中考数学高频压轴题突破-二次函数与面积

中考高频压轴题突破一二次函数与面积

1.在平面直角坐标系X0V中(如图)，已知抛物线)，=・；/+A+c•(其中氏C是常数)经

过点A(-2,-2)与点6(0,4),顶点为M.

(1)求该抛物线的表达式与点M的坐标；

(2)平移这条抛物线，得到的新抛物线与)，轴交于点。(点C在点8的下方)，且△BCM

的面积为3.新抛物线的对称轴/经过点A,直线/与工轴交于点

①求点A随抛物线平移后的对应点坐标；

②点从G在新抛物线上，且关于直线/对称，如果正方形DEFG的顶点/在第二象限

内,求点尸的坐标.

Ox

2.在平面直角坐标系W中，规定:抛物线)，="X-/?)2+A的伴随直线为y="x-/?)-&.

例如：抛物线y=2(x+l)2—3的伴随直线为)，=2(%+1)—3,即y=2x—l.

(1)在上面规定下，抛物线y=(x+l)、4的顶点为.伴随直线为；

抛物线)="+/尸一4与其伴随直线的交点坐标为和；

(2)如图，顶点在第一象限的抛物线y=1)?-4〃?与其伴随直线相交于点(点A

在点3的右侧)与x轴交于点CD

①若/C48=90：求/〃的值；

②如果点是直线8。上方抛物线的一个动点，AP5C的面积记为S,当S取得最

大值一27时，求小的值.

4

3.在平面直角坐标系中(如图)，已知经过点A(-3,0)的抛物线、=加+2依-

3与〉，轴交于点C,点3与点A关于该抛物线的对称轴对称，。为该抛物线的顶点.

(1)直接写出该抛物线的对称轴以及点3的坐标、点C的坐标、点。的坐标；

(2)联结A。、DC、CB,求四边形4BCZ)的面积；

(3)联结AC.如果点E在该抛物线上，过点E作x轴的垂线，垂足为“，线段EH交

线段AC于点F.当EF=2F”时，求点E的坐标.

1-

A

-3-2-1O-

-1-

-2

-3

4.在平面直角坐标系中，抛物线y=-ax?+2ax+c与x轴相交于A(-I,0)、B两点

(A点在B点左侧)，与y轴相交于点C(0,3点),点D是抛物线的顶点.

(1)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图1,点F(0,b)在y轴上，连接AF,点Q是线段AF上的一个动点，P是

第一象限抛物线上的一个动点，当b=-加时，求四边形CQBP面积的最大值与点P

的坐标；

(3)如图2,点Ci与点C关于抛物线对称轴对称.将抛物线y沿直线AD平移，平移

后的抛物线记为yi,W的顶点为Di,将抛物线yI沿x轴翻折，翻折后的抛物线记为”，

y2的顶点为D2.在(2)的条件下，点P平移后的对应点为Pi,在平移过程中，是否存

在以PQ2为腰的等腰△GPQ2,若存在请直接写出点D?的横坐标，若不存在请说明理

由.

试卷第2页，共10页

图1图2

5.如图1,矩形OBCD的边OD,0B分别在x轴和y轴上，且B(0,8),D(10,0).点

E是DC边上•点，将矩形OBCD沿过点。的射线OE折直，使点D恰好落在BC边上

的点A处.

(1)若抛物线y=ax2+bx经过点A,D,求此抛物线的解析式；

(2)若点M是(2)中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M,使aAME为等腰三角

形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；

(3)如图2,动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒I个单位的速度向终点D运动，

动点Q从点D出发沿井线D-C-A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到

终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线lJ_x轴，依次交射线OA,OE于点F,

G,设运动时间为t(秒)，aQFG的面积为S,求S与t的函数关系式，并直接写出t

的取值范围.(t的取值应保证aQFG的存在)

图I图2备用图

6.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=；,交x轴于点A、B,交y轴于点C,

且点A坐标为A（-2,0）.直线y=-mx-n（m>0）与抛物线交于点P、Q（点P

在点Q的右边），交y轴于点H.

