中考数学压轴题解题模型+技巧 专题04 几何综合（学生版+解析版）

压轴题解题模板04

几何综合

录

■L题型剖析,精准提分

题型一线段最值问题

①动点路径问题

②“胡不归”问题

③“将军饮马，，问题

④“造桥选址”问题

题型二：面积平分问题

题型三面积最值问题

好题必刷,强化落实

题型剖析・精准提分

几何综合

题型一线段最值问题题型二面积平分问题

①动点路径问题①三角形

②"胡不归［问题②不规则图形

③"将军饮马"问题I

④"造桥选址”问题题型三面积最值问题

示函为三次函面面豪磁写冗荷间窗而客施藕

i题型解读:I

考查热度.

：几何综合问题在中考中以填空题和解答题：

・I几何综合

I的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中I

多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合问i

II

i题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似!

；三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变：

I

换的性质和二次函数的最值等相关知识，以及分i

:类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.此i

类题型常涉及以下问题：①儿何图形中的线段最

值问题②探究图形面积的分割问题；③探究图形

面根的最值问题.右图为几何综合问题中各题型

的考查热度.

I

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题型一线段最值问题

分类：①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题

•-1

解题模板:

根据条件划艘及最值模型

判断模型

利用已知条件作垂线（化折为百）

借助几何关系或勾股定理列式计算

列式计算

①动点路径问题

【例1】（山东济宇-中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题.

（1）阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角.

例如，正方体力86—（图1）.因为在平面力HC'C中，CCHAA,44与相交于点4所以直

线48与4H所成的ABAA就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC所成的角.

解决问题

如图1,已知正方体48CO-HB'CT）',求既不相交也不平行的两条直线84与4c所成角的大小.

（2）如图2,M,N是正方体相邻两个面上的点.

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是」

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②在所选正确展开图中，若点"到/仍，8C的距离分别是2和5,点N到3。，AC的距离•分别是4和3,

P是上一动点、,求PW+/W的最小值.

丙

【变式1-1】(山东口照-中考真题)如图，RS/8C中，ZC=90°,以力4为边在44上方作正方形力4。七,

过点。作C8,交C8的延长线于点尸，连接8f.

(1)求证：4ABgABDF;

(2)P,N分别为4C,4E上的动点，连接PN,若DF=5,AC=9,求⑷V+PN的最小值.

【变式『2】(江苏连云港-中考真题)如图，四边形48co为平行四边形，延长力。到点石，使DEED,

且8EJ.QC.

(1)求证：四边形。8CE为菱形；

(2)若△04C是边长为2的等边三角形，点2、M、N分别在线段4£、BC、CE上运动，求PA/+PN的

最小值.

【变式1-3](2023-四川自贡-中考真题)如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，N分别

是斜边月4的中点，DE=2,AB=4.

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(1)用绕顶点。旋转一周，请直接写出点M,N距离的最大值和最小值;

(2)洛ACOE绕顶点。逆时针旋转120。(如图2),求MV的长.

②“胡不归”问题

【例2】(2023-江苏泰州-三模)如图，己知RC48C中，NC=90。〃。=6,/8=9,E是48上的一点，BE=5,

点。是线段8c上的一个动点，沿/。折叠zUC。，点。与C'堇合，连接3c.

7

(2)若点尸是上一点，RBF=后,求产C'+§8C'的最小值.

【变式2-1](2023-广东广州■二模)如图①，在四边形力BCD中，.44=BC=4D,45c=90°,Z5JD=60°.

W\图2图3

(1)求/1CZ)的度数；

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(2)如图②，"为线段的中点，连接8尸，求证：2BF=CD+CAB；

(3)如图③，若OB=pB=2,线段8。上有一动点连接。M，将△08M沿OW所在直线翻折至AO尸M

的位置，尸为8的对应点，连接以，PC,请直接写出4PC+P4的最小值.

【变式2-2](2023-广东广州•二模)如图，菱形488中，4=60。，月8=4,点、E、尸分别为线段C。、

8Q上的动点，点G为边的中点，连接样，FG.

(1)求的长；

(2)连接BE,若NCEB=2/DEF,求证：EB=CE+DF；

(3)若。后=百8尸，试求EE+④尸G的最小值.

