中考数学模型 专题24 瓜豆最值模型（直线与曲线）（学生版+解析版）

专题2・4瓜豆就最值模型：为什么我们喜欢手拉手（直线与曲线）

好■/题型•解读7

【例题1）三种处理策略

【例题2】饮马类瓜豆与加权线段和问题

【瓜豆圆介绍】

型。轨迹为直线型•构造中位线求

2023•广东深圳•统考三模

题型喳轨迹为直线型♦构造手拉手

经典例题,宿迁中考

2023•黑龙江绥化•中考真题

2023•湖北黄冈・统考中考真题

2023•西安市交通大学附属中学初三月考

霞S轨迹为直线型•将军饮马加权线段和问题

胞幽回轨迹为圆弧型•构造中位线

2023•山东泰安•中考真题

轨迹为圆弧型•构造手拉手

2023・四川宜宾・统考中考真题

2022沈阳中考

2022•盐城市一模

2023•深圳外国语学校中考模拟

路径相关问题

2022•山东滨州.统考中考真题

2023•海南.统考中考真题

当线段最小值时求其它量

2022•广东广州.中考真题

2023・四川・广元中考真题

丘那/满分•技巧/

初中阶段如遇求枕迹长度仅有2种类型：“直线型''和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往

返型''），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定就迹类型进而

求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚

一、我们先来解释一下瓜豆原理：定角定比，主从联动

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动

点的凯迹相同.

只要满足：

♦------------------------------

//

1、两“动”，一“定”则两动点的运动轨迹是相似的，运

2、两动点与定点的连线夹角是定角动轨迹长度的比和它们到定点的

3、两动点到定点的距离比值是定值、距离比相同。

、

X._________

［例题1］三种处理策咯

如图，D、E是边长为4的等边三角形A8C」一的中点，P为中线力。」一的动点，把线段

PC绕C点逆时针旋转60°,得到P',EP'的最小值

1]

结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型

第一层：点P'运动的轨迹是直线吗？

答：是直线，可以通过P在4。时，即始末位置时"'对应的位置得到直线就迹，对于选填题，可

找出从动点的始末位置，从而快速定位轨迹，若要说理财需要构造手拉手证明.

第二层：点P'的运动长度和点P的运动长度相同吗？

答：因为点P'与点尸到定点C的距离相等，则有运动路径长度相等，若要说理则同样需要构造手拉

手结构，通过全等证明.

第三层：手拉手模型怎么构造？

答：以旋转中心C为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从P点的

轨迹即线段49中再找一个点进行与P点类似的的旋转，比如把线段4。中的点4绕C点逆时针旋转

60°,即为点&连接8P'即可得到一组手拉手模型，虽然前面说是任意点，但一般来说我们选择一

个特殊位置的点进行旋转后的点位置也是比较容易确定的，比如说点。进行旋转也是比较方便.

第四层：分析NC4P和/CBP'

答：由全等可知NG4P=NC8P’,因为8为定点，所以得到P'轨迹为直线BP'

第五层：点尸和点P'轨迹的夹角和旋转角的关系

答：不难得出本题主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角，要注意的是如果旋转角是钝角，那么主

动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角的补角，这个在后面的例题中会出现.

大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动点的始末位置快速定位轨迹线段，或者通

过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先找出从动点/

的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值，那么还有其他方法吗？

答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求线段，构造如下.

将点EC绕点C顺时针旋转60°,构造手拉手模型（S4S全等型），从而得到P'E=PG,最小值即为点

G到AD的距离.

要注意的是因为要代换PE,所以E点的旋转方式应该是从P'|P,所以是顺时针旋转，求轨迹

时的旋转方式则是P|P',注意区分.

解析

策略一：找从动点轨迹

连接BP',

由旋转可得，CP=CP\/P'CP=60。，

,:△45C是等边三角形，

：,AC=BC,N4C8=60°,

:.NACB=NPCP',

JAACP*ABCP'(SAS),

：.NCBP'=NCAP,

•・•边长为4的等边三角形力8C中，。是对称轴40上的一个动点,

・・・NC4P=30。，BD=2,

JNC8P'=30。，

即点P'的运动轨迹为直线BP\

，当DP_L8P'时,EP'最短，

I

上匕日寸，EP'=5BD+ED=1+2=3

-x2

2

・・・EP'的最小值是3

策略二：反向旋转关键点构造手拉手代换所求线段

将点E绕C点顺时针旋转60°得到点G,连接PG,CG,EP'

A

由旋转可得EC=CG,CP=CP\NP'CP=60。，NECG=60。,

••.△ECG是等边三角形，EG=2

NPCP'=/ECG

，4PCG=NECP'

:AGCP义△ECPXSAS),

：.EP'=GP,

过点G作4D的垂线垂足为比GH即为所求.