（1）求该抛物线的解析式：

（2）若n=-5,且aCPQ的面积为3,求m的值；

（3）当时，若n=-3m,直线AQ交y轴于点K.设aPQK的面积为S,求S与

备用图

7.已知：如图，在平面直角坐标系*?），中，以点夕（2,右）为圆心的圆与y轴相切

于点4,与x轴相交于B、C两点（点8在点C的左边）.

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在（1）中的抛物线.上是否存在点M,使△M8P的面积是菱形ABC尸面积的;.如

果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；

（3）如果一个动点。自点。出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运

动到（I）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长.

试卷第4页，共10页

2

8.抛物线y=-§x2+bx+c与x轴交于A(・1,0),B(5,0)两点，顶点为C,对称轴交x

轴于点D,点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C,D重合).过点C作直

线PB的垂线交PB于点E,交x轴于点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当aPCF的面积为5时，求点P的坐标；

(3)当APCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.

备用图

9.如图，抛物线y=gx?+bx+c与y轴交于点C,与x轴相交于A,B两点，点A的坐

标为(2,0),点C的坐标为(0,-4).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点Q是线段BA上的一动点，点E为线段AC上一动点，若始终保持NAQE=ZABC,

连接CQ,求ACQE的面积S关于点Q的横坐标m的函数关系式；

(3)若点D为OB的中点，点M是线段BC上一点，当AOMD为等腰三角形时，直接

写出点M的坐标.

10.定义：由两条与X轴有着相同的交点，并且开II方向相同的抛物线所围成的封闭曲

线称为“月牙线”.如图，抛物线G与抛物线G姐成一个开口向上的“月牙级”，抛物线

。与抛物线C2与工轴有相同的交点M,N（点M在点N的左侧），与），轴的交点分别为

A,8且点A的坐标为10,-3）,抛物线G的解析式为丁=加产+4〃。-12〃?，（机＞0）.

（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下.“月牙线”，直接写出两条抛物线

的解析式：

（2）求M,N两点的坐标；

（3）在第三象限内的抛物线。上是否存在一点P,使得△以M的面积最大？若存在，

求出△%M的面积的最大值；若不存在，说明理由.

11.如图，抛物线y=ax?+bx+c与x轴相交于A（3,0）、B两点,与y轴交于点C（0,

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求aACP的面积的最大值及此时

试卷第6页，共10页

点P的坐标；

（3）在线段0C上是否存在一点M,使BM+立CM的值最小？若存在，请求出这个

2

最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由.

12.如图，抛物线），=-工2+加T+C交X轴于A,B两点,交y轴于点C.直线），=+2

经过点B,C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线8C上方抛物线上一动点，设点尸的横坐标为

①求AP3C面积最大值和此时”的值；

②。是直线上一动点，是否存在点尸，使以A、B、P、。为顶点的四边形是平行

四边形，若存在，直接写出点P的坐标.

13.定义：对于抛物线），=012+灰+。（〃、氏c是常数.。和），若按=ac,则称该抛物

线为黄金抛物线.例如：y=/-x+l是黄金抛物线

（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；

（2）将黄金抛物线y="-x+i沿对称轴向下平移3个单位

①直接写出平移后的新效物线的解析式；

②新抛物线如图所示，与x轴交于人、8（人在4的左侧），与y轴交于C,点P是直线

下方的抛物线上一动点，连结PO.PC,并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C,

那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在.请求出此时点P的坐标：若不

存在，请说明理由.

③当直线8c下方的抛物线上动点P运动到什么位置时，四边形OBPC的面积最大并求

出此时尸点的坐标和四边形O8PC的最大面积.

14.在平面直角坐标系中，点A是），轴上一点，其坐标为（0,6）,点4在工轴的正半

轴上.点P,Q均在线段人B上，点P的横坐标为〃?，点Q的横坐标大于/〃，在△PQM

中，若PM〃x轴，QM1），轴，则称△PQM为点P,。的“肩三角形.

（1）若点8坐标为（4,0）,且阳=2,则点尸，B的“肩三角形”的面积为_____；

（2）当点P,。的“肩三角形''是等腰三角形时，求点8的坐标；

（3）在（2）的条件下，作过O,P,8三点的抛物线尸渡+灰+c

①若M点必为抛物线上一点，求点P,Q的“肩三角形”面积S与〃?之间的函数关系式，

并写出自变量m的取值范围.

