简单的复合函数求导法则教案

简单的复合函数求导法则教案一、教学目标1.知识与技能目标让学生理解复合函数的概念，能够准确识别复合函数的构成。熟练掌握简单复合函数的求导法则，并能运用该法则正确地对复合函数进行求导。2.过程与方法目标通过实例分析、探究推导，培养学生观察、分析、归纳和类比的能力，体会从特殊到一般的数学思维方法。在运用复合函数求导法则解题的过程中，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过对复合函数求导法则的探究，激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生勇于探索的精神。让学生体会数学的严谨性和应用价值，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点复合函数的概念及结构分析。复合函数求导法则的推导与理解。运用复合函数求导法则进行求导运算。2.教学难点复合函数的分解，准确找出中间变量。理解复合函数求导法则中各部分之间的关系，并能正确运用法则进行求导。

三、教学方法1.讲授法：讲解复合函数的概念、求导法则等基础知识，使学生对所学内容有初步的认识。2.讨论法：组织学生讨论复合函数的构成、求导法则的推导过程等问题，激发学生的思维，促进学生之间的交流与合作。3.练习法：通过大量的练习题，让学生巩固所学的复合函数求导法则，提高学生运用知识解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾求函数\(y=2x+3\)，\(y=x^2\)，\(y=\sinx\)的导数。提问：导数的几何意义和物理意义分别是什么？2.情境引入展示一个实际问题：已知一个球形气球的半径\(r\)（单位：\(cm\)）与时间\(t\)（单位：\(s\)）的函数关系为\(r=2t+1\)，求当\(t=2s\)时，气球体积\(V\)关于时间\(t\)的变化率。引导学生分析：气球体积\(V\)与半径\(r\)的关系为\(V=\frac{4}{3}\pir^3\)，这里\(V\)是\(r\)的函数，\(r\)又是\(t\)的函数，那么\(V\)就是\(t\)的复合函数。如何求\(V\)关于\(t\)的导数呢？从而引出本节课的主题简单的复合函数求导法则。

（二）讲授新课（25分钟）1.复合函数的概念（10分钟）给出几个具体的函数例子：\(y=(2x+3)^5\)\(y=\sin(2x)\)\(y=e^{x^2}\)引导学生观察这些函数的结构特点，分析它们与之前学过的简单函数的不同之处。总结复合函数的概念：一般地，对于两个函数\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)，如果通过变量\(u\)，\(y\)可以表示成\(x\)的函数，那么称这个函数为函数\(y=f(u)\)与\(u=g(x)\)的复合函数，记作\(y=f(g(x))\)，其中\(u\)叫做中间变量。进一步强调：复合函数的关键在于存在中间变量，它是由两个或多个基本函数复合而成的。让学生判断一些函数是否为复合函数，如\(y=x^2+1\)，\(y=\sqrt{x+1}\)，\(y=\log_2(x^21)\)等，并说明理由，加深对复合函数概念的理解。2.复合函数求导法则（15分钟）以\(y=(2x+3)^5\)为例进行推导。设\(u=2x+3\)，则\(y=u^5\)。先对\(y=u^5\)关于\(u\)求导，根据求导公式\((X^n)^\prime=nX^{n1}\)，可得\(y^\prime_u=5u^4\)。再对\(u=2x+3\)关于\(x\)求导，可得\(u^\prime_x=2\)。根据复合函数求导法则：\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，将\(y^\prime_u=5u^4\)，\(u^\prime_x=2\)代入可得：\(y^\prime_x=5(2x+3)^4\cdot2=10(2x+3)^4\)。总结复合函数求导法则：设函数\(y=f(g(x))\)，\(u=g(x)\)，则\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。强调：运用复合函数求导法则的关键是正确分解复合函数，找出中间变量，并分别求导，最后相乘。通过几个简单的例子，如\(y=\sin(2x)\)，\(y=e^{x^2}\)，让学生练习运用复合函数求导法则进行求导，巩固所学法则。

（三）例题讲解（20分钟）例1：求函数\(y=(3x2)^4\)的导数。解：设\(u=3x2\)，则\(y=u^4\)。先对\(y=u^4\)求导，\(y^\prime_u=4u^3\)；再对\(u=3x2\)求导，\(u^\prime_x=3\)。根据复合函数求导法则\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，可得\(y^\prime_x=4(3x2)^3\cdot3=12(3x2)^3\)。

例2：求函数\(y=\cos(x^2+1)\)的导数。解：设\(u=x^2+1\)，则\(y=\cosu\)。先对\(y=\cosu\)求导，\(y^\prime_u=\sinu\)；再对\(u=x^2+1\)求导，\(u^\prime_x=2x\)。根据复合函数求导法则\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，可得\(y^\prime_x=\sin(x^2+1)\cdot2x=2x\sin(x^2+1)\)。

例3：求函数\(y=\ln(2x+1)\)的导数。解：设\(u=2x+1\)，则\(y=\lnu\)。先对\(y=\lnu\)求导，\(y^\prime_u=\frac{1}{u}\)；再对\(u=2x+1\)求导，\(u^\prime_x=2\)。根据复合函数求导法则\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，可得\(y^\prime_x=\frac{1}{2x+1}\cdot2=\frac{2}{2x+1}\)。

在讲解例题的过程中，详细展示每一步的求解思路和依据，强调复合函数求导法则的应用步骤和注意事项，如要准确找出中间变量，求导时要正确运用求导公式等。

（四）课堂练习（15分钟）1.求下列函数的导数：\(y=(2x+5)^3\)\(y=\sin(3x\frac{\pi}{6})\)\(y=e^{2x}\)\(y=\ln(3x^2+2x)\)2.已知函数\(y=f(x)\)满足\(f^\prime(2x1)=6x1\)，求\(f^\prime(x)\)。让学生在练习本上完成这些练习题，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误，对学生普遍存在的问题进行集中讲解。通过课堂练习，进一步巩固学生对复合函数求导法则的掌握程度，提高学生运用法则进行求导运算的能力。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学的主要内容：复合函数的概念，如何判断一个函数是否为复合函数以及复合函数的构成特点。复合函数求导法则的推导过程和内容，即\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)。在运用复合函数求导法则求导时的步骤和注意事项，如正确分解复合函数、准确求导等。2.让学生分享本节课的学习收获和体会，教师进行补充和完善，强化学生对本节课重点知识的理解和记忆。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后习题中相关的练习题，如求函数\(y=(x^23x+2)^3\)，\(y=\cos(2x+1)\)，\(y=e^{x^3}\)等函数的导数。2.拓展作业：思考如何求更复杂的复合函数的导数，例如\(y=\sin^2(2x+1)\)，\(y=\ln(\sqrt{x^2+1})\)等，并尝试进行求解。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对复合函数的概念和求导法则有了初步的理解和掌握。在教学过程中，采用了多种教学方法相结合，如讲授法、讨论法和练习法等，引导学生积极参与课堂活动，培养了学生的思维能力和运算能力。

在导入新课时，通过实际问题情境引入，激发了学生的学习兴趣，但在引导学生分析问题时，可以更加深入一些，让学生更充分地体会复合函数在实际中的应用。在讲解复合函数求导法则的推导过程时，虽然通过具体例子进行了详