NGEC=NACD

：.HE//DC

•・•NGHD=NADC

J.HG//DC

故G,E,”三点共线，则有HE〃DC

又E是/IC中点，分线段成比例可知H是力。中点

：.HE=-DC=\

2

EP'=GP=HE+EG=2+1=3

・•・EP'的最小值是3

总共提到了3种处理方式：

1.找始末，定就迹

2.在跳迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点扰迹.

3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造.

【例题2】饮马类瓜豆与加权线段和问题

己知点4(2,0),点8是直线)，=—2上一个动点，将线段A8绕点8逆时针旋转90°得到线段8c

角度1:反向旋转构造手拉手(不用求从动点轨迹，直接转换为垂线段最短)

(1)求OC的最小值

【简析】如图，构造等腰直角AAOE,区1,一1)由旋转相似可知OC=aJ5

y

角度2：构造手拉手求从动点轨迹

(2)求&3C+OC的最小值

【简析】V58C+OC=AC+OC，求出c点轨迹，再将军饮马，如图，在B点轨迹上取一点”(2,-2),

构造旋转相似，易知ZQW=90°,可知C点轨迹为J=-x-2,作01(-2,-2),

AC+OC=AC+O,C>AO,=2y/5,补充：此时加权线段和对应三边之比

角度3：构造旋转相似求加权饯段和

(3)记。(0,2),①求力C+OB的最小值；②求&O8+OC的最小值

【简析】①由旋转相似可知。。=血03,则。C+OB=(a+1)OAW2血+2

®y/2OB+OC=DC+OC=DC+O,C>DO'=2sf5,补充：此时加权线段和对应相似比

【瓜豆圆介绍】

如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点。当点P在圆0上运动时，Q点轨

迹是？

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是

0P一半，任意时刻，均有△AMQs/^AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2

【小结】

确定Q点就迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=-AO.

2

Q点轨迹相当于是P点枕迹成比例缩放.

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系分析枕迹圆半径数量关系.

2023•广东深圳•统考三模

I.如图所示，八3=4,AC=2,以8C为底边向上构造等腰直角三角形BCQ,连接/I。并延长至

点P,使人。=9,则依长的取值范围为.

S轨迹为直线型•构造手拉手

经典例题•宿迁中考

2.如图，正方形ABC。的边长为4,E为BC上一点、,且8E=1,尸为AB边上的一个动点，连接

EF,以E/为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最小值为.

AD

3.如图，在平行四边形A8CD中，点E为射线A力上一动点，连接鹿，将跳:绕点8逆时针旋转60。

得到打,连接人尸，八3=12,Z4BC=45°,求A产的最小值.

【思路点拨】将45顺时针旋转60°,作等边根据手拉手模型可知AF=EK,根据垂线段

最短可知，当FK_LAO时，KE的值最小，利用勾股定理求解EK即可求解.

4.（2023•洛阳•二模）如图，在一ABC中，AB=AC=2,ZMC=120°,对称轴AO交8C于点

点E是直线AO上的一个动点，连接8,将线段8绕点C逆时针旋转30。得尸C,连接

则。厂长的最小值为.

5.（2023・广东深圳•校考模拟预测）如图，在..ABC中，Z4C5=90°,AC=BC=4fP是.<8C的

高C。上一个动点，以5点为旋转中心把线段必逆时针旋转45。得到8尸，连接。尸’，则。户的

最小值是.

2023•黑龙江绥化•中考真题

6.如图，是边长为6的等边三角形，点E为高8。上的动点.连接CE,将CE绕点C顺时针

旋转60。得到CF.连接AF,EF,DF，则-CD尸周长的最小值是.

7.（2022・山东日照・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xO.v中，点4的坐标为（0,4）,P是

x轴上一动点，把线段布绕点P顺时针旋转60。得到线段PF,连接OE则线段O/7长的最小

值是.

