三年级数学思维训练(上)

三年级数学思维拓展教学设计

教学目标:1、培养学生读题，理解题意的能力。

2、经过充分的分析和思考，运用基础知识以及自己的聪明才智巧妙地

解决问题，并完整口述思路。

3、体会数学趣题在解决生活实际中的作用。（拓展）

4、营造民主、愉悦的学习氛围，探求问题特征与解答方法。（情感）

活动重点：在理解题意的基础上巧妙解决问题。

活动难点：准确理解题意，充分分析和思考。

活动准备:课件

活动过程：

一、激趣导入

3个同学同时唱一首歌要3分钟,100个小朋友同时唱这首歌要几分钟

呢？

生活中常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的问题，一般不需要较复

杂的计算，也不能用常规方法来解决，而常常需要孩子们的灵感、技巧和机

智获得答案。板书：数学趣题

对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用

基础知识以及自己的聪明才智巧妙地解决。

二、探究趣题

1、学习例1:一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大f,30天能长

到20厘米。问长到5厘米时要用多少天?

Q）自己读题、思考

（2）学生汇报、理清思路

板书：每天长大一倍说明第二天的身长是第一天身长的2倍。

⑶列式20+2+2=5（厘米）30-1-1=28（天）

（4）第27天的身长是多少厘米？怎样解决呢？

2、练习

(1)、有一个池塘中的睡莲，每天长大f,经过10天可以把整个池塘

全部遮住，问睡莲要遮住半个池塘需要多少天？

学生独立完成再订正

(2)、一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大T音,20天能长到36厘米,

问长到9厘米时要用几天？

(3)、一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大T音,15天能长到4厘米。

问要长到32厘米共要多少天？

学生独立完成再订正

3、学习例2:小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一

堆中最多可放几条鱼？

Q)自己读题、思考〃最多的一堆中最多可放几条鱼"是什么意思？

(2)学生汇报、理清思路

板书：最多的一堆中最多可放几条鱼，那么另外几堆就放最少的鱼。

⑶列式15-123=9（条）

⑷如果要把15条鱼分成数量不相等的5堆呢？怎样解决？

4、练习

(1)、小明要把20颗珠子分成数量不等的5堆，问最多的一堆中最多可

放几颗珠子？

(2)、老师为共有18人的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的5队,

问最多的一队最多可排几人？

(3)、兔妈妈拿来1盘萝卜共25个，分给4只小兔,要使每只小兔分

得个数都不同。问分得最多的一只小兔最多分得几个？

三、课堂总结

一读题二分析三解决四检验

第一讲和倍问题

(一)知识要点

和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题。此

类题我们常采用画线段图的方法解答。

解答此类题首先要找倍数关系，通过倍数关系画出线段图，然后在图上根据题意

标出俩个数的倍数与俩个数的和。于是根据图产生这样的思路：相对小的数自己是自

己的一倍，而相对大的数是相对小的数的几倍，当然俩个数相等时这个几就是1),

那么就有大数和小数的和就是小数的儿+1倍，又因为大数和小数的和已知，于是这

个题就变成了一个简单的，已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单

除法题。从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数，我们简称为1倍数.

（二）例题选讲

例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图

书多少本？

［精妙解答］

3偌>160$

甲班<~『——

?本

1604-（3+1）=40（本）------作为一倍数的乙班的

40X3=120（本）----------根据题意关系求的甲班的

或者：160-40=120（本

答：甲班有图书120本，乙班有图书40本

例2甲、乙两辆汽车在相距360T米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇。

已知甲车的速度是乙车速度的2倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？

［精彩思路］

已知甲车速度是乙车速度的2倍，所以“1倍”数是乙车的速度。现只需知道甲、乙

汽车的速度和，就可用“和倍公式”了。由题意知两辆车2时共行360千米，故1

时共行360+2=180（千米），这就是两辆车的速度和。

［精妙解答］

乙车的速度为

（3604-2）4-（24-1）=60（千米/时）,

甲车的速度为

60X2=20（千米/时）,或180-60=120（千米/时）。

答：甲车每时行120千米，乙车每时行60千米。

从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数（即小数）是谁，

“和”是谁。例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显，其中例2中虽未直接给出

“和”，但也很容易求出。下面我们讲儿个“1倍”数天太明显的例子。

例3甲队有45人，乙队有75人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队

人数的3倍？

［精彩思路］

容易求得“二数之和”为45+75=120（人）。如果从“乙队人数才是甲队人数的3

倍”推出“1倍”数（即小数）是“甲队人数”那就错了，从75不是45的3倍也知是

借的。这个“1倍”数是谁？根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是

调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3

倍。由此画出线段图如下：

(45+75)就是甲队剩下人数的3+1=4(倍)。从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1

倍”数。由和倍公式可以求解.