【变式2-3】3,东广州-中考真题)如图，在菱形中，ABAD=120°,4B=6,连接.

⑴求8。的长；

⑵点£为线段4。上一动点(不与点4,。重合)，点尸在边4)上，且BEfDF,

①当CE_148B寸，求四边形力8£尸的面积；

②当四边形川?Eb的面积取得最小值时，CE+gC/的值是否也最小？如果是，求CE+Gb的最小值；如

果不是，请说明理由.

③“将军饮马”问题

【例3】【变式3-1](23-24九年线上-黑龙江大庆-期中)如图，以矩形。力6c的顶点。为原点，CM所在的

直线为x轴，0c所在的直线为N轴，建立平面直角坐标系.己知°力=3,℃=2,点E是48的中点，在

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可上取一点。，将△8。/沿8。翻折，使点A落在BC边上的点尸处.

(2)连接£尸交8。于点G,求△BGE的面积.

(3)在x轴、V轴上是否分别存在点M、N,使得四边形芯的周长最小？如果存在，求出周长的最小值

和直线的函数解析式；如果不存在，请说明理由.

【变式3-2](天津西青.•模)如图①，将•个矩形纸片。48。放置在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3,0),

点。的坐标是(0,2),点O的坐标是(0,0),点£是48的中点，在CM上取一点。，将△8。/沿翻折，

使点A落在8c边上的点F处.

(1)求点E、厂的坐标；

(2)如图②，若点P是线段。力上的一个动点(点。不与点。，A重合)，过点P作PHJ.DB于点H,设OP

的长为x,△QP”的面枳为S,请求出S关于x的关系式；

(3)如图③，在x轴、夕轴上是否分别存在点"、N,使得四边形MVFE的周长最小？若存在，请求出四

边形话周长的最小值及此时点M、N的坐标；若不存在，清说明理由

【变式3-3】(陕西宝鸡)问题提出

(1)在图1中作出点8关于直线力。的对称点夕

问题探究

(2)如图2,在ABC中，AB=AC=6,ZBAC=\20°,。为片。的中点，P为线段8c上一点,求力P+O尸

的最小值.

问题解决

(3)如图3,四边形48C。为小区绿化区，DA=DC,ZADC=90°,48=6+6百，8c=12,ZB=30°,

正是以。为圆心，。力为半径的圆弧.现在规划在就1，边8c和边力C上分别取一点尸，E,F,使得

。尸+PE+E/+P户为这一区域小路，求小路长度的最小值.

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④“造桥选址”问题

【例4】（23■全国）有•条以互相平行的直线〃，6为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄现在要在河上建

一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（）

【变式4-1】（湖北黄石）己知，在河的两岸有A,B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离

AB=10千米，A、B两村庄到河岸的距禽分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸,

M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为（）

A.2vHB.1+3逐C.3+屈D.病

【变式4-2］（23-24全国）如图所示，某条护城河在CC'处角转弯，河宽相同，从A处到达8处，须经过两

座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使A到4的路

程最短，请确定两座桥的位置.

【变式4-3］已知，在河的两岸有力,〃两个村庄，河宽为I千米，4、8两村庄的直线距离幺8=10千米,

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A,B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥垂直于两岸，M点为靠近力

村庄的河岸上一点，求4W+8N的最小值.

题型二:积平分问题

解题模板:

根据条1牛判断该题所属的面积平分模型

利用模型技巧构造面枳平分线

分析几何特征并根据数量关系列式计算

1：利用中线平分图形面积的方法

类别问题情境图示作法

生

过△4比：的顶点A作一条直线，平

过点｛作的中线44直线4。即为所求直线

分三角形的面积

HIDC

三角形

A

过△48C的AC边上的点F作一条过点A作△48C的中线AE,连接EF,^AD//EFt

直线，平分三角形的面积连接直线DF即为所求直线

BJ/DElC

连接人心过点D作DE//AC交BC的延长线于点

过四边形AHCD的顶点A作一条直

E,连接4E,过点A作ZUBE的中线AP,直线AP即

线,平分四边形的面积

RP\CE为所求直线

“不规则”