②当点P,Q的“肩三角形”面积为3,且抛物线丁=江+"+c与点P,。的“肩三角形''■恰

有两个交点时，直接写出机的取值范围.

15.如图，矩形A0C8的顶点A、。分别位于工轴和＞轴的正半轴上，线段。4、OC的

长度满足|。4一15|+10。-13=0,（OA＞OC）t直线MN分别与x轴、轴交于M、N

两点，点C关于直线aV的对称点。恰好落在直线上，fitanZCBD=4.

（1）求点8的坐标；

（2）求直线助V的解析式；

（3）将直线用V以每秒I个单位长度的速度沿y轴方向向下平移，求直线AN扫过矩形

AOC8的面积S关于运动的时间［。＜fW13）的函数关系式.

16.如图，已知抛物线丫=奴2+区+。经过点4-3,0）、4（9,0）和。（0,4）,C。垂直于丁

轴，交抛物线于点。，DE垂直于x轴，垂足为E,直线/是该抛物线的对称轴，点尸是

试卷第8页，共10页

(1)求出该二次函数的表达式及点。的坐标;

(2)若心AAOC沿x轴位右平移，使其直角边0C与对称轴/重合，再沿对称轴/向上平

移到点C与点尸重合，得到RrZXAa尸，求此时即△4。尸与矩形OCDE重叠部分图形

的面积；

⑶若R/ZXAOC沿“轴向右平移，个单位长度(0<Y6)得到四△&QG，放△&OC与

心△(龙。重叠部分图形的面积记为S,求S与1之间的函数表达式，并写出自变量，的取

值范围.

17.已知抛物线)，=/-21+。(〃<0)与y轴相交于点A,顶点为"直线。分

别与x轴、y轴相交于8、C两点，并且与直线AM相交于点N.

⑴试用含。的代数式分别表示点M与N的坐标.

(2)如图，设AAMC与A7以C关于.V轴对称，且点N的对应点*,恰好落在抛物线上，AN'

与x轴交于点。，连结C7X求：

①。的值；

②四边形AOCN的面积.

⑶若尸为抛物线)，二乂-21+。包<0)上的一点，当以/>、A、C、N为顶点的四边形

是平行四边形时.，求出P点的坐标.

18.如图，已知抛物线。：y=-，(x+2)(,r-〃z)(〃7>0)与x轴相交于点3、C,与>轴

相交于点E,且点力在点C的左侧.

(1)若抛物线a过点MQ2),求实数，〃的值.

(2)在(1)的条件下，解答下列问题：

①求出MCE的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点〃，使BH+EH最小,并求出点〃的坐标.

(3)在第四象限内，抛物线C】上是否存在点尸，使得以点8、C、/为顶点的三角形

与ABCE相似？若存在，求〃?的值；若不存在，请说明理由.

试卷第10页，共10页

参考答案：

1.(1)y=-^x2+2x+4-顶点M的坐标是：(2,6)；(2)①点4对应点的坐标为(-6,-

5)；②尸(-2,2V7-2).

【分析】(1)根据抛物线)，=-g.，+/u-+c(其中仇c是常数)经过点4(-2,-2)与点8(0,

4),从而可以求得抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点M的坐标；

(2)①根据新抛物线的对称轴/经过点A,可得新抛物线的顶点为(-2,&),设平移后新勉物

线的解析式为＞=-g(x+2)2+%,可得。点坐标，由面积列方程求出鼠从而可以得到点A

随抛物线平移后的对应点坐标；

②根据题意和正方形的性质，设尸(-2,2办E(-2+a,办将E代入(2)的解析式中即可

求出。，继而解题.可以求得点尸的坐标.

【解析】解：(1)将4-2,-2)、仅0,4)代入)，=-；/+力x+c中，

--x(-2)2-2b+c=-2

0+0+。=4

伍=2

解得彳

c=4

・••该抛物线的表达式为：y=-lx2+2x4-4；

••・顶点M的坐标是：(2,6)；

(2)①•・•平移后抛物线的对称轴经过点A(・2,-2),

・••可设平移后的抛物线表达式为：y=-g(x+2)2+&,

AC(0,-2+k).