［精妙解答］

甲队调动后剩下的人数为

(45+75)4-(3+1)=30(人)，故中队调入乙队的人数为45-30=15(人)。

答：甲队要调15人到乙队。

例4妹妹有书24本，哥哥有书53本。要使哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹

应给哥哥多少本书？

仿照例3的分析可得如下解法。

［精妙解答］

兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩卜.图书的(6+1)倍，根据和借公式，妹妹

剩下

(53+24)+(6+1)=11(本)。故妹妹给哥哥书24-11=13(本)。

答：妹妹给哥哥书13本。

例5大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白

兔20个，而小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问：原

来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？

［精彩思路及解答］

这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是160,而

是160—20+10=150,“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。线

段图如下：

10个

小灰兔

20个

大灰兔

5倍

根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇（即“1倍”数）

（160-20+10）4-（5+1）=25（个）,

故小灰兔原有蘑菇25To=15（个），大白兔原有蘑菇

160-15=145（个）。

答：原来大白兔采蘑菇145个，小灰兔采15个。

练习

［初试牛刀］

1.小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍。小敏和她爸爸的

年龄各是多少岁？

2.•肉店卖出猪肉和牛肉共560千克，卖出的猪肉是卖出的牛肉的4倍。猪、牛

肉各卖了多少千克？

3.甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲

桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙两桶原有汽油各多少T克？

［挑战自我］

1.甲、乙两人共生产零件100个，其中甲有2个零件、乙有5个零件不合格。已

知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。甲、乙各生产了多少个零件？

2.团结村原有水田290公顷，旱田170公顷。要把多少公顷旱田改为水田，才能

使水田的公顷数比旱田的公顷数多2倍？

3.红星小学图书馆内，科技书是故事书的3倍，连环画书又是科技书的2倍。己

知这三种书共有1600本，那么每种书各有多少本？

第二讲还原问题

（三）知识要点

对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是,

如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回

算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这

种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。

（四）例题选讲

例1有一个数，把它乘以4以后减去46,再把所得的差除以3,然后减去10,最后

得4。问：这个数是几？

［精彩思路］

这个问题是由（口乂4-46）4-3—10=4,

求出口。我们倒着看，如果除以3以后不减去10,那么商应该是4+10=14；如

果在减去46以后不除以3,那么差该是14X3=42；可知这个数乘以4后的积为42

+46=88,因此这个数是88・4=22。

［精妙解答］

［（4+10）X3+46］+4=22。

答：这个数是22。

例2小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9,把十位上的8看成了

3,结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？

［精彩思路］

利用还原法。因为把个位上的5看成9,所以多加了4；又因为把十位上的8看

成3,所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。

［精妙解答］

123-4+50=169o

答：正确的结果应是169,

例3学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢

欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐

乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？

［精彩思路］

先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数

是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36+（2+1）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12X2

