”的取值范围.

(备用图)

2.（2022•莲池区校级二模）如图，RtAABC中，NAC8=90。，AC=3,BC=4.动点2从点A出发，以

每秒3个单位长度的速度沿AC-CB-H4方向绕行AABC一周，与8c垂直的动直线/从AC开始.以每秒

1个单位长度的速度向右平移，分别交回,CB于D,E两点.当点Q运动到点A时，直线/也停止运动，

设点P的运动时间为/秒.

（1）当点夕在AC上运动时，过点P作分'_LOE于尸，

①当产庄时，求证：APDF^AEPC；

②设AWE的面积为S,用含，的代数式表示S,并求当/为何值时，S有最大值；

（2）当直线/等分的面积时求/的值，并判断此时点尸落在A48C的哪条边上；

（3）直接写出叨=庄■时，的值.

3.(2022•济南二模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为(3,0),四边形。43C为平

行四边形，反比例函数y=K(x>0)的图象经过点C,与边交于点。，若OC=2五,ianNAOC=l.

(1)求反比例函数解析式；

(2)点P(a,0)是x轴上一动点，求|PC-77)|最大时”的值；

(3)连接6,在反比例函数图象上是否存在点平面内是否存在点N,使得四边形CUW为矩形，若

存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(2022•海口模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=加+法+3(〃/0)与y轴交于点C,与x轴交

于4-2,0)、8(4,0)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M从A点出发，在线段相上以每秒3个单位长度的速度向5点运动，同时点N从4点出发，在线

段BC上以每秒2个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设AM3N

的面积为S,点M运动时间为，秒，试求S与/的函数关系，并求S的最大值；

(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻/,使AM8N为直角三角形？若存在，求出，的值；若不存在，

5.(2023•乳山市二模)过四边形A8C£＞的顶点A作射线AM,P为射线AW上一点，连接。P.将AP绕

点A顺时针方向旋转至AQ,记旋转角/E4Q=a,连接BQ.

(1)【探究发现】如图1,数学兴趣小组探究发现，如果四边形/WC。是正方形，且a=90。.无论点尸在

何处，总有BQ=OP,请证明这个结论.

(2)【类比迁移】如图2,如果四边形是菱形，NZM8=a=60°,15。，连接。Q.当PQ_L4Q,

=+时，求AP的长：

(3)【拓展应用】如图3,如果四边形A88是矩形，AD=6,A6=8,AM平分〃4C,a=90°.在

4

射线AQ上截取4?,使得AR=-AP.当APR?是直角三角形时，请直接写出AP的长.

3

图3备用图

题型三、不等式（组）中的分类讨论思想

1.（2023•淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间

对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表:

购票人数用（人）1噫M5051即100心100

每人门票价（元）605040

，题中的团队人数均不少于10人.

现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于

50人.

（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？

（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元,

问甲团队最少多少人？

2.（2021•商河县校级模拟）阅读下面材料，根据要求解答问题：求不等式（24-1）。+3）＞0的解集.

2x-1>02.v-l<0

解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①成②

x+3>0/+3<0

解不等式组①得：解不等式组②得、＜-3.

二.穴等式（2X一1）。+3）＞0的解集为x＞,或xv-3.

2

请你仿照上述方法解决下列问题:

⑴求不等式（2x-3）（x+l）＜0的解集.

-x-1

⑵求不等式1一°的解集.

3.(2024•江门校级一模)先阅读理解卜面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：解一元二次不等式4>0.

解:vx2-4=(x+2)(x-2),

.•.9一4>0可化为(x+2)(x,2)>0.

由有理数的乘法法则”两数相乘，同号得正”，得

(

①Ix+2>0，②1x+2<0，

U-2>0-[x-2<0

解不等式组①，得x>2,解不等式组②，得xv-2,

.•.。+2)(/-2)>0的解集为1>2或X<一2,即一元二次不等式/一4>0的解集为x>2或xv-2.