•••SVBC“=；AC2=；[4-(-2+&)]・2=3,

解得，k=3.

Ay=-l(A+2)2+3,

即原抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位可以得到新的抛物线.

•••点A对应点的坐标为(・6,-5)；

②设EG与。尸的交点为，.在正方形。EFG中，EG1DF,EG=DF=2EH=2DH.

•・•点E、G是这条抛物线上的一对对称点，

答案第H页，共40页

轴.

・•・/)尸JLx轴，

设F(-2,2a).

•・•点尸在第二象限内,

/.EG=DF=2EH=2DH=2a.

不妨设点石在点G的右侧，那么E[-2+ma).

将点E代入y=-g(x+2)2+3,得一g/+3=a,

解得，4=,%=—77-1(不合题意，舍去).

AF(-2,2V7-2).

【点评】本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法求解析式、函数图象的平移、二次函

数的性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

2.(1)(-1,-4),y=x-3,(0,-3),(-1,-4)；(2)①〃？的值为一"；②〃?二一2.

2

【分析】(1)根据题干中的定义即可找出其伴随直线为产(x+1)-4,即产[3,再联立抛

物线求解即可

(2)①先与其伴随直线联立求得交点A4,再求出抛物线与x轴的交点C,D,根据NCAB=90。

由勾股定理求出in；

②设直线4C的解析式为严爪+〃.将以2,-3m),C(—1,0)代入求出产一过户

作x轴的垂线交2c于点Q,将三角形面积用含m的表达式表示出来即可

【解析】(1)由伴随直线的定义可得其伴随直线为产(x-1)-4,即产r-3,

联立抛物线与伴随直线的解析式可得卜=。+h一4,解得｛"。或・••其交点坐

y=x-3[y=-3[y=-4

标为(0，-3)和(-I,-4).

故答案为：(・1,・4)；产[3；(0,-3)；(-1,-4)；

(2)①;抛物线解析式为尸〃?(X—1)2—4加，其伴随直线为产机(X—1)—4〃?，即y=nLX—5m.

联立抛物线与伴随直线的解析式可得卜’二风1)一.解得[*或[X=J，."(1,

y=nix-5m[y=-4/〃(y=-3/n

—4/77),B(2,—3/n).

在y=m(x-I)2—4/n中，

令),=0可得下一1或x=3,.\C(-1,0),D(3,0),，4。2=4+16谒，A52=l+/n2,BCM+

9m2.

答案第12页，共40页

•・・NCAB=90°,・・・AC2+AB2=BC2'即4+16评+1+加2=9+9m2,解得：〃?二走(抛物线开口

2

向下，舍去)或〃?二一正，.••当NC4B=90。时，加的值为一立.

22

②设直线BC的解析式为尸公+〃.

2k+b=-3m[k=-in

•••8(2,—3〃?)，C(-l,0),/J,，八，解得匕，，直线BC的解析式为广一

-k+b=0[b=-m

nix-in.

过P作x轴的垂线交BC干点Q.

2

丁点尸的横坐标为x,:.P(xtm(x—I)—4m),Q(x,—mx—ni).

*.*P是直线BC上方抛物线上的一个动点，PQ=m(x—1)2—4m+nix+m=m(x2—x—2)=m[(x

Cl，G*7

一抨一小••芯/此号乂q一㈠力夕⑪彳加一杯一万机.;当后寺时，"BC的面积

有最大值一?2〃7?，・・・S取最大2£7■时，即一27尸27多，解得：片一2.

8484

【点评】此题考查二次函数与一次函数的综合问题，其中包含面积的计算，难度较大.

3.(1)对称轴为x=・1,点B、C、D的坐标依次为(1,0),(0,-3),(-1,-4)；(2)

9；(3)(-2,-3).

【分析】⑴由题意可知该抛物线的对称轴为直线、二卷=7,而点A(30),求出

点B的坐标，进而求解;

答案第13页，共40页

(2)根据题意将四边形ABCD的面积分解为ADAM、用形DMOC、△BOC的面积在，即

可求解：

(3)根据题意设点E(x,x2+2x-3),则点F(x,-x-1),求出EF、FH长度的表达式，即可

求解.