多边形连接/中.PC,过点A作AE//PH交BC的反向延长

过四边形ABCD的4。边上的点P线「点&过点〃作DF//PC交AC的延长线于点

作一条直线,平分四边形的面积凡连接PE.PF.过点〃作△灯泞的中线PM,直线

EB玉CF

即为所求直线

2.利用对称性平分图形面积的方法

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类别问题情境图示作法

过正五边形ABCDE的顶点A作一过点A作正五边形的对称轴4F,直线AF即为所求

轴对称图形

条直线，平分正五边形的面积直线

C\FD

过口ABCD的AD边上的点E作一连接ACMD,交点为。,连接EO并延长与BC交于

中心对称图形

条直线,平分O46C0的面积，小点F.有线£尸即为所求直线

B/FC

延长GF交BD于点C,连接4C8C,交点为M；连

任意作一条直线，平分组合图形的

组合图形接CE,DF,交氤为N,连接M/V,直线MN即为所求

面积

BCD直线

《词三八三S形戢规则面形575莅［曲南盔而二申号演藤）一而囱「茬R法7说币「力。工5心厂〈前7

点D在边力C上，将线段D4绕点。按顺时针方向旋转90。得到D4',线段D4'交48于点E,作，N_L48于

点凡与线段4。交于点G,连接回CGB.

（I）求证：AADE^AA'DG；

（2）求证：AFGB=AGFC；

（3）若4c=8,tan>1=1,当HG平分四边形OC4E的面积时，求力。的长.

【变式5-1］（2023.江苏盐城.二模）（1）【问题探究】如图①，点4,C分别在4H,4V上，，4M=12米，

4N=20米，48=2米，8c=2.6米，4。=1.2米.

①探究"BC与"MN是否相似并说明理由；

②求MN的长.

（2）【问题解决】如图②，四边形/1C8。规划为园林绿化区，对角线力B将整个四边形分成面积相等的两部

分,已知力8=60米，四边形1C8D的面积为2400平方米，为了更好地美化环境，政府计划在8C,/1C边上

分别确定点巴F,在力E边上确定点P,Q,使四边形月产PQ为咫形，在矩形内种植花卉，在四边形

4C8。剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在世之间修一条小路，并使得少。最短，根据设计要

求，求出?。的最小值，并求出当尸。最小时，花卉种植区域的面积.

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c

D

图②

【变式5-2］（2023-陕西西安-二模）【问题探究】

（1）如图1,已知》8C,点。是8c的中点，连接力Q,则邑皿S"CD（填或“=”）

（2）如图2,在梯形力BCD中,AD//BC,请过点4作一条直线/"平分梯形/5C。的面积，点P是力尸与

BC的交点,并说明理由；

【问题解决】

（3）如图3是某公园的一块空地，由“8E1和四边形8C0E组成，NBAE=/C=90。,BE//CD,

4

力5=力石=32米，BC=BE,tanZ）=y,公园管理人员现准备过点4修一条笔宜的小路4W（小路面积忽

略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点M在。边上），分别种植两种不同的花卉，请在图中确

定点M的位置，并计算小路4历的长.（结果保留根号）

【变式5-3］（2023-陕西西安■三模）问题提出：

（1）如图1,力。是△力8C的中线，则有Su*S4回填“<"、""或"二”）.

问题探究：

（2）如图2,点"是矩形/18CQ内一点，4B=6,8c=3,点A与坐标原点O重合，AB、力。分别位于工、

N轴正半轴，^（1,1）,是否存在直线/经过点M且将矩形46CO分成面积相等的两部分，若存在，请求

出直线/的解析式：如不存在，请说明理由.

问题解决：

（3）如图3,长方形。力8c是西安某学校在疫情期间为学生核酸检测围成的一个工作区域,，顶点A,C在坐标

轴上，记。为坐标原点，顶点以20,12）,原有的一个出入口。在边。。上，且C£>=4米.为使工作高效

有序，现计划在边48,OA,8c上依次再设出入口E,G,",沿DE,G"拉两道警戒线将工作区域分

成面积相等的四部分.请问，是否存在满足上述条件的点E,H,G,如存在，请求出点E的坐标及G"的

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函数表达式，如不存在，请说明理由.