(1)一元二次不等式16>0的解集为—；

(2)分式不等式上>0的解集为—；

x-3

(3)解一元二次不等式2/一5工<0.

4.(2022•泰安三模)某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每

瓶告价的？倍.4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销化：6000()瓶，桔子味饮料销售额为250000元，荔枝味

4

饮料销售额为280000元.

(1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价；

(2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味

饮料的销量不少于桔子味饮料销量的』；不多于桔子味饮料的2倍.桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮

2

料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元?

题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想

1.（2024•钟楼区校级模拟）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向3切-1（小〃的出行市场，现

有A,8两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间工（〃〃力）之间的对应关系，其中

A品牌收费方式对应力，8品牌的收费方式对应为，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）说出图中函数凹、乃的图象交点产表示的实际意义：

（2）求y、力关于上的函数解析式；

（3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或8品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的

平均行驶速度均为300/〃/〃而，小明家到工厂的距离为9A7〃那么小明选择—品牌共享电动车更省钱？（填

“A”或"8”）

②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？

y/元

x/min

2.（2023•西华县三模）如图1,抛物线），=一丁+加+°与工轴交于4、8两点（点A在点区左边），与），轴

交于点C.直线y=；x-2经过5、C两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点夕是抛物线上的一动点，过点。且垂直于X轴的直线与直线及x轴分别交于点O、M.设例（见0）.

①点夕在抛物线上运动，若点。恰为线段尸M的中点，求此时，〃的值；

②当点尸在抛物线上运动时，是否存在一点P,使ZPCB=ZACO.若存在，请直接写出点P的坐标；若

不存在，请说明理由.

（图1）备用图

3.（2023•池州三模）在平面直角坐标系/Oy中，点（2,〃。和点（6,〃）在抛物线），=0¥2+公（〃<0）上.

（1）若m=4,fi=-12,求抛物线的解析式；

（2）已知点A（l,y）,8（4,必）在该抛物线上，且""7=0.

①比较片，%，0的大小，并说明理由;

②将线段沿水平方向平移得到线段A厅，若线段A厅与抛物线有交点，直接写出点A，的横坐标大的取值

范围.

4.（2023•河北模拟）在平面直角坐标系中，抛物线），=6口-6）+13=0）的顶点为A,与*•轴相交于8、C

两点（C点在8点的右侧）.

（1）判断点（0/）是否在抛物线），=办5-6）+1（〃工0）上，并说明理由；

（2）若点A到x轴的距离为5,求a的值；

（3）若线段3C的长小于等于4,求a的取值范围.

5.（2023•盐城二模）已知点M（.』，y）,N（X2,%）在二次函数）'=。@一3）2+2（1/0）的图象上，且满足

x2-x1=5.

（1）如图，若二次函数的图象经过点（1,0）.

①求这个二次函数的表达式；

②若乂=必，此时二次函数图象的顶点为点求NPWN的正切值；

③在M、N之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为-6,请直接写出此时点M、N的坐标；

（2）当司效k七时，二次函数的最大值与最小值的差为3,点M,N在对称轴的异侧，则a的取值范围为

6.（2023•锦州）如图，抛物线丫=-32+/»+©交x轴于点A（-l.O）和4,交y轴于点C（0,3百），顶点

为D.

（1）求抛物线的表达式：

（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形OE花4的面积为76，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，若点尸是对称轴上一点，点”是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否

存在点G,使以点E,F,G,〃为顶点的四边形是菱形，且H、G=60。，如果存在，请直接写出点G的

7.（2024•肇东市模拟）综合与实践

如图，二次函数)，=一丁+桁+c的图象与X轴交于点A和3,点8的坐标是(4.0),与y轴交于点C(0.-3).点

■4

。在抛物线.上运动.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图2.当点。在第四象限的抛物线上运动时，连接以)，CD,BC,当ABC。的面积最大时，求点

D的坐标及A5CD的最大面积；

(3)当点£在x轴上运动时，借助图1探究以点勿，C,D,£为顶点的四边形是平行四边形，并直接写

出点石的坐标.