—

【解析】解：(1)•••该抛物线的对称轴为直线x=k=-1,而点A(-3,0),

2a

工点B的坐标为(1,0),

•・・c=-3,故点C的坐标为(0,-3),

•・•函数的对称轴为x=-1,故点D的坐标为(-1,-4)；

(2)过点D作DM1AB,垂足为M,

117

・•・S梯形一5(OC+DM]•OM—5(3+4)K1一5，

113

S,=—OBOC=—xlx3=—,

AUOHBV.r-222

.73_

,•S四边形MCA)=S：+S梯形+=4+—+—=9；

f/?=-3(k

(3)设直线AC的表达式为：y=kx+b,则｛/，解得：

-3k+h=0n[/?

故直线AC的表达式为：y=-x-3,

将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a-6a-3=0,解得：a=l,

故抛物线的表达式为：y=x2+2x-3,

设点E(x,x2+2x-3),则点F(x,-x-1),

贝ljEF=(-x-1)-(x2+2x-3)=-x2-3x,FH=x+3,

VEF=2FH,

-x2-3x=2(x+3),解得：x=-2或-3(舍去-3),

故m=-2.

答案第14页，共40页

故点E的坐标为：（-2,-3）.

【点评】本题主要考杳二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会

利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从

而求出线段之间的关系.

4.（1）y=-y[2x2+2>/2x+35/2;（2）当m=^■时，S网边彬CQBP取得最大值堂也■，此时P

28

点坐标为匕&）；（3）存在，满足要求的a的横位标有：々3+3月7,-73-3历'，

244646

-48+J1I734-48-J11734

"92'92'

【分析】（1）将A、C两点坐标代入抛物线解析式当中求出a与c的值即可；

（2）先求出B、F坐标，然后可以证明AF与BC平行，于是△QBC的面积就等于△ABC

的面积，问题就转化为求APBC的面积的最大值，作PE〃y轴交直线BC于E,设P点的

横坐标为未知数m,将E点坐标也用m表示,PE的长度用P、E纵坐标之差表示，于是△PBC

的面积就可以表示成关于m的二次函数，通过配方法即可求出最值及P点坐标.

（3）由于限定了以RD?为腰，因此分两大类分别列方程计算即可.

【解析】⑴将A（-1,0）、C（0,3&）代入抛物线解析式得:

一。一2。+。=0

c=3&

CI=>/2

解得：

c=3x/2

，抛物线的解析式为y=-x/2x?+2&x+3应.

（2）如图1,连接BC,AC,作PE〃y轴交BC于E.

・「y=-0x2+275x+3£=-0(x+1)(x-3).

答案第15页，共40页

AB(3,0),

Vb=-V2，

AF(0,-五),

.OFOCf-

OAOB7

・・・AF〃BC,

SAQBC=SAABC=AB*OC=672，

由B、C两点坐标可得直线BC的解析式为：y=・&x+3a,

设P(m,m2+275m+3>/5),则E(m,-也m+3&),

PE=yp-yE=->/2m2+4V2m,

YE)=.亚幅+6近m=.亚(mA…旭,

/»SAPBC=(XB

22-8

，当m=:时，S四边杉CQBP取得最大值叁旦，此时P点坐标为(;，身也).

2824

(3)Vy=-75x2+272K+35/2=-\/2(x-l)2+4>/2,

AD(I,40),抛物线对称轴为x=l,

•・・G与C关于直线x=l对称，

ACi(2,3V2)，

由A、D两点坐标可求得直线AD的解析式为y=272x4-272，

设Di(m,2&m+2—),

则Pi(m+g,2&m+述)，D2(m,-2及m-2及),

227

I]D；=32m2+60m+—,CR=9/n2+36，〃+54,

8

,,43

P.C；=9nr-13m+—,

''8

当PICI=PID2时，9/zr-13/n+=32m2+60m+,解得叫=一‘？+3/351,

88146

-73-3>/357

m,=----------------.