【典例6】(如图，长方形力BCD各顶点的坐标分别为力(1,2)、3(3,4)、。(4,3)、£>(2,1),长方形EFGH各

顶点的坐标分别为司2,5)、下(5,8)、6(7,6),“(4,3).平移长方形48CD得到长方形48'。'。,且点的的

坐标为(7,8).

⑴画出长方形HB'C'。.

(2)如果长方形沿的方向平移，至力。与"G重合停止，设平移过程中平移的距离为d,长方形

力BCO与长方形MGH重叠的面积为S,请直接写出平移过程中S的最大值；此时d的取值范围为

(3)画出一条直线把原图长方形48CQ与长方形EFG”组成的更合图形分成面积相等的两部分.

【变式6-1】【问题提出】

(1)如图①，点。为“8C的边力C的中点，连接40,若△4?。的面积为3,则“8c的面积为；

【问题探究】

(2)如图②，在平面直角坐标系中，点/在第一象限，连接作⑷？lx轴于点B,若AB=2OB,6M-26，

过点B的直线/将AO/B分成面积相等的两部分，求直线/的函数表达式；

【问题解决】

(3)如图③，在平面直角坐标系中，四边形。月8。是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O

为坐标原点,力(24,7),4(28,4),C(25,0),为了方便驻区单位,计划过点。修一条笔直的道路S(路宽不

计)，并且使更线4将四边形分成面积相等的两部分，记直线人与44所在直线的交点为。，再过点1

修一条笔直的道路(路宽不计)，并且使直线，2将△勿。分成面积相等的两部分，你认为直线4和6是否

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存在？若存在，请求出直线4和，2的函数表达式；若不存在，请说明理由.

【变式6-2］如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在X轴上、N轴上，CB//OA,OA=\0,若点8的

坐标为(〃?，〃)，且(〃[-6)2+力-6=0.

(2)若动点。从原点。出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点尸运动的时间为/秒，求，

为何值时，直线PC把四边形。/婚。分成面积为3：5的两部分；

(3)在(2)的条件下，当直线尸。把四边形049C分成面积相等的诙部分时，在V轴上找一点。，连接P。，使

三角形CPQ的面积与四边形OABC的面积相等，求点。的坐标.

题型三1：1积最值问题

解题模板：

根据条件判断该题所腐的面积最值求解类型

分析几何特征并根据数■关系列式计算

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【例7】（2023-山东潍坊-中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮45CQ针中，裁出一块矩形铁皮制作工

件，如图所示.经测量，AB〃DE,"与OE之间的距离为2米，48=3米，/尸=8C=1米，4=/8=90。,

NC=NF=T35。.MH,HG,G/V是工匠师傅画出的裁剪虚线.当的长度为多少时，矩形铁皮MNGH

的面积最大，最大面积是多少？

【变式7-1］（2023-山东滨州-中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形。力AC的一边。。在x轴正半轴

上，顶点A的坐标为（2,26）,点。是边OC上的动点，过点。作。E_LOB交边04于点石，作。尸〃08交

边8C于点尸，连接Ef.设=k的面积为S.

⑴求S关于x的函数解析式；

（2）当工取何值时，S的值最大？请求出最大值.

【变式7-2］（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，在正方形*86中，线段绕点C逆时针旋转到处,

旋转角为2,点尸在直线。£上，且力。=力广，连接

（1）如图1,当0。＜。＜90。时，

①求/切尸的大小（用含。的式子表示）.

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②求证：EF=yf2BF.

（2）如图2,取线段七厂的中点G,连接力G,已知48=2,请直接写出在线段CE旋转过程中（0°＜夕＜360。）

△/1DG面积的最大值.

【变式7-3］（2023-湖北武汉-模拟预测）问题提出如图（1）,在小8C中，AD1BC,CEH氏连接OE,

L人DE

探九就.

问题探究

DF

（I）先将问题特殊化.如图（2）,当时，求器的值.

AC

DF

（2）再探究一般情形.如图（1）,当月。=〃4。时，求够的值;

AC

问题拓展

如图（3）,在△40C中，AD1CD,AD=CD=2,P是A4DC内一点,DP=T,CE交AD于F,当KDE

的面积最人时，求制的值.