图1图2

8.(2023•扶余市二模)如图,抛物线>=汰+市+c与x轴交于点4(1,0),8(5,0),顶点为尸.

(1)求该抛物线的解析式，并直接写出点尸的坐标：

(2)如图，把原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线工轴上方的部

分记作图形M，在图形M中，回答：

①点A,3之间的函数图象所对应的函数解析式为一:

②当;领k4时，求y的取值范围；

③当/倭上〃?+2,且m>3时.，若最高点与最低点的纵坐标的差为?，直接写出”的值.

9.(2024•南丹县一模)如图，抛物线〉1=加+法+?与x轴交于点4-3,0)，点4，点。是抛物线y的顶

点，过点。作X轴的垂线，垂足为点C（-1,0）.

（1）求抛物线y所对应的函数解析式；

（2）如图1,点M是抛物线y上一点，旦位于k轴上方，横坐标为m,连接MC,

若NMCB=ZDAC,求，〃的值；

（3）如图2,将抛物线x平移后得到顶点为8的抛物线乃.点尸为抛物线y上的一个动点，过点?作），轴

的平行线，交抛物线为于点Q，过点。作x轴的平行线，交抛物线匕于点R.当以点尸，Q,R为顶点的

三角形与A4CD全等时，请直接写出点P的坐标.

10.（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线），=/一2〃a+〃/与），轴的交点为4,过点A作直线/垂

直于y轴.

（1）求抛物线的对称轴（用含〃?的式子表示）：

（2）将抛物线在），轴右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变，组成图形G,点MU，,），N（X2,y2）

为图形G上任意两点.

①当〃?=0时，若王＜々，判断）1与内的大小关系，并说明理由；

②若对于4x7=m+\,都有,＞、2，求/〃的取值范围；

（3）当图象G与直线y=〃?+2恰好有3个公共点时，直接写出机的取值范围.

题型五、圆中的分类讨论思想

1.（2（）23•花都区一模）如图1,已知NMAN=60。，在射线AM、AN上分别截取点8、C,使AB=AC=8.

备用图

（2）如图2,以BC为直径在BC的上方作一个半圆,点。为半圆上的一个动点，连接4）交BC于点石

①当时，求4）的长.

②在线段AC上取•点尸，连接所交4）于点G,若BF=AE,当点。在半圆AC上从点B运动到点C时

求点G经过的路径长.

2.（2023•裕华区二模）如图1,平行四边形44co中，AD=2&,DC=4y/3,N0=6O。，点M在4c延

长线上且CW=8,石尸为半圆。的直径且在_LBW,FE=6,如图2,点石从点M处沿MB方向运动,

带动半圆O向左平移，每秒百个单位长度，当点产与点。重合时停止平移，如图3,停止平移后半圆O立

即绕点E逆时针旋转，每秒转动5。，点尸落在直线AC上时，停止运动，运动时间为f秒.

图3

(2)如图2,当半圆O与"t边相切于点尸，求的长;

(3)如图3,当半圆O过点C,EF与DC边交于点Q,

①求硬平移和旋转过程中扫过的面积;

②求CQ的长;

(4)直接写出半圆O与平行四边形A4C。的边相切时，的值.(参考数据：sin35°=—,tan35°=

3

3.(2022•顺平县二模)如图1,将半径为2的。剪掉一个60。的扇形之后，得到扇形八OB,将扇形人04

放置在数轴上，使点〃与原点重合且04垂直于数轴，然后将图形沿数轴正方向滚动，直至点A落在数轴上

时停止滚动.记优弧回与数轴的切点为点P.过点A作直线/平行于数轴，当/与弧有两个公共点时,

记另一个公共点为点C,将直线/绕点C顺时针旋转60°,得到直线/〃，交数轴于点Q.