2023•湖北黄冈•统考中考真题

8.如图，已知点43,0）,点B在），轴正半轴上，将线段A8绕点4顺时针旋转120。到线段AC,若

点C的坐标为（7,6），则人=.

9.如图，在中，乙4。5=90。，AC=I5,8c=9,点P是线段AC上的一个动点，连接8P,

将线段改绕点尸逆时针旋转90。得到线段。D,连接A。，则线段A。的最小值是

2023•西安市交通大学附属中学初三月考

10.如图，矩形ABCZ）中，AB=6,BC=8,E为8c上一点，且BE=2,/为人B边上的一个动

点，连接E尸，将石F绕着点E顺时针旋转45。到EG的位置，连接FG和CG,则CG的最小值

为.

AD

BEC

II.如图，矩形ABCQ中，AB=6,BC=4,点E,尸分别为边人3,CD上的动点，且=

将线段E尸绕点尸逆时针旋转90。得到线段依，连接力G

(1)当点E为A8的中点时，线段的长是；

(2)当点内在边AA上运动时.线段DG的最小值是

12.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点，连接DP,将直线DP

绕点P顺时针旋转，使Nl=/2,且过点D作DG1PG,连接CG.则CG最小值为一

13.如图，正方形A8CD的边长为4,E为BC上一点,且8E=1，F为48边上的一个

动点，连接EF,以E/为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG,则CG的最小值为-------

【变式训练】双动点

14.如图，正方形A8CD的边长为4,E为BC上一点、,F为A8边上一点，连接”，以

EF为底向右侧作等腰直角△EFG,连接CG,则4G的最小值为.

轨迹为直线型•将军饮马加权线段和问题

15.如图，在矩形ABCD中，48=5,BC=9,E是边A8上一点，AE=2,尸是直线8c上一动

点，将线EF绕点、上逆时针旋转90。得到线段EG,连接8,QG,则CG+DG的最小值是

16.如图，已知NCAB=3O。，4B=2,点。在射线AC上，以8。为边作正方形8OEF,连接4E、

BE,则AE+8E的最小值为.

AB

17.如图，在矩形ABC。中，A8=5,BC=8,点”为边3C的中点，P是直线AO上的一个动点,

以MP为边在MP右侧作RfMPQ,且QM=PQ,连结AM,AQ,则..4MQ周长的最小值为

18.如图，在矩形/WC。中，AB=2,AD=2x/3，点石为边人。上一动点，以CE为边向右作直角

三角形的'使/团-9。。，N6E=3。。，连接*BF,求曲京尸的最小值.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1,0），点。是x轴上的一动点，连接4P,

将线段”绕点A逆时针旋转120。得到AQ,连接。。，PQ,求&OQ+PQ的最小值.

@轨迹为圆弧型♦构造中位线

19.（2023•周口•三模）如图，止方形A8C7）的边长是8,点E是8C边的中点，连接DE,点尸是

线段OE上不与点。，E重合的-一个动点，连接彷，点G是线段M的中点，则线段AG的最小

值为.

AD

2023•山东泰安•中考真题

20.如图，在平面直角坐标系中，RtZXAOB的一条直角边08在x轴上，点A的坐标为（-6,4）；

RtCOD中，NCOZ)=90。，OD=4&ZD=30°,连接8C,点M是8c中点，连接AM.将

RtCO。以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）

C.2V13-2D.2

21.如图，点A,〃的坐标分别为42,0）,8（0,2）,点C为坐标平面内一点，8c=1,点”为线

段AC的中点，连接OM,则0M的最大值为（）

X

I1

血

A上+B+C2+D2

X/22-V22-

22.如图，在半径为4的。中，弦AC=4夜，3是（0上的一动点（不与点A重合），。是43的

中点，M为的中点，则AM的最大值为.

B

轨迹为圆弧型•构造手拉手

2023•四川宜宾•统考中考真题

23.如图，M是正方形ABCD边CO的中点，P是正方形内一点，连接笈P,线段8Q以B为中心逆

时针旋转90。得到线段8。，连接MQ.若八B=4,MP=1,则的最小值为.

2022沈阳中考

24.如图，在△ABC中，AB=8,AC=30将CB绕点C逆时针旋转90。得到CD,连接4Z),则

AD的最大值是.

25.如图，点尸是正方形A8CO所在平面内一点，NAP8=90。，连接。尸，将线段。尸绕点。逆时

针旋转90。得到线段。Q,连接AQ,若48=2,则线段AQ的最大值为.