^AACF

好题必刷・强化落实

一、解答题

1.在矩形48CD中，48=2,/D=2X5，点E在边BC上,将射线/E绕点A逆时针旋转90。，交。。延长

线于点G,以线段力£,4G为邻边作矩形力以”.

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G

G

⑴如图1,连接8。，求N8DC的度数和寸的值；

BE

(2)如图2,当点尸在射线8。上时，求线段8E的长；

(3)如图3,当£4=用?时，在平面内有一动点产，满足=连接尸力，PC,求/M+PC的最小值.

2.如图，在RtA力4c中，AC=BC=36，点、D在AB边上,连接CO,将。。绕点。逆时针旋转90。得到直,

连接8石，DE.

⑴求证：KAD⑶CBE；

(2)若/。=2时，求CE的长；

⑶点。在48上运动时，试探究力。2+402的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在,

请说明理由.

3.某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：

问题提出：如图，正方形48co中，48=8,“为对角线力C上的一个动点，以。为直角顶点，向右作等腰

直角4DPM.

(1)操作发现：DW的最小值为，最大值为:

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(2)数学思考：求证：点M在射线AC上；

(3)拓展应用：当b=CM时，求CM的长.

4.如图，正方形48co是边长为4米的一块板材.

操作一：现需从中裁出一个等腰直角VQP。模具，点尸在边8C上，。在正方形48C。的内部或边上.

(1)如图，若/。尸。=90%BP=3米,是否能裁出符合条件的VDP。？若能，确定。的位置；若不能，请

说明理由.

(2)如图，连接力C,在对角线/C上取点。，连接过点。作。P，。。交边8c于2连接。。，得到

VDPQ,请证明YOP。符合裁剪要求.

操作二：经探究，操作一的模具大小至多为正方形面积的一半，现修改模具形状为四边形，并按面积要求

进行裁剪.即在正方形力8CQ中重新裁出的一个四边形模具，点尸、。分别在边4C、ABk.

(3)如图，若需裁出的四边形。P8。面积为10平方米，请探究模具四边形。P8Q周长的最小值.

5.问题提出

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(1)如图1,已知点C为线段8。上一动点，分别过点8,。作力8_L8。，£7)18。，连接力GEC.若AB=4,

DE=2,BO=12,则/C+CE的最小值为二

问题解决

(2)如图2,某公园规划修建一块形如四边形48CQ的牡丹园，其中力。〃以7,4=90。，ZC=60°,

/Z)=300m,BC=CD,△8CQ的内心。处修建一个圆形喷水池，公园的入口“是的中点，BE是一条

观赏小道，其余部分种植牡丹，现需要在边上取点尸，BE二找点M,修建道路EFFM,OM.为了

节省成本，需要使修建的道路最短，即b+尸加+。》的值最小，是否存在这样的点凡使得

Q+"W+OM的值最小？若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由.

6.如图，在“8C中，40是8C边上的中线，点上是力。的中点.过点力作力少〃8c交〃E的延长线于点

F,连接6.

(1)求证："EFADEB；

⑵若乙必C=90。，试判断四边形4。6的形状，并证明你的结论；

(3)在(2)的情况下，如果/。=2,/月。。=90。，点M在力C线段上移动，当M8+,WO有最小值时，求4W

的长度.

7.如图1,已知△力8c和△OCE均为等腰直角三角形，AC=BC,CD=CE,N/1CB=/DCE=9()°,点D

在线段/C上，点尸为48中点，点M为BE中点，点N为力。中点.

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(1)如图1,NFMN=,少历和A/N之间的数量关系是：

(2)如图2,绕点C顺时针旋转，点G为QE中点，求证：四边形BWGN为正方形；

(3)如图3,若48=4&，CE=2,在将△QCE绕点。顺时针旋转360。过程中，直线8。，AE交于点、H,

直接写出△力〃，面枳的最小值.

(I)操作判断

操作：如图1,点£是边长为12的正方形纸片488的边所在的射线片。上一动点，将正方形沿着C'E折叠,

点、D落在点、F处,把纸片展平，射线。尸交射线于点P.

判断：根据以上操作，图1中4P与E/的数量关系：.