（1）当点A落在数轴上时，其对应数轴上的实数为一；

（2）当直线/经过圆心O时，线段PQ的长度为—；

（3）当CQ与扇形所在圆相切于圆的左侧时，求弦AC的长及点Q对应数轴上的实数;

（4）直接写出整个运动过程中长度的最大值.

备用图

4.（2022•永嘉县三模）如图，在平面直角坐标系中，直线），=-：为+6分别交/轴，y轴于点A,B,以回

为直径构造圆，点。在80运动，点D在CA上，8交04于点P,且CO=OA.

(1)求C。的长.

(2)求证：OP=PD.

(3)CE//OA,交圆于另一点E,连结QE.若△C/小为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标.

5.(2022•温州模拟)如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为点8的坐标为(3,0),以为

直径的M与)，轴的正半轴交于点C.点尸是劣弧8C上的一动点.

(1)求sinZABC的值.

(2)当APCA中有一-边是BP的两倍时，求相应人P的长.

(3)如图2,以4c为边向上作等边△C/3O,线段MO分别交4C和8C于点，，N.连结OP,HP.点、P

在运动过程中，力尸与〃尸存在一定的数量关系.

【探究】当点P与点N重合时，求把的值；

DP

【探究二】猜想：当点产与点N不重合时，【探究一】的结论是否仍然成立.若成立，给出证明：若不成立，

请说明理由.

专题15分类讨论思想在五种题型中的应用

压轴地密押

通用的解题思路：

题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论

1.假设结论成立；

2.找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如工：

①当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，

若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐

标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；

②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线

有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点

不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点.

3.计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添

加辅线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解

题型二、直角三角形的存在问题分类讨论

1.设出所求点的坐标，用变量表示出所求三角形三边的长的平方的代数式，如本题，设点F（l,f）,

△BCF三边长为：胪=4+#,^=/+6A10,BC=18；

2.找点：根据更角顶点的不确定性，分情况讨论：

①当定长（已知的两个点连线所成的线段）为直角三角形的直边时（如本题（4）中的边BC）,分别

过定长的某一端点（B和C）做其垂线，与所求点满足的直线或抛物线（本题是抛物线对称轴）有交

点时，此交点即为符合条件的点；

②当定长为直角角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所有点满足条件的直线或抛物线有交

点时，此交点即为符合条件的点.

3.计算：把图形中的点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形各边（表示线段

时，注意代数式的符号），再利用相似三角形得比例线段关系或利用勾股定理进行计算.

题型三、不等式（组）中的分类讨论思想

分类讨论思想在不等式（组）中主要体现在含有字母系数的一元一次不等式（组）的解法问题，在

求其解集时要对字母进行分类讨论。

对含字母系数的不等式或不等式组，在求解时一定要注意字母系数的取值范围，要进行分类讨论。

题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想

在函数问题中，分类有两种情况：种是对概念进行分类，种是分情况讨论问题，对概念进行分

类，是明确概念的一种逻辑方法，有助于对概念的理解与掌握；分情况讨论问题，可以帮助我们全

面考察一个对象，得出可能的结论，也可以使问题更容易人手，分类思想方法对于中学生来是比较

难掌握的一种数学思想方法，在对概念进行分类时，往往把握不住标准，不能坚持用同一个标准进

行分类，出现“重〃或“漏〃的现象，从而容易导致错误的发生

题型五、圆中的分类讨论思想

由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且具有旋转不变性，因此有不少题目会出现多解问

题。这类题目重在考杳同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养同学们严谨周密的逻辑

思维能力。如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。在圆

中解这类问题时，需要利川分类讨论思想，在解题时可以多考虑将圆进行折叠或旋转。

压轴摩预测

题型一：等腰三角形中的分类讨论思想

1.（2023•广安）如图，一次函数为常数，上*0）的到象与反比例函数,~三为常数，

的图象在第一象限交于点4Q/）,与'轴交于点8（一3・0）.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式.