AD

2022•盐城市一模

26.如图，在直角坐标系中，点A坐标为（2,0）,点8的2标为（6,0）,以8点为圆心，2长为

半径的圆交x轴于C、Q两点，若尸是。8上一动点，连接附,以以为一直角边作心△%Q,

使得tanNAPQ=g,连接。Q,则。。的最小值为

2023•深圳外国语学校中考模拟

27.如图，已知正方形ABCQ的边长为4,以点A为圆心，2为半径作圆，E是二A上的任意一点，

将线段。石绕点D顺时针方向旋转90。并缩短到原来的一半，得到线段。下，连接AF,则AF的

最小值是.

28.如图，AB=4,。为AB的中点，0。的半径为1,点尸是0。上一动点，以依为直角边的等

腰直角三角形（点尸、6、C按逆时针方向排列），贝J线段AC的长的取值范围为

29.如下图，在正方形ABC。中，A8=6,点E是以BC为直径的圆上的点，连接。£,将线段£>£

绕点。逆时针旋转90。，得到线段。连接CF,则线段Cr的最大值与最小值的和

路径相关问题

2022•山东滨州•统考中考真题

30.正方形4KC7）的对角线相交于点O（如图1）,如果20。。绕点O按顺时针方向旋转，其两边

分别与边A艮8c相交于点E、尸（如图2）,连接EF,那么在点E由3到A的过程中，线段EF

的中点G经过的路线是（）

A.线段B.圆弧C.折线D.波浪线

2023・海南・统考中考真题

31.如图，在正方形ABCQ中，A8=8,点石在边上，且AO=4AE,点P为边A3上的动点,

连接PE,过点、E作EFJ.PE,交射线8。于点尸，则钎=_____.若点M是线段EF的中点,

PE

则当点。从点人运动到点4时，点M运动的路径长为.

32.如图，在矩形A8CO中，A3=2,AD=4,动点E从点A运动到点。，以C£为边在CE的右侧

构造正方形。:FG,连接AF,则4/的最小值为,点/运动的路径长为.

33.如图，矩形A8CO中，AB=8,AD=4,E为边AD上一个动点，连接8E,取BE的中点G,点G

绕点E逆时针旋转90。得到点F,连接CF,在点E从A到。的运动过程中，点G的运动路径

=，尸面积的最小值是.

F

题型密当线段最小值时求其它量

2022•广东广州•中考真题

34.如图，在矩形48。中，BC=2AB,点P为边AO上的一个动点，线段8户绕点8顺时针旋转

60。得到线段8P,连接PP,CP'.当点P落在边8C上时，NPP'C的度数为；当线

段CP'的长度最小时，NP产C的度数为

2023•辽宁•中考真题

35.如图，线段A8=8,点C是线段上的动点，将线段8c绕点8顺时针旋转120。得到线段8。,

连接在人〃的上方作R1AQC行.使/DCE=90,/行=3。，点F为DE的中点，连接A广，

当""最小时，A5C£>的面积为.

36.如图，在等边△ABC中，点。在BC边上，点E在AB的延长线上，且8E=C£>,连接。E,将

线段。E绕点。顺时针旋转12()。得到OF,连接C凡当CF取得最小值时，求殷的值.

CD

A

2023・四川・广元中考真题

37.如图1,已知线段AB,AC,线段AC绕点A在直线A8上方旋转，连接8C,以BC为边在8C

上方作R"8DC,且NZ)8c=30。.

图1图2图3

(1)若/8£心=90。，以/W为边在48上方作RtZ\84£,且4/沼=90。，NER4=30。，连接。£,用

等式表示线段AC与DE的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若DE上AB,AB=4,AC=2,求8c的长：

(3)如图3,若/BCD=90°,人8=4,AC=2,当人£)的值最大时，求此时tan/CBA的值.

