二面角的求法教学设计

二面角的求法教学设计一、教学目标1.知识与技能目标让学生系统回顾二面角的概念，能准确找出二面角的平面角。熟练掌握求二面角大小的常用方法，如定义法、三垂线法、向量法等，并能根据题目条件选择合适的方法求解二面角。2.过程与方法目标通过典型例题的分析与讲解，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。引导学生总结归纳求二面角的方法，培养学生的归纳总结能力和知识迁移能力。3.情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。让学生体会数学的严谨性和科学性，增强学生学好数学的信心。

二、教学重难点1.教学重点二面角平面角的概念及常见求法。如何根据题目条件灵活选择合适的方法求二面角。2.教学难点二面角平面角的找法，特别是在复杂图形中准确找出二面角的平面角。向量法中平面法向量的求解及二面角与法向量夹角之间的关系。

三、教学方法1.讲授法：系统讲解二面角的概念、求法等基础知识，使学生形成清晰的知识框架。2.讨论法：组织学生讨论典型例题的解法，鼓励学生积极思考、发表见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.练习法：通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入（5分钟）1.展示一些含有二面角的实际生活图片，如建筑物的墙面与地面的夹角、打开的书本的两个页面的夹角等，引导学生观察并思考这些夹角在数学中的表示二面角。2.提问学生二面角的相关概念，如什么是二面角、二面角的平面角等，回顾旧知，为新课的学习做好铺垫。

（二）知识回顾（10分钟）1.二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。记作：二面角αlβ或二面角PABQ等。2.二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

强调二面角平面角的三个要素：顶点在棱上。两条边分别在两个半平面内。两条边都与棱垂直。

（三）求法讲解（25分钟）1.定义法例1：如图，已知三棱锥ABCD的各棱长均为2，求二面角ABCD的大小。分析：取BC的中点E，连接AE、DE。因为三棱锥各棱长均为2，所以△ABC和△DBC都是等边三角形，则AE⊥BC，DE⊥BC。所以∠AED就是二面角ABCD的平面角。求解：在等边三角形ABC中，AE=DE=\(\sqrt{3}\)，又AD=2，根据余弦定理\(\cos\angleAED=\frac{AE^{2}+DE^{2}AD^{2}}{2\cdotAE\cdotDE}=\frac{3+34}{2\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\)，所以\(\angleAED=\arccos\frac{1}{3}\)，即二面角ABCD的大小为\(\arccos\frac{1}{3}\)。总结：定义法求二面角的步骤：找出二面角的棱。在两个半平面内找（作）出垂直于棱的射线。确定二面角的平面角。求解平面角。

2.三垂线法例2：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，求二面角BPCD的大小。分析：过B作BE⊥PC于E，连接DE。因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥PB。由PA=AB，可得PB=\(\sqrt{2}\)AB。在Rt△PBC中，利用等面积法可求得BE的长度。又因为BC=CD，PB=PD，所以△PBC≌△PDC，则DE⊥PC，所以∠BED就是二面角BPCD的平面角。求解：设PA=AB=1，则PB=\(\sqrt{2}\)，BC=1，PC=\(\sqrt{3}\)。由\(\frac{1}{2}PB\cdotBC=\frac{1}{2}PC\cdotBE\)，可得BE=\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)。同理可得DE=\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)。在△BDE中，BD=\(\sqrt{2}\)，根据余弦定理\(\cos\angleBED=\frac{BE^{2}+DE^{2}BD^{2}}{2\cdotBE\cdotDE}=\frac{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}2}{2\times\frac{\sqrt{6}}{3}\times\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{1}{2}\)，所以\(\angleBED=120^{\circ}\)，即二面角BPCD的大小为\(120^{\circ}\)。总结：三垂线法求二面角的步骤：确定二面角的一个半平面α及其中的一条直线a。过另一个半平面β内一点A作直线a的垂线AB，垂足为B。过点B作棱l的垂线BC，垂足为C，连接AC，则∠ABC就是二面角的平面角或其补角。求解平面角。

3.向量法例3：如图，在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，棱长为1，求二面角A₁BDC₁的大小。分析：以D为原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系。则\(\overrightarrow{DB}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{DA_{1}}=(1,0,1)\)，\(\overrightarrow{DC_{1}}=(0,1,1)\)。设平面A₁BD的法向量为\(\overrightarrow{n_{1}}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，平面C₁BD的法向量为\(\overrightarrow{n_{2}}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)。由\(\begin{cases}\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{DB}=0\\\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{DA_{1}}=0\end{cases}\)，可得\(\begin{cases}x_{1}+y_{1}=0\\x_{1}+z_{1}=0\end{cases}\)，令\(x_{1}=1\)，则\(y_{1}=1\)，\(z_{1}=1\)，所以\(\overrightarrow{n_{1}}=(1,1,1)\)。由\(\begin{cases}\overrightarrow{n_{2}}\cdot\overrightarrow{DB}=0\\\overrightarrow{n_{2}}\cdot\overrightarrow{DC_{1}}=0\end{cases}\)，可得\(\begin{cases}x_{2}+y_{2}=0\\y_{2}+z_{2}=0\end{cases}\)，令\(x_{2}=1\)，则\(y_{2}=1\)，\(z_{2}=1\)，所以\(\overrightarrow{n_{2}}=(1,1,1)\)。求解：设二面角A₁BDC₁的大小为θ，根据向量法求二面角公式\(\cos\theta=\vert\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{\vert\overrightarrow{n_{1}}\vert\vert\overrightarrow{n_{2}}\vert}\vert\)，\(\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}=1\times1+(1)\times(1)+(1)\times1=1\)，\(\vert\overrightarrow{n_{1}}\vert=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\)，\(\vert\overrightarrow{n_{2}}\vert=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\)，则\(\cos\theta=\vert\frac{1}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\vert=\frac{1}{3}\)，所以\(\theta=\arccos\frac{1}{3}\)。总结：向量法求二面角的步骤：建立空间直角坐标系。求出两个半平面的法向量\(\overrightarrow{n_{1}}\)、\(\overrightarrow{n_{2}}\)。计算\(\cos\theta=\vert\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{\vert\overrightarrow{n_{1}}\vert\vert\overrightarrow{n_{2}}\vert}\vert\)，其中θ为二面角的大小或其补角。根据计算结果确定二面角的大小。

（四）课堂练习（15分钟）1.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC，求二面角ADEP的大小。2.已知正三棱柱ABCA₁B₁C₁的各棱长都为1，M是底面BC边的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN=\(\frac{1}{4}\)CC₁，求二面角B₁AMN的大小。3.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M。求二面角ABMC的大小。

学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误，解答学生的疑问。练习结束后，选取部分学生上台展示解题过程，教师进行点评，强调解题的关键步骤和注意事项。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括二面角的定义、平面角的概念以及求二面角的三种常见方法（定义法、三垂线法、向量法）。2.请学生总结每种方法的适用条件和求解步骤，强调在解题过程中如何根据题目条件灵活选择合适的方法。3.鼓励学生在今后的学习中多做练习，熟练掌握求二面角的方法，提高空间想象能力和逻辑思维能力。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后习题中与二面角相关的练习题。2.拓展作业：如图，在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，D是棱CC₁上的一点，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点，且PB₁∥平面BDA₁。求二面角AA₁DB的大小。已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点。求二面角NBMC的大小。