（2）点P在'轴上，是以，旬为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标.

【分析】（1）把点，4、B的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于土、”的方程组，通过解方程组求得

它们的值；然后将点X的坐标代入反比例函数解析式，求得加的值即可；

（2）设尸（&°）,利用两点间的距离公式和勾股定理以及=列出方程，借助于方程求解即可.

1=.+?

【解答】解：（1）将4Q。"）、3（7.0）分别代入一次函数‘一'+得

t9

4

9

-U+-=0

4

4

解得“=3

故,4(1.3)

V=

将其代入反比例函数<,得

上=3

I

解得桁=3.

393

故一次函数的解析式为'‘=一了’'口,反比例函数的解析式为‘=一；；

（2）由（1）知，"QJ）、5（-3。，则域上，3。4'・5.

设PS.O）,

当，"二,4P时，5二+3,

解得。=5或。=-3（舍去）.

故P（5.0）；

当，"二PB时，y-3-M.

解得a--8或a―2.

故P（T0）或Q0）

综上所述，符合条件的点P的坐标为：（，<））或（一&°）或（工（））.

【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求得一次函数和反比例函数解析式，勾股定

理以及等腰三角形的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用.

2.（2023•澄城县一模）如图，抛物线+♦「与•'轴交于点4-L°）、B,与）轴交于点。（。尸），直

线,是抛物线的对称轴.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）在对称轴/上是否存在点A1,使&U4C为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点,”的坐标；

若不存在，请说明理由.

y

A

【分析】（i）运用待定系数法确定函数解析式即可;

（2）由于没有指明等腰的底边，所以需要分类讨论：ACAC-CM,AAf=CAf,运用两

点间距离的求法列出相应的方程，通过解方程求得答案.

-1-A+c■0

【解答】解：（1）把点4T•（））、点C（0.3）分别代入期得c■3

6-2

解得。3.

故该抛物线解析式为：£・・”.工.3

（2）由（1）知，该抛物线解析式为：F'T1.2*.3.

X=------=1

则该抛物线的对称轴为直线T<2.

故设

,.>4（-1,0）点C（OJ）,

/./ic2=io,41/=4+/,3J2

①若<C=/tM时，10=4+M,

解得加二土卡.

.•点M的坐标为（L⑷或（1.一向；

②若,4C=C”时，1。・1♦（“3》，

解得加=0或桁=6,

.点M的坐标为（L0）或0.6）.

当点”的坐标为（L6时，点乂、C、A/共线,

.•点A/的坐标为（1•°）；

③当4A,=C"时，4*小/=1+（加—3「，

解得加=1,

点M的坐标为（“）.

综上所述，符合条件的点A1的坐标为在6）或（1「卡）或（L0）或（1」）.

【点评】本题属于二次函数综合题型，主要考查了待定系数法确定函数解析式，两点间的距离公式，等腰

三角形的性质，解题过程中，需要对等腰三角形的底边或腰进行分类讨论，以防漏解.

3.12023•婺城区模拟）在矩形-MC。中，,必=4,<0=10,E是,4。上的一点，旦.4£=2,Af是直线,S

上一点，射线A/F交直线于点尸，NG1AZEt交直线8c于点G,连结AQ、FG,直线/G交直线.4。

于点M

（1）①当点”为,43中点时，求。尸与8G的长；

MG

②求行的值.

（2）若AEGV为等腰三角形时，求满足条件的4”的长.