专题2・4瓜豆轨最值模型：为什么我们喜欢手拉手（直线与曲线）

窈■/题型•解读7

［例题I］三种处理策略

【例题2】饮马类瓜豆与加权线段和问题

【瓜百圆介绍】

酶O轨迹为直线型•构造中位线求

2023•广东深圳•统考三模

轨迹为直线型•构造手拉手

经典例题•宿迁中考

2023•黑龙江绥化•中考真题

2023・湖北黄冈・统考中考真题

2023•西安市交通大学附属中学初三月考

轨迹为直线型•将军饮马加权线段和问题

酶圆轨迹为圆弧型♦构造中位线

2023•山东泰安・中考真题

轨迹为圆弧型•构造手拉手

2023・四川宜宾・统考中考真题

2022沈阳中考

2022•盐城市一模

2023•深圳外国语学校中考模拟

题型磕路径相关问题

2022.山东滨州•统考中考真题

2023•海南•统考中考真题

当线段最小值时求其它量

2022•广东广州•中考真题

2023•四川•广元中考真题

局理/满分•技巧7

・——••■—•・一—••—•—•—••・

初中阶段如遇求枕迹长度仅有2种类型：“直线型''和“圆弧型’（两种类型中还会涉及点往返探究“往

返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而

求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释者楚

一、我们先来解释一下瓜豆原理：定角定比，主从联动

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动

点的轨迹相同.

只要满足:

1、两“动”，一“定”则两动点的运动轨迹是相似的，运

2、两动点与定点的连线夹角是定角动轨迹长度的比和它们到定点的

3、两动点到定点的距离比值是定值、距离比相同。

【例题1】三种处理策咯

如图，D、E是边长为4的等边三角形A8C上的中点，P为中线4。上的动点，把线段

PC绕C点逆时针旋转60°,得到P',EP'的最小值

A

结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型

第一层：点P'运动的轨迹是直线吗？

答：是直线，可以通过P右4。时，即始末后量时P'对应的右置得到直线轨迹，对于选填题，可

找出从动点的始末位置，从而快速定位轨迹，若要说理则需要构造手拉手证明.

第二层：点P'的运动长度和点P的运动长度相同吗？

答：因为点尸'与点P到定点C的距离相等，则有运动路径长度相等，若要说理则同样需要构造手拉

手结构，通过全等证明.

第三层：手拉手模型怎么构造？

答：以旋转中心C为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从P点的

轨迹即线段4）中再找一个点进行与P点类似的的旋转，比如把线段中的点力绕C点逆时针旋转

60°,即为点&连接8P'即可得到一组手拉手模型，虽然前面说是任意点，但一般来说我们选择一

个特殊位置的点进行旋转后的点位置也是比较容易确定的，比如说点。进行旋转也是比较方便.

第四层：分析/C4P和/CBP'

答：由全等可知NG4P=NCBP',因为8为定点，所以得到P'筑迹为直线BP'

第五层：点P和点P'轨迹的夹角和旋转角的关系

答：不难得出本题主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角，要注意的是如果旋转角是钝南，那么主

动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角的补角，这个在后面的例题中会出现.

大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动点的始末位置快速定位轨迹线段，或者通

过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先找出从动点/，’

的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值，那么还有其他方法吗？

答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求线段，构造如下.

将点EC绕点。顺时针旋转60°,构造手拉手模型（S/1S全等型），从而得到P'E=PG,最小值即为点

G到AD的距离.

要注意的是因为要代换P'E,所以E点的旋转方式应该是从P'|P,所以是顺时针旋转，求机迹

时的旋转方式则是P|P',注意区分.

AA

—.G

解析

策略一：找从动点轨迹

连接BP',

由旋转可得，CP=CP',NP'CP=60°,

是等边三角形，

：,AC=BC,NAC8=60。，

ZACB=NPCP;

・•・△ACPgABCP<SAS),

・•・NCBP'=ZCAP,

•・•边长为4的等边三角形48c中，P是对称轴力。上的一个动点,

AZG4P=30°,80=2,

NCBP'=30°,

即点P'的运动轨迹为直线BP',

工当DP」BP'时,EP'最短，

1I

此时，EP,=2BD+ED=-x2+2=3

・・・EP'的最小值是3

策略二：反向旋转关健点构造手拉手代换所求线段

将点E绕C点顺时针旋转60°得到点G,连接PG,CG,EP'

c

由旋转可得EC=CG,CP=CP\NP'CP=60。,ZECG=60f

•••△ECG是等边三角形，EG=2

•・•NPCP'=NECG

：・/PCG=NECP'

工4GCP@△ECPISAS),

：,EP'=GP,

过点G作4D的垂线GH垂足为“，GH即为所求.