=24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树

苗24-6=18（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐

就有18+10=28（棵）。

［精妙解答］

36+5（1+2）X2-6+10=28（棵）。

答：乐乐最初拿了28棵树苗。

例4甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，

结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？

［精彩思路及解答］

尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最

后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90+3=30（木）。根据题目条

件，原来各组的图书为

甲组有30+3=33（本），

乙组有30—3+5=32（本），

丙组有30—5=25（本）。

例5、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10

米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？

［精彩思路］

由逆推法知，第二次用完还剩下15+7=22（米），第一次用完还剩下（22—10）

X2=24（米），原来电线长（24+3）X2=54（米）。

［精妙解答］

L（15+7—10）X2+3］X2=54（米）。

答：这捆电线原有54米。

练习

［初试牛刀］

1.某数加上11,减去12,乘以13,除以14,其结果等于26,这个数是多少？

2.某数加上6,乘以6,减去6,其结果等于36,求这个数。

3.在125XD+3X8—1=1999中，口内应填入什么数？

4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4,再减去6之后，乘以10,恰好是

100o问：小乐爷爷今年多少岁？

［挑战自我］

1.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半少

7吨，还剩4吨。问：粮库里原有面粉多少吨？

2.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一

个，这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？

3.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还

多10元，这时存折上还剩125元。问：此人原有存款多少元？

第三讲巧求长方形、正方形的周长

（一）知识要点

我们知道：长方形、正方形的公式看起来十分简单，但用途却十分广泛。用它们可

以解决许多直角多边形（所有的角都是直角的多边形）的周长问题。这是因为直角多边

形总可以分割成若干个正方形或长方形。

下面的图形都可以分割成若干个正方形或长方形，当然分割的方法不是唯一的。

由此，可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长计算公式的题目。

(二)例题选讲

例1一个苗圃园(如左下图)，周边和中间有一些路供人行走(图中线段表示

“路”)，几个小朋友在里面观赏时发现：从A处出发，在速度一样的情况下，只要

是按“向右”、“向上”方向走，几个人分头走不同的路线，总会同时达到B处。你

知道其中的道理吗？

0

AAcD

分析与解：如右上图所示，将各个交点标上字母。由A处到B处，按“向右”、“向

上”方向走，只有下面六条路线：

(DA-C-D-E-B；

(2)A-C-0fE-B；

(3)A-C-0-F—B；

(4)A-*H-*G-*F-*B；

(5)A-*H-*0-*E-*B；

(6)A->H-*0->F->Bo

因为A-C与H-0,G-F的路程一样长，所以可以把它们都换成A-C；同理，

将0-E,F-B都换成C-*D；将A-H,C-0都换成D-E；将H-G,0-F都换成E-B。

这样换过之后，就得到六条路线的长度都与第(1)条路线相同，而第(D条路线的长

“AD+DB”就是长方形的“长+宽”,也就是说，每条路线的长度都是“长+宽”。路

程、速度都相同，当然到达B处的时间就相同了。

例2计算下列图形的周长(单位：厘米)。

解：(1)将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见左下图)，这

样正好移补成一个正方形，所以它的周长为25X4=100(厘米)o

(2)与⑴类似，可以移补成一个长方形，周长为

(10+15)X2=50(厘米)。［

例3求下面两个图形的周长(单位：厘米)。

解：⑴与例2类似，可以移补成一个长(15+10+15)厘米、宽(12+20)厘米的

长方形，所以周长为

(15+10+15)X2+(12+20)X2=144(厘米)。

(2)设想先把长20厘米的线段向上平移到两条长15厘米的线段中间，构成一个

长60座米，宽(15+20+15)厘米的长方形，此时，还有两条长35厘米的竖线段。所

以周长为

60X2+(15+20+15)X2+35X2=290(厘米)。

例4在一张纸上画出由四个边长为3厘米的正方形拼凑或组合成的图形(重叠的

线段只算画•次)。显然，这个图形有多种多样的画法，下列各图是其中的一部分画

法。在所有的这些画法中，

(1)哪种画法画出的线段总长最长？有多长？

(2)哪种画法画出的线段总长最短？有多长？

□□口口田出口

□□m

分析与解：画的线段重叠部分越少，画的线段就越长。反之，重叠部分越多，画的线

段就越短。因此，类似图1那样画的线条最长，共画了

3X4X4=48（厘米）。

右图画的线条最短，共画了

（3+3）X6=36（厘米）。

田

例5下图是一个方形螺线。已知两相邻平行线之间的距离均为1厘米，求螺线的

总长度。

分析与解：如

左下图所示，按箭头方向转动虚线部分，于是得到了三个边长分别为3,5,7

厘米的正方形和中间一个三边图形（见右下图）。所以螺线总长度为

（3+5+7）X4+IX3=63（厘米）。

1.试求左下图的周长（单位：厘米）。

5

rn%

~I7

2.上页右下图是山边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形。试求出其周长。

3.右图是某小学教学楼的平面示意图，设计者在图上只标明了三条线段的长度（单位:

