大一高数复习

大一高数复习大一高数复习大一高数复习三、计算不定积分的方法1、直接积分法2、换元积分法第一类换元积分（凑微分法）第二类换元积分（变量代换法）3、分部积分法〔反、对、幂、指、三〕4、微积分根本定理间的关系积分中值定理微分中值定理牛-莱公式22021/2/245、常用的公式(1)熟记三角公式及万能代换(2)(4)(5)(3)若以为周期,则奇偶讨论32021/2/24四、微分中值定理共性：函数满足一定条件时，在给定的开区间内至少存在一点(中值)，使得函数在该点的导数具有某种性质罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理42021/2/24五、导数的应用1、利用导数定义求极限2、导数的几何应用3、导数的物理应用对于实际问题求解最值，即“用料最省〞、“效率最高〞、“本钱最低〞等解决方法：建立目的函数，求做最值讨论单调性、极值、凸凹性、拐点、渐近线、描绘函数的性态、4、证明不等式或恒等式曲率、相关变化率52021/2/24六、定积分的应用1.定积分的应用几何方面:面积、体积、弧长物理方面:质量、作功、侧压力、引力、2.根本方法:微元分析法微元形状:条、段、带、片、扇、环、壳等.62021/2/24解:原式=原式例1.求极限72021/2/24例2.求以下极限提示:无穷小有界82021/2/24令92021/2/24～说明:假设则有102021/2/24〔4〕解：原式=〔5〕解：原式=112021/2/24解：原式=122021/2/24(6)解利用积分中值定理(7)解利用估值定理132021/2/24考虑与练习填空题

(1～4)142021/2/245)求极限(1)(2)利用极限的运算法则6)求极限利用函数极限求做解:型152021/2/24例3试确定

a,b.解：此题分母的极限为0，当时可见分子的极限一定为0，则有162021/2/24例4.求解:例5.求解:172021/2/24例6

求解:

原式=182021/2/24练习1:设连续,求解:原式=192021/2/24练习:

2.求极限解：原式3.

求极限提示：原式左边=右边202021/2/24有无穷连续点及可去连续点解:为无穷连续点,即由此得为可去连续点,极限存在,应有因此例7.

设函数试确定常数a

及b.212021/2/24例8.确定函数连续点的类型.解:连续点为无穷连续点;当时,当时,故为跳跃间断点.在处连续.222021/2/24例9.设解:求232021/2/24例10.设求解:考虑:假设存在,如何求的导数这两个记号含义不同242021/2/24

练习1：2：设函数是由方程所确定求解：方程两边同时对求导得：252021/2/2411.

设,问a

取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,262021/2/2412.假设且存在,求解:原式=且联想到凑导数的定义式272021/2/24例13.设解：例14.设解：282021/2/24考虑与练习1.2.提示:

令则292021/2/243解302021/2/24解：312021/2/245：解：322021/2/24例5、求解：令练习：〔1〕〔2〕332021/2/246.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x

求导342021/2/24例16.

求多项式f(x)使它满足方程解:

令则代入原方程得两边对

x

求导两次,去掉积分号由此可知f(x)

应为二次多项式,设代入**式比较同次幂系数,得故352021/2/24例17.

设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:

问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点362021/2/24推广：求证存在使

设可导，且在连续，证：因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得372021/2/2418.设函数f(x)

在[a,b]上可导，且

试证在开区间(0,1)内至上存在一点

证：382021/2/24例19设在上连续，在内可导，其中且证在内存在，使分析：积分令392021/2/24例20设在上连续，在内可导，且又试证明方程：在内必有唯一的实根证明：由题意满足拉氏定理令必有〔存在性〕〔唯一性〕则函数单减，故根唯一故根存在402021/2/24例21.

证明证:

设,则故时,单调增加,从而即考虑:证明时,如何设辅助函数412021/2/24练习证明:构造辅助只要证明422021/2/24例22.求A,B.解:

等式两边对x

求导,得432021/2/24例23.

求解:

方法1方法2两法结果仅形式不一样!442021/2/2424.求提示:法1.法2.法3.452021/2/24令则25.求以下积分462021/2/2426、解：原式=27、求解：原式=分部积分472021/2/24考虑与练习1.以下各题求积方法有何不同482021/2/24例28.

求解:

原式=

说明:上述方法为求有理函数积分的一般方法,有时根据被积函数结构可寻求更简便的方法.492021/2/24

例29.求解:

原式技巧502021/2/24例30

求解:

令比较同类项系数,故∴原式说明:

此技巧也适于形为的积分.令512021/2/24例31求以下积分(1)(2)提示:原式提示:原式522021/2/24(3)(4)提示：令提示：532021/2/24例32求解：原式=分析：与

以为同期，利用性质偶奇542021/2/24解例33求以下积分(1)原式=552021/2/24(2)点562021/2/24例34.解：求的无穷连续点,故I为反常积分.572021/2/24例35:解:原式=582021/2/24例36.

设非负函数且满足曲线与直线及坐标轴所围图形面积为2,(1)求函数(2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体体积最小解:当时,由方程得又592021/2/2