A

——,G

P'

•・•NGEC=NACD

：.HE//DC

〈NGHD=NADC

：.HG//DC

故G,E,，三点共线，则有HE〃DC

又E是AC中点，分线段成比例可知”是力。中点

：,HE=-DC=\

2

EP=GP=HE+EG=2+1=3

.•・EP'的最小值是3

总共提到了3种处理方式：

1.找始末，定轨迹

2.在规迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点就迹.

3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所未线段，即逆向构造.

【例题2】饮马类瓜豆与加权线段和问题

已知点4(2,0),点B是直线？=一2上一个动点，将线段4B绕点8逆时针旋转90°得到线段8c.

角度1:反向旋转构造手拉手(不用求从动点轨迹，直接转换为垂线段最短)

<1)求oc的最小值

【简析】如图，构造等腰直角AAOE,E(l,—1)由旋转相似可知oc=a5EW

角度2：构造手拉手求从动点轨迹

(2)求及BC+OC的最小值

【简析】x/58C+OC=AC+OC，求出c点轨迹，再将军饮马，如图，在B点轨迹上取一点"(2,-2),

构造旋转相似，易知NC4N=90。，可知C点轨迹为y=-x-2,作O'(-2,-2),

AC+0C=AC+0'C>AO'=2>/5补充：此时加权线段和对应三边之比

角度3：构造旋转相似求加权线段和

(3)记。(0,2),①求DC+OB的最小值；②求行O8+OC的最小值

【简析】①由旋转相似可知=则力C+OA=(&+l)OAM2j5+2

®y/2OB+OC=DC+OC=DC+(yC>D(r=2y/5,补充：此时加权线段和对应相似比

【瓜豆圆介绍】

如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点。当点P在圆0上运动时，Q点轨

迹是？

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是

0P一半，任意时刻，均有△AMQsaAOP,QM:PO=AQ:AP=1:2

【小结】

确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=^AO.

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系分析筑迹圆半径数量关系.

题型O轨迹为直线型•构造中位线求

2023•广东深圳•统考三模

I.如图所示，八3=4,AC=2f以8c为底边向上构造等腰直角三角形BCD,连接并延长至

点P，使AD=">,则依长的取值范围为.

【答案】4-2X/2<PB<4+2N/2

【分析】以4A为斜边作等腰直.角三角形4H尸，延长A尸至点E.使AF=EF,连接ERBE.利用

等腰直角三角形的性质得出AABCs.BD利用相似三角形的性质求出&,再利用三角形中位

线的性质求出PE=2拉，由44BF是等腰直角三角形，人尸=庄，得出所垂直平分AE,进而求出

BE=4,继而利用三角形的三边关系即可求出答案.

【详解】解：如图，以A8为斜边作等腰直角三角形A8/"延长"'至点£使AF=EF,连接样、

BE.

•・•AC8。和A4Z/都是等腰直角三角形，

；・==^BD，AB=yjAF2+BF2=>/2BF,

•••■^二普二夜,，CBD="BF=45°,

BDBF

：.NCBD-NCBF=ZABF-Z.CBF,即AFBD=ZABC,

AABCSMBD.

・・・/=生=日

DFBD

•・•AC=2,

••・”脸音也

VAD=DP,AF=FE,

・•・。户是ZXAE尸的中位线，

EP=2DF=2叵，

丁A/V^是等腰直角三角形，AF=FE,

斯'垂直平分4E,

JBA=BE,

'：AB=4,

/.BE=4,

A4-25/2<PB<4+2x/2,

故答案为：4-25/2<P^<4+2x/2.

轨迹为直线型•构造手拉手

经典例题•宿迁中考

2.如图，正方形A8CO的边长为4,E为BC上一点、,且8E=1,尸为A8边上的一个动点，连接

EF,以EF为边向右侧作等边aE广G,连接CG,则CG的最小值为.

【分析】

现在，我们分别用上面提到的3种策略来处理这个题目

策略一：找始末，定轨迹

我们分别以BE,AE为道,按题目要求构造等边三角形得到Gi与G2,连接G与G2得到点G的就

迹，再作垂线C”得到最小值.

前面提到过从动点就迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到NAMGi

=60°,

进一步得到△MBGi为等腰三甭形后，求CH就不难了，可得C"=2

策略二：在点F轨迹上找一点进行旋转.

我们分别对A,8顺时针旋转60°,构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹，

对A点旋转会得到一个正切值为'的角，即【anNGME=lanNAFE=,，然后进一步算出最值

44

【简证】EM=AE=WinEN=\=/NEC=120。nIC=2阳CH=-

22

对8点旋转得到N£MG=NFBE=90°,相对来说要容易一些.