米）。请你算出它的周长。

50

28

--16

4.下图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形。求这

个图形的周长。

3

5I

5.下面两图中的小方格的大小相同。图（1）的周长为48厘米，图⑵的周长等于多少？

（1）（2）

6.如右图所示，一个正方形被分成了三个相同的长方形。如果其中一个长方形的周长

是16米，那么这个正方形的周长是多少米？

（四1___4

1、移动成长3+5+4、宽6+7的长方形，所以周长=（12+13）*2=50

2、移动成5+1的长方形，没有宽、长为4的长方形，再加上4段边。

（5+1）*2+2*4+4=24

3、移动成长50、宽28+16的长方形，所以周长二（50+28+16）*2=188

4、移动成长4*3+5*3、宽5的长方形，再加上6个（5-3）

所以（12+15+5）*2+6*2=76

5、图一移动成长5宽3的长方形,周长段为（5+3）*2=16,周长为48,每段为48/16=3,

图二移动后为（7+1）*2+4=20,每段为3,共60。

6、把长方形的宽看作一份，长为3份。一个长方形的周长是8份，8份是16,1份

是2,3份是6,正方形的周长是6*4=24

第四讲图形计数

（五）知识要点

小朋友，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角

形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。要正

确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是

什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。

（六）例题选讲

例题1数出下面图中有多少条线段？

ABCD

［精彩思路］

我们可以采用以线段左端点分数数的方法，我们还可以把图中线段AB、BC、CD

看作基本线段来数，

［精妙解答］

采用以线段左端点分数数的方法。

以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD共3条；

以B点为左端点的线段有：BC、BD共2条；

以C点为左端点的线段有：CD共1条。

所以，图中共有线段3+2+1=6条。

我们还可以这样想：把图中线段AB、BC、CD看作基本线段来数，那么：

由1条基本线段构成的线段：AB、BC、CD共3条；

山2条基本线段构成的线段：AC、BD共2条；

由3条基本线段构成的线段：AD只1条。

所以，图中共有3+2+F6条线段。

例题2数出下图中有几个角。

D

［精彩思路］

数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。

［精妙解答］

以A0为一边的角有：ZAOB.ZAOC>NAOD三个；

以B0为一边的角有：NBOC、NBOD两个；

以CO为一边的角有：NC0D一个。

所以图中共有3+2+1=6个角。

小朋友，如果把图中/AOB、NBOC、ZC0D看作基本角，那应该怎样数呢？动

动脑筋。

例题3数出下面图中共有多少个三角形。

［精彩思路］

数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数，还可以数出图中三角形的个

数，只需数出aABE的底边中包含几条线段就可以了。

［精妙解答］

数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。

以AB为边的三角形有：AABC.AABD>ZXABE三个：

以AC为边的三角形有：Z\ACD、Z\ACE二个；

以AD为边的三角形有：4ADE一个。

所以图中共有三角形3+24-1=6个。

我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出AABE的底边中包含几条线

段就可以了，即3+2+1=6条。所以图中共有6个三角形。

例题4数出下图中有多少个长方形。

［精彩思路］

数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长宽两对线段围

成，线段CD上有3+2+1=6备线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长

方形的长和宽，这里共有6X1=6个长方形；而AC上共2+1=3条线段也就有6X3=18

个长方形。

［精妙解答］

长方形的总数二长边线段的总数X宽边线段的总数

6X3=18（个）长方形

例题5有10个小朋友，每2个人照一张合影，一共要照多少张

［精彩思路］

这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个点代表一

个小朋友：

12345678910

从图上可以看出，第1个小朋友要与其余9个小朋友合影，要照9张照片；第2

个小朋友还要与其余8个小朋友合影，再照8张照片……以此类推，第9个小朋友只

要再与1个小朋友合影，再照1张照片。

［精妙解答］

一共要照9+8+7+6+5+4+3+2+1=45张照片。

练习

［初试牛刀］

1,数出下图中各有多少条线段？

(1)ABCDE

（2）ABCDEF

2,数出下图中有儿个角。

0

3、数出下面图中共有多少个三角形。

4、数出下图中有多少个长方形。

［挑战自我］

1,三年级有6个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？

2,有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的

扎法？

3,有1——6六个数字，能组成多少个不同的两位数?