(2)迁移探究

在(1)条件下，若点£是力。的中点，如图2,延长C/交/出于点。，点。的位置是否确定？如果确定，

求出线段的长度，如果不确定，说明理由；

(3)拓展应用

在(1)条件下，如图3,CE,。厂交于点G,取CG的中点〃，连接8”,求4”的最小值.

9.问题背景

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(1)如图1,四边形4BCQ中，AC,BD交于点E,其中△力8£6△。。石，求证：4ADESABCE.

(2)尝试应用：如图2,-8C中，AC=BC,4C8=90。，点。是44的中点，点E,尸是8C上两点，AE

3EF

交DF于点G,若NEGF=45。，tana=-,求=的值.

5BE

(3)迁移拓展：如图3,“灰?中，BC=g，N84C=45。，点。是力。上一点，AB=6CD，直接写出线

段8。氏度的最小值.

(7\

10.已知抛物线G：y=ax2-2ax+a+1(tz0),且过点4,--.

\2)

(1)求抛物线G的函数表达式及其顶点坐标小

⑵若抛物线G上两点河(乱凹)，N(\为)满足：对于吃x口+1,匕23时，均有乂2为成立，求出/的取

值范围；

(3)直线/：y=Gx+l经过8("八4),点，在直线/上运动，求最小值.

2

11.问题发现.(1)如图①，已知菱形48C。，/8=60。，点M,N分别在AC,CD上,若四边形4UCN

的面积是菱形Z8C。面积的9求/M4N的度数；

问题解决：(2)如图②，四边形力8CZ)是一块板材，其中力。〃8。，ZJ=90°,AD=20cm,Z?C=40cm,

^5=60cm,工人师傅想用这块板材裁剪出一-块四边形OMAN的部件，使得。是CQ的中点，点M,N分

别在力8,BC上,并要求四边形OW4N部件的面积是四边形44CO板材面积的;，求裁剪长度(OW+ON)

的最小值.

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ADA

O

M

BBN

图①图②

12.如图①，正方形/8C。中，44=5,点E是边48上的动点，点尸、G是边BC上的动点，且北=4产=R7,

连接ERAC.

P

图①图②图③

(1)如图①，作七。〃/。，交力C于点0,连接G0,求证;四边形EPG。是平行四边形;

(2)如图②，延长.EF、OG相交于点P，试求ZOPE的度数;

⑶如图(3),连接EG、DF,记yfDF+EG,试求V的最小值.

13.【探究发现】

(1)如图1,在“8C中，。为8。边的中点，连接40并延长至点“，使DH=4D,连接C”.由

NADB=ZCDH,得V/1Q8且V”DC,则与CH的数量关系为,位置关系为

A

图3

【尝试应用】

(2)如图2,在中，/1P平分N84C,。为AC边的中点，过点。作。。〃力。，交C/的延长线于点

Q,交边于点、K.试判断8K与C。的数量关系，并说明理由.

【拓展应用】

(3)如图3,在RI△48C中，ZBAC=90°,AC=6,4B=8,。为8C边的中点，连接40,E为AC边

20/127

上一动点，连接交力。于点立

①若=求力E的长度；

AC：4

②在射线力。上取一点G,且*=：，连接8G,直接写出48E+58G的最小值.

CE5

14.如图，在等边△48C中，ADJ.BC于点、D,E为线段力力上一动点(不与A,。重合)，连接BE,CE,

将CE绕点C顺时针旋转60。得到线段CF,连接力尸.

(1)如图1,求证：ZCBH=4CA卜;

(2)如图2,连接8b交4C于点G,连接。G,EF,EF与QG所在直线交于点〃，求证：EH=FH；

(3)如图3,连接8厂交力C于点G,连接。G,EG,将△彳EG沿4G所在直线翻折至△/BC所在平面内，得

到将AQEG沿。G所在直线翻折至△力5C所在平面内，得到△OQG,连接P。，QF.若力8=4,

直接写出。。+。”的最小值.