ADAD

策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段.

讲点C逆时针旋转60°,得到点”，易i正4CGE冬AHFE,则有CG=〃F,作于M,HM

即为所求.相比之下，先求就迹后再求垂线段时，比狡麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很

多.

3.如图，在平行四边形ABCZ)中，点E为射线4D上一动点，连接鹿，将座绕点4逆时针旋转60。

得到分，连接Af，A8=12,/A6c=45°,求的最小值.

F

【思路点拨】将A8顺时针旋的6(r,作等边.58K,根据手拉手模型可知AF=EK,根据垂线段

最短可知，当KK_LA力时，KE的值最小，利用勾股定理求解EK即可求解.

【答案】3瓜+3叵

【详解】解：如图，以A3为边向下作等边4A3K,连接EK,在EK上取一点T使得A7=7X,

F

•:BE=BF,BK=BA./EBF=/ABK=6,AZABF=AKBE,:…ABFW&KBE(SAS],

:.AF=EK,根据垂线段最通可知，当EK_LAO时，KE的值最小，二•四边形A8CD时平行四边形

.\AD//BCtVZ^BC=45%AZBAD=180°-ZABC=135°,VZBA/C=60°.:./EAK=7S、

•・•ZAEK=90'，・・・NAKE=15,・・・7X=L4,，/：TAK=ZAKT=\5°,AZATE=ATAK+ZAKT=30°

设=则AT=7X=2a,ET=,在RLAEK中，AK2=AE2+EK2

A«2+(2«+>/3t/)2=122,解得a=3(6一拉)，:.EK=2a+瓜=3限+3近

即AF的最小值为3#+3及

4.(2023•洛阳•二模)如图，在一ABC中，AB=AC=2,N5AC=12()。，对称轴八£)交8C于点。，

点E是更线人。上的一个动点，连接EC,将线段反•绕点C逆时针旋转30。得/C,连接。尸，

则。尸长的最小值为

［答案］友二2

2

【分析】在4c上取一点G,使CG=CD,连接EG,根据全等三角账的性质可得CQ=CG=6,再

求出NDC^=NGCE,根据旋转的性质可得8=0"然后利用"边角边”证明4。。”和-GCE全等，

再根据全等三角形对应边相等可得。尸=EG,然后根据垂线段最短可得EG_LAO时最短，再根据

NC4Z)=60。求解即可.

【详解】解：如图，在AC上我一点G,优CG=CD,连接£G,

AB=AC=2,ZBAC=120°,

:.ZACB=30°,

：.CD=y/3,

旋转角为30。,

...Z£CF=30°,

:.AECF=ZACB,

;.NGCE=NDCF,

-CD=CG,

又-CE旋转到。尸，

:CE=CF,

.-.△DCF^AGCE(SAS),

:.DF=EG,

根据垂线段最短，EG1ADH-,EG最短，即。尸最短，如图所示:

A

.-.£G=AGsin600=（2->/3）x—=>73--,:.DF=G-盘

222

5.（2023・广东深圳•校考模拟预测）如图，在/5C中，4c8=90。，AC=BC=4,〃是。的

高。。上一个动点，以8点为旋转中心把线段8。逆时针旋转45。得到8户，连接。P,则。尸的

最小值是.

【答案】2夜—2

【分析】在8C上截取BE=BD,根据等腰直角三角形的性质求得BA和BE,再证明

..BDP包BEP（SAS）,从而可得到。£=Q/，则当小_LC。时，PE有最小值,即OP'有最小值，再

求得PE,从而求得OP'的最小值.

【详解】解：如图，在上裁取座=4£>,连接£P

VZACB=90°,AC=BC=4,CD工AB,

，BA=JAC?+8c*=次+4=4拉,ZABC=ZBAC=ZBCD=ZDCA=45°,BD=CD=AD=141=BE,

•・•以6点为旋转中心把线段8产逆时针旋耕45c得到,

:,BP=BP,NPB9=45°,

/.ZABC=/PBP=45。,

ZABC-NPBD=4PBp-ZPBD,

即NEBP=NDBP,

3BE=BD,BP=BP,

BDPW^EP(SAS),

/.PE=DP',

・••当PE_LCZ)时，庄有最小值，即。产有最小值,

VPE±CD,ZBCD=45°,

CE=0PE=BC-BE=A-20

.•・PE=与CE=与《—2塔=2五一2,

DP=PE=2五-2.