当CID2=PID2时，9m2+36m+54=32m2+60m+^^,解得m=—8+11734

8392

-48-Jl1734

m,=------------------

92

答案第16页，共40页

综上所述，满足要求的D?的横坐标有：即3历,33师,-48+VH病,

464692

-48-J11734

92,

【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、

二次函数图象的基本性质、铅垂高法求三角形面积、配方法求二次函数最值、等腰三角形的

存在性问题，解一元二次方程等重要知识点，综合性强，难度较大，特别是第二问，有一定

计算量，解答时容易出错,同时注意分类讨论思想在本题中的应用.

5.(1))，=一；/+¥一(2)存在，满足要求的点M的坐标为(5,8-2#),(5,8+26)，(5,

---/2+—/(0</<8)

126

5),(5,2.5),理由见解析；(3)S=，-52+M«&,/<9)

62

-r10)

[62

【分析】(1)先利用矩形的性质及折叠的性质求出点A的坐标，然后用待定系数法即可求

得抛物线的解析式；

(2)易求得抛物线的对称轴x=5,过点E作ETJ_AH,垂足为T,设点M的坐标为(m,

n),运用勾股定理用含n的代数式表示出AM?、EM2,然后分三种情况进行讨论：AM=AE,

EM=EA,MA=ME分别列出等式，求出n,就可求出点M的坐标；

(3)根据点Q的位置不同，分以下四种情况进行讨论：①点Q在线段DC上；②点Q在

ACI•.且在直线【的右边;③点Q在AC上且在直线I上:④点Q在AC上且在直线/的左边，

分情况讨论即可.

【解析】(1)解：：四边形OBCD是矩形，B(0,8),D(10,0),

.\BC=OD=10,DC=OB=8,ZOBC=ZC=90°.

由折叠可得：OA=OD=10,AE=DE.

VZOBC=90°,OB=8,OA=10,

・・・AB=’。摩-的=6,

・・・AC=4.

设AE=DE=x,则CE=8-x,

VZC=90°,

.*.x2=42+(8-x)2,

解得：x=5,

，AE=DE=5,

・••点A的坐标为(6,8),点E的坐标为(10,5).

答案第17页，共40页

•・•抛物线丫=2*2+6乂经过点A(6,8),D(10,0),

I

a=—

36。+68=8,,3

100a+10b=0解得

,10

b=一

3

此抛物线的解析式为y=-1x2+yx；

（2）存在M,使4AME为等腰三角形.

设抛物线的对称轴与BC交于点H,过点E作ET_LAH,垂足为T,连接AM、ME,如图1,

图1

10

设点M的坐标为(m,n),则m=---2--x-厂h不)空，

AAH=6-5=1,HM=8-n,ET=10-5=5,TM=5-n

VAH1HM,

/.AM2=AH2+MH2=1+(8-n)2

VET1MH

AME2=ET2+MT2=25+(5-n)2

①若AM=AE,MAM2=AE21

A1+(8-n)2=25,

・•・(8-n)2=24,

解得：n,=8-2x/6,n,=8+276,

此时点M的坐标为(5,8-26)或(5.8+2公)：

②若EM=EA,贝ljEM』EA2

A25+(5-n)2=25

J(5-n)2=0

，113=5

此时点M的坐标为(5,5)；

答案第18页，共40页

③若MA=ME,则MA2=ME2

A1+(8-n)2=25+(5-n)2

解得：ru=2.5

此时点M的坐标为(5,2.5)；

综上所述：满足要求的点M的坐标为(5,8-2n),(5,8+2#),(5,5),(5,2.5)；

(3)设直线0A的解析式y=kix,

丁点A的坐标为(6,8),

.*.6ki=8,

・•.k,=p

4

•••直线0A的解析式为)，=§x,

同理可得：直线OE的表达式为y=g%,

VOP=lxt=t

，P(t,0)

•・•直线LLx轴于点P,点F,G是直线/与OA,OE的交点

(4)(1

F,Gty—tI,

IJ/\/

故FG=《t-《t=汽，

326

①当0<tV8时.点Q在线段DC上，

过点Q作QS_L直线/,垂足为S,

答案第19页，共40页

B

0PD\

1图2

贝ijQS=PD=10-t

：.S=^FGQS=^FGPD

=-x-tx(10-t)

26

5225

=-----1H-----1;

126

②当80V9时，点Q在线段CA上,且在直线1的右侧，

设FG交AC于点N,如图3,

注

图3

则QN=CN-CQ=PD-CQ=(10-t)-(t-8)=18-2t

:・S=：FGQN

=—x—rx(18-2z)

26

5215

=­r+—t:

62

答案第20页，共40页

③当t=9时，QN=18-21=0,点Q与点N重合，此时AQFG不存在，故舍去；

④当9V610时，点Q在线段CA上，且在直线I的左侧，设FG交AC于点N,如图4.