【分析】（1）①过点G作明于点”，易得⑷3=GH=2,为等腰直角三角形

-。即=一出，=46，进而得到八。后尸为等腰直角三角形，DF=a?=8,由EGJ.A怎可推出-Gm=49,

则AGJ8H为等腰直角三角形，HG=/H=4y/i；

②过点G作GAJ..4"于点穴，易得KG=J4B=4,D£=8,易证AAGE,AKGE^DEF,得到

EM1G£41…，KM-taiqFG=—=1

-——=-=-lan』GM=---

~GE2,E尸82,于是GE2,EF2,进而可得』

(ai^lFG=—=1

由等角加同角相等得二）佃F=%°,在R3FGM中,FG2；

AM21

(2)易得得到"84,设4丫="，则8"=4-〃，DF=4a.CF=4+4<J,易讦

BGA/cACFG,根据相似三角形的性质可求得8G=%+2,CG=8-%,再分三种情况讨论：（I）当

NG=M7时，过点G作GP1AD于点P,则4P=BG=%+2,履=四,进而求出PN=PE=2a,EN=4a,

DNDF

DN=8-4",再利用平行线分线段成比例得到M一方，以此建立方程求解即可；（H）当EN=NG时，

过点H作笈0，3C于点0,则，NEG=U七尻」4=呢=2,，4=片0=4,进而求出。G=为，由平

行线的性质得到」、£G=5窕，于是-EGQ-NGE,由等角的余角相等得-0R；=』FG,则

（811£0尸G=tsii_EFG=_=—

2月。，以此建立方程求解即可；（IH）当及V=EG时，则/EVG=5GV,由平

行线的性质可得上及VG=Z5GC,于是』GN二5GC,由等先的余角相等得」FG=-C/G,进而得到

tmx^CFG=Um5FG=1=—

2CF,以此建立方程求解即可.

【解答】解：（1）①当点M为，”中点时，如图，过点G作GH_LTO于点H,

则.GHA一90,

,.,四边形4BC0为矩形，

.-4=」=90。，

四边形为矩形，

AB=GH=2,

・・•点A/为,43的中点，

仙=3"=2,

AE-2,

.,仙=.4£=2,DE=AD-A£=8,

，AW为等腰直角三角形，，4E.”=4S,

_DEF=_®/=4夕，

为等腰直角三角形，=°£=8,

•・•EGl\fEf

_.MG=90\

-GEH=W,

为等腰直角三角形，BG-CGH75,

。尸=8,£G=4^;

②如图，过点G作GK1.M于点火,

贝lj人工；.484,

a.,AE-2,

，切?=8,

EG1ME,

一4及“十_AXG=9(r,"GR+*G=90Q,-灯G+=90。,

一位M=_KGE=_DEF,

..^AEM^AKOE,AKGE^ADEF,

EAf.AEEAf21

：.~GE~~KGt即方■一丁3,

GEKGGB4I

EF~DEt即EF~2,

tmJGA/=—=1(ailJR;=—=1

GE2,EF2,

:」GM=』FG,

•/一EG尸+一E阳=90°,

」G八」GM=90—即尸二%。，

.•ta>^rro=—=i

FG2：

(2)•,一4£”=二。月产，工&/=UDF=90°,

WEMADEF,

.iMABAAf2\

/.DF~DEf即DF-8-4,

设AM-a,则BM=4-a,DF=4。，

CF=CD+DF=4+4d,

由(1)②可知，」行尸=%°,

UGM+_CGF=90°,

_CFG+"GF=9(r,

/.』G\I=_CFG,

,」=_C=90\

^BGM^&CFG,

BG8A/GMBG4-a1

..CFCGFG,g[j4+4nCG1,

BG=2a^2,CG=8-2^,

(I)当=时，如图，过点G作GP,dZ)于点尸,

则/P=SG=2zi-2,PE=PN,

..PN=Pb=AP-AE=2a,

.EN2,

DN=DR-BN=R…,

AVBC,

DNDF8-4a4a

CGCF,即8—2zi4-4〃,

解得：q=T+#,E=T-3（舍去）,

=V5-i.

(II)当EN=NG时，如图，过点£作笈。18(7于点0,

则ZA®Gr=^.N