即力产的最小值是20-2

2023•黑龙江绥化•中考真题

6.如图，是边长为6的等边二角形，点上为岛8。上的动点.连接CE,将C左绕点C顺时针

旋转6()。得到。尸.连接AF,EF,DF,则其发/周长的最小值是.

【答案】3+3下)

【分析】根据题意，证明心8£且人。4”,进而得出尸点在射线A尸上运动，作点C关于4厂的对称点

C,连接。C,设CC交A厂于点0,则N4OC=90°,则当EC三点共线时，星+凡)取得最

小值，即FC+FD=尸。+F7)=CD',进而求得C7),即可求解.

【详解】解：•・•£：为高8。上的动点.

.•・ZCBE=-ZABC=30°

2

•・•将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.J^BC是边长为6的等边三角形，

.・.CE=CF/ECF=ZBCA=60°,BC=AC

ACBE^.CAF

・•・ZC4F=ZCTE=30°,

・•・尸点在射线"，上运动，

如图所示，

作点C关于"'的对称点C,连接。C,设CC交AF于点。，则/AOC=90°

在RUAOC中，ZC4O=30°,则（70=^40=3,

则当。，产,（7三点共线时，“C+”。取得最小值，即“C+/•〃=〃"+/•Z>=C/）'

-CC=AC=6tZACO=ZCCD,CO=CD

二・ACO^^CCD

••・/CDC=ZAOC=90。

在&CDC中，CD=ylcC2-CD2=>/62-32=3X/3.

A..CDF周长的最小值为CO+尸C+CO=CD+DC'=3+3yf3

7.（2022・山东日照•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xQy中，点A的坐标为（0,4）,尸是

x轴上一动点，把线段附绕点尸顺时针旋转60。得到线段PF,连接OF,则线段Of1长的最小

【分析】点尸运动所形成的图象是一条直线，当OFLBF2时,垂线段。〃最短，当点B在x轴上时，

由勾股定理得：qO=f；O=W，进而得==A£=乎，求得点打的坐标为（殍，o）,当

点乃在），轴上时,求得点巧的坐标为（0.-4）,最后根据特定系数法，求得支线凡F?的解析式为

y=y/3x-4t再由线段中垂线性质得出6/^=A£=W，在RtxOF尸2中，设点。到B乃的距离为儿

则根据面积法得!xOZxOQn?xZAx/?,即』x迪x4=Lx5叵x〃，解得分=2,根据垂线段最

2-21-2323

短，即可得到线段O尸的最小值为2.

【详解】解:・・•将线段布绕点P顺时针旋转6（）。得到线段尸F,

ZAPF=60°tPF=PA,

.♦.△AP/是等边三角形，

：.AP=AF,

如图，当点B在x轴上时，为等边三角形,

则PIA=PIFI=AFI,NAP/B=60°,

*：AO±PiFit

Q

:.PQ=FQ,ZAOPf=90,

ZPMO=30°,且A0=4,

由勾股定理得：［O=£O=述，

3

.pDC人口百

・・AAA=6£=必=—,

••・点B的坐标为，°，

为等边三角形，AO，4。,

尸2。=4,

工点尸2的坐标为（0,-4）,

tan/OR8=至=-i-=6

*/1~OF,473.

3

.・.NO"2=60。，

・••点尸运动所形成的图象是一条直线,

，当0F±FIF2时,线段OF最短，

设直线FR的解析式为y=kx+b,

国+…

则《3

b=-4

k—./i

解得",J直线尸/尸2的解析式为产后44,t：AO=F0=4,AO^PiFt,

Z?=-42

・・.£E=AK=¥，在心△。尸/2中，OF工F后,

设点0到F/B的距离为九则,Xx=gx£鸟x〃，

:._Lx迪x4=」x至X。，解得力二2,即线段。产的最小值为2

2323

2023・湖北黄冈•统考中考真题

8.如图，已知点43,0）,点B在），轴正半轴上，将线段A3绕点A顺时针旋转120。到线段AC,若

点C的坐标为（7,〃），则/=

【分析】

思路一：构造手拉手得出BC中点轨迹

思路二：在x轴上取点。和点E,使得/4£>8=44£。=120。,过点C作b_Lx于点£在Rlz^CE/

中，解直角三角