［参考答案］

［初试牛刀］

1、（1）4+3+2+1=10（条）

（2）5+4+3+2+1=15（条）

2、1+2+3=6（条）

3、（1）1+2=3（个）

⑵1+2+3+4=10（个）

4、⑴（1+2+3+4）X（1+2）=30（个）

⑵（1+2+3+4）X（1+2+3）=60（个）

［挑战自我］

1、假设班号为①、②、③、④、⑤、⑥。

①班和其他班比赛的场次是：①②、①③、①©、①⑥，5场；

②班因为已经和①班比赛过，不能重复计算，还可以比赛的场次是：②©、②④、②⑤、

②4场；

同理，③班还可以比赛的场次是：③④、③©、（3X6）,3场；

同理，④班还可以比赛的场次是：④⑤、④©,2场；

同理，⑤班还可以比赛的场次是：⑤⑥，1场

共计：5+4+3+2+1=15（次）

2、可以扎的方法：红黄、红蓝、红白、黄蓝、黄白、黄、蓝白。

共计:3+2+1=6（种）

3、1可以和其他5个数组成£种：12、13、14、15、16：

2可以和其他4个数组成4种:23、24、25、26；

3可以和其他3个数组成3种:34、35、36；

4可以和其他2个数组成2种：45、46；

5可以和其他1个数组成1种:56。

与前面题目类型不同的是，这两个数可以颠倒，比如1、2,可以组成12或者21。

比题共有：（5+4+3+2+1）X2=30（种）

第五讲和差问题

（一）知识要点

和差问题是小学数学常见的一种应用题，它在口常生活中应用很广泛，解题的关键在

于找出题目中的和与差，再利用以下的数量关系式去解答，就显得容易了。

（和+差）+2=较大的数：（和一差）+2=较少的数

或和一较大的数=较少的数；和一较少的数=较大的数

（二）例题选讲

例1两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？

［精彩思路］

分析这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150+8=158

（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8=142（千克）.

咬

第一筐：1_T力］

?千克＞“50千克

第二座:k/J

?千克

［精妙解答］

解法1:①第二筐重多少千克？

（150-8）*2=71（千克）

②第一筐重多少千克？

解法2：①第一筐重多少千克？

（150+8）+2=79（千克）

②第二筐重多少千克？

79-8=71（千克）

或150-79=71（千克）

例2今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？

［精妙思路］

35-7岁

爸爸：I~1、

?岁

分析题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是己知两人今年的年龄，那

么今年两人的年龄差是35-7二28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不

变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题

思路就能解此题。

［精妙解答］

解：①爸爸的年龄：

［58+（35-7）］+2

二［58+28］+2

二86+2

二431岁）

②小强的年龄：

58-43=15（岁）

答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。

例3小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语

文和数学各得了几分？

［精彩思路］

分析解和差问题的关缝就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差

是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科

的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.

除语文〈.~~1

府’？分?（94X2）6+

94数学'一,广^J

?分

②数学得多少分？

（188+8）+2=196+2=98（分）

例4甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名

同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？

［精彩思路］

分析这样想：甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32

人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多32X2+48=112

（人）.112是两校人数差。

［精妙解答］

32X2+48（人）

甲校：（匕-）］

乙校：一^?人跄4人

?人J

解：①乙校原有的学生：

（864-32X2-48）+2=376（人）

②甲校原有学生：

864-376=488（人）

答：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。

小结：从以上4个例题可以看出题目给的条件虽然不同，但是解题思路和

解题方法是一致的.和差问题的一般解题规律是：

（和+差）-2二较大数较大数矍二较小数

或（和建）一2二较小数较小数+差二较大数

也可以求出一个数后，用和减去这个数得到另一个数.

下面找们用和差问题的思路来解答一个数学问题。

例5在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。

123456789二5

［精妙思路］

分析这样想：从1至9这几个数字相加是不会得到5的，只能从一部分数字

相加再减去一部分字后差是5,也就是说1到9的和是45,而两部分的差是5,先

要求出这两部分数字，利用和差问题的方法便可以求出。

（45-5）+2=20,20+5=25

可求出其中几个数的和是25,而另外几个数的和是20.在组成和是25的几

个数前面添上号，而在组成和是20的几个数前面添上“-”号，此题就算

出来了O

［精妙解答］

例如，5+6+9=20可得到,

1+2+3+4-5-64-7+8-9=5

又如:5+7+8=20可得到。

1+2+3+4-5+6-7-8+9=5

又如：3+4+6+7=20可得到。

1+2-3-44-5-6-7+8+9=5

同学们，这道题你还有其他解法吗？试试看！

练习

［初试牛刀］

1、学校做扫除，张娟和陈芳一共擦玻璃31块，乂知张娟比陈芳少擦9块，张娟、陈

芳各擦玻璃多少块？

2、小兰期末考试时语文和数学平均分是96分，数学比语文多4分，问小兰语文多少

分？数学多少分？

3、今年弟弟16岁，哥哥20岁，当两人的年龄和是52时，弟弟多少岁。

4、一个两位数由两个数字组成，两个数字之和是8,两个数字之差是2,这个数是

多少？

［挑战自我］

1、甲框里有苹果30千克，乙框里有桔子若干千克，如果从乙框里取出12千克桔

子，苹果就比桔子多10千克，乙框原有桔子多少千克。