函数及其性质-高考数学考前三个月速记清单

专题三

函数及其性质——高考数学考前三个月速记清单一、函数的性质及其应用（一）函数的概念三要素：定义域（解析式有意义），对应关系（常用换元法求解析式），值域（由定义域与对应关系共同确定）；分段函数：“分段”研究；复合函数：“分层”研究；抽象函数：常用“赋值法”.（二）函数的性质函数的单调性优先确定函数的定义域；复合函数单调性（同增异减）.函数的最值定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最大值.定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最小值.函数的奇偶性奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.对于偶函数而言，有.函数的周期性定义：图像特征：图像按一定规律重复出现.函数的对称性若函数满足，即，则的图像关于直线对称；若函数满足，即，则的图像关于点对称；若函数满足，则的图像关于直线对称.二、基本初等函数（一）指数与对数的七个运算公式.2..3..4..5.6.7..（二）指数函数与对数函数的图像与性质指数函数对数函数图像单调性0<a<1时，在R上单调递减；a>1时，在R上单调递增0<a<1时，在上单调递减；a>1时，在上单调递增指数函数对数函数函数值性质0<a<1，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>10<a<1，当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0a>1，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1a>1，当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0（三）幂函数的图象与性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝eq\f(1,x)定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上递增在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增在R上递增在(0，＋∞)上递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)幂函数在区间(0,＋∞)上，当时，是增函数；当时，是减函数．（四）函数与方程1.函数的零点及函数的零点与方程根的关系对于函数f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.2.零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的一个根．3.函数f(x)的图像与x轴有公共点方程f(x)＝0有实数根函数f(x)有零点.(五）函数与方程及应用1.方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点.2.思想方法：数学方法：图象法、分离参数法、最值的求法．数学思想：数形结合、转化与化归、函数与方程．（六）判断函数零点个数的方法1.直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．2.零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．3.数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．（七）易错易混1.判断函数奇偶性时忽略定义域；2.利用换元法证明或求解时忽略“新元”的范围变化；3.混淆“单调区间”与“