则QN=CQ-CN=CQ-PD=(t-8)-(10-1)=21-18

:・S=；FGQN

=1x5fx⑵-18)

26

5215

=-r---

s、”

-----1"H---/(()</<8)

126

+与t<9)

综上所述：5=

62

-z2--/(9<r„10)

162

【点评】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，等腰三角形的定义及性质,

勾股定理是基础，利用方程的思想并分情况讨论是解题的关键.

5m2一日"1+^(0<m<})

U、3525(

6.(1)y=--+―x+3；(2)〃?=2；(3)S=<-5m~+—m-----\<m<—

22222J

°,15/、5

3〃厂---m\/«>—

212,)

【分析】⑴将点仆2,。）代入解析式，对称轴为广・《小联立即可求〃与。的值,

（2）设点Q横坐标X/,点。的横坐标M则有4/Vx2,联立），=■心+5,y=-

22

根据韦达定理可得X/+X2=2〃?+1,内%2=4,由面积之间的关系：S^CPQ=S^CHP-S^CHQ,

可求〃?的值；

答案第21页，共40页

(3)当〃=-3〃?时，PQ解析式为)=-联立布-//tr+3w=--x2+-x+3,解得x

=3或x=2〃？-2；由条件可得P(3,0),Q(2w-2,-2w2+5/n),K(0,5-2m),所以

有HK=\5m-5|=5|m-1|；

①当0＜小＜1时，HK=5-5nhSbPQK=S&PHK$QHK=gxHK(x-x)=1x(5-5/〃)

359S

(5-2m)=5m2-----in+—,

22

_53595

②当时，HK=5m-5,S&PQK=-5m2+—m-----,

222

③当2勿・2＞3时，，如图③，有心S/QK=gxKQ|y|二T(2w2-5m)=3m2-m,

【解析】(1)将点A(-2,0)代入解析式，得4〃・2^^支，

..=.A=1

,2a2,

..»a=—।,,b=1—；

22

工产-g/+gx+3；

(2)设点Q横坐标X/,点P的横坐标X2,则有X/VX2,

把n=-5代入y=-〃Lt-〃，

.*.y=-m.x+5,

】佚立y=-"ti+5,y=-g/2+gx+3得：

「1,1.

-Z/LV+5=—xZ+—x+3,

22

Ax2-(2/n+l)x+4=0,

Xl+X2=2"l+1,X/X2=4,

:△CP。的面积为3：

:$CPQ=S&CHP-S4HQ,

即{X2-XI)=3,

••X2-x/=3,

2

/.(X]+x2)-4X/X2=9,

:.(2m+l)2=25,

=2或〃z=-3,

，6=2；

答案第22页，共40页

(3)当〃=-3〃?时，PQ解析式为y=-mx+3m,

:・H(0,3w),

*.*y=-nix+3m与y=~^x2+^x+3相交于点P与Q,

.c1,1,

・・-mx+3m=—K+—x+」,

22

，x=3或x=2〃?-2,

当2/〃-2V3时，有0＜切〈2,

2

•・•点尸在点Q的右边,

:.P(3,0),Q(2〃？-2,-2m2+5m),

・•・AQ的直线解析式为)，=士宁x+5-2m,

：.K(0,5-2〃?)，

：.HK=\5m-5\=5\m-1|,

①当OV〃?V1时，如图①，

113525

：・S&PQK=S&PHK$QHK=jxHK(x・x)=-x(5-5w)(5-2m)=5m2一一w+—,

NNZ.