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压轴题解题模板04

几何综合

录

■k题型剖析•精准提分

题型一线段最值问题

①动点路径问题

②“胡不归”问题

③“将军饮马”问题

④“造桥选址”问题

题型二：面积平分问题

题型三面积最值问题

・好题必刷•强化落实

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题型剖析・精准提分

几何综合

题型一线段最值问题题型二面积平分问题

①动点路径问题①三角形

②"胡不归’［问题②不规则图形

③"将军饮马'［问题

④"造桥选址”问题题型三面积最值问题

不囱另三遍薮函豪桎底写元有而版迹:窗瓦而

题型解读：

I

•考查热度.

1几何综合问题在中考中以填空题和解答题

几何综合

的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中

多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合问

I

题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似

i三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变

I

换的性质和二次函数的最值等相关知识，以及分

;类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.此

类题型常涉及以下问题：①儿何图形中的线段最

I

值问题②探究图形面积的分割问题；③探究图形

I

面积的最值问题.右图为几何淙合问题中各题型

的考查热度.

题型一线段最值问题

:分类：①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题

解题模板:

根据条件判断妓段最值模型

判断模型

利用已知条件作垂及（化折为宜）

借助几何关系或句股定理列式计算

列式计算

①动点路径问题

【例1】（山东济宁-中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题.

（1）阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角.

例如，正方体力8。。—WK'CQ'（图1）.因为在平面力HC'C中，CC//AA',力©与相交于点4所以直

线48与AA所成的N84H就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC所成的角.

解决问题

如图1,己知正方体求既不相交也不平行的两条直线84与,4C所成角的大小.

（2）如图2,M,N是正方体相邻两个面上的点.

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是」

②在所选正确展开图中，若点"到力8,8。的距离分别是2和5,点N到厦），8c的距离分别是4和3,

P是4B上一动点、,求PM+PN的最小值.

甲

【答案】（1）60°；⑵①丙;②1U

【分析】（1）连接3C,则为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线8H与AC所成角

的大小;

（2）①根据正方体侧面展开图判断即可:

②根据对称关系作辅助线即可求得尸M+PN的最小值.

【详解】解：（1）连接8C,

VACHAC,BA1与HC'相交与点4,

即既不相交也不平行的两条直线£卬与力。所成角为N8/C'，

根据正方体性质可得：AB=BC=AfC,

・•・△H8C'为等边三角形，

・•・W60。,

即既不相交也不平行的两条直线BA'与AC所成角为60。：

（2）①根据正方体展开图可以判断，

甲中与原图形中对应点位置不符，

乙图形不能拼成正方体，

故答案为丙：

②如图：作M关于直线48的对称点AT,

连接NAT，与交于点P,连接MP,

则PM+PN=PN+PM'=NM',

过点N作BC垂线，并延长与交于点E,

•・•点M到8c的距离是5,点N到〃C的距离是3,

:.NE=8,

V点M到AB的距离是2,点N到BD的距离是4,

.••£”=6,

‘NM'=dEM，2+NE?=用+8?=10,

故PM+/W最小值为10.

【点睛】本题主要考杳正方形的性质、正方体的侧面展开图、根据对称关系求最短距离、勾股定理等知识

点，读懂题意，明确PM+PN最小时的情况是解题的关键.

【变式1-1](山东日照-中考真题)如图，RI△/8c中，ZC=90°,以48为边在48上方作正方形45力石,

过点。作。入LC从交C3的延长线于点巴连接4巴

(1)求证：MBCWABDF；

(2)P,N分别为4C,8E上的动点，连接力MPN,若DF=5,AC=9,求4V+PN的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）14

【分析】（1）根据正方形的性质得出BD=AB,NDBA=90。,进而得出NDBF=NCAB,因为NC=NDFB=90。.根

据AAS即可证得结论；

（2）根据正方形的性质AN=DN,如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，根据垂线段最短，

作DP」AC,交BE于点Ni，垂足为Pi，则AN+PN的最小值等于DP尸FC=14.

【详解】（1）证明：・・*3力8。中，ZC=90°,DFLCB,

AZC=/DFB=90°.

•・•四边形/8QE是正方形，

；・BD=AB,NO历1=90。，

VZZ）5F+ZJ5C=90°,ZCAB+^ABC=90°,

：・NDBF=/CAB,

:,△ABC/ABDF（AAS）；

（2）解：•:△ABgABDF,

:.DF=BC=5,BF=AC=9,

：.FC=BF+BC=9+5=\4.

如