②当iv〃?v|时，如图②，

答案第23页，共40页

,SAPQK=SAPHK-SAQHK=；XHK(x・x)=gx(5〃7-5)(5-2m)=-5m2+^-m-,

2

:・P(.2m-2,-2m+5m)fQ(3,0),K(0,0),

13is

SAPQK=—xKQ\y\=—(2rn2-5m)=3m2一■—m,

5m2-ym+y(0</n<l)

综上所述,

3m2--m

22J

【点评】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论

是解题的主要思想.

7.（1）>'=^x2-^x+x/3.（2）存在，点M的坐标为（0,后），（3,0）,（4,右）,

答案笫24页，共40页

(7,8G).(3)—.

3

【分析】(1)连接以，P8,PC,过点尸作PG_L8C于点G,求出P点的坐标，然后求得点

A、B、C的坐标用待定系数法求得二次函数的解析式即可；

(2)因为“8尸和zkCB尸的面积是菱形A8CP面积的枭故过点A、C作8P的平行线，与

抛物线的交点即是满足条件的点M.

(3)将原方程配方后得到抛物线的顶点Q(2,一号,然后作点P关于)，轴的对称点E

则P'(-2,6).连接〃Q,则。。是最短总路径，根据勾股定理，可得利。=半.

【解析】解：(1)如图1,连接以，PB,PC,过点。作PG_L8C于点G,

•••。?与)，轴相切于点A,

・・・%_Ly轴，

VP(2,石)，

AOG=AP=2,PG=OA=g,

:.PB=PC=2,

：,BG=\,

ACG=1,BC=2.

/.0B=\,0C=3.

・・・A(0,G),B(1,0),C(3,0),

根据题意设二次函数解析式为：(x-1)(x-3),

则(0-1)(0-3”=石,

解得:“邛.

故二次函数的解析式为：=x+x/3.

33

(2)•・•点B(1,0),点尸(2,6),

••・8P的解析式为：y=V3x->/3；

则过点A平行于8P的直线解析式为:过点C平行于8P的宜线解析式为：)，=6

X-3石，

从而可得①：—史X心

33

解得：x/=0,k=7,

从而可得满足题意的点M的坐标为(0,6)、(7,873)；

答案第25页，共40页

②房・3百=22一拽x+G，

33

解得：xi=3,4=4,

从而可得满足题意的点M的坐标为：(3,0)、(4,73)

综上可得点M的坐标为(0,后)，(3,0),(4,G),(7,86).

(3)*.*y=_4f/0=~~(x2-4x+3j=^-(x-2)2，

・••抛物线的顶点。(2,-立).

3

如图2,作点。关于)，轴的对称点E则产(-2,6).

连接P'Q，则。。是最短总路径，根据勾股定理，可得?’。=空.

3

【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、切线的性质、一次

函数解析式、解一元二次方程、二次函数的图象及性质等多个知识点，解题的关键是要会利

用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来.

8.(i)y=_Q+]x+?⑵P(2,-3)或(2,5)；⑶P(2,当或(2,-2)或(2,土土叵)

99952

或(2,-9+3电

2

答案第26页，共40页

2

【分析】(1)函数的表达式为：y=](x+l)(x-5),即可求解；

(2)确定PB、CE的表达式，联立求得点F(2-督，0),SAPCF=|XPCXDF=1(2-m)

(2-^-2)=5,即可求解；

(3)分当CP=CF、CP=PF、CP=PF三种情况，分别求解即可.

n921()

【解析】解：(1)函数的表达式为：y=](x+1)(x-5)=-1x2+1x+y；

(2)抛物线的对称轴为x=2,则点C(2,2),

设点P(2,ni),

将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t并解得：

函数PB的表达式为：y=-：mx+日，

JJ

VCE1PE,故直线CE表达式中的k值为之，

m

将点C的坐标代入一次函数表达式，

同理可得直线CE的表达式为：y=--x+2--,

mmJ

故点F(2——,0),

SAPCF=|XPCXDF=^(|2-m|)(|2-半-2|)=5,

解得：m=5或-3,

故点P(2,-3)或(2,5)；

(3)由(2)确定的点F的坐标得：

CP2=(2-m)2,CF2=(—)2+4,PF2=(—)2+m2,

33

①当CP=CF口、J,即：(2-m)2=(―)2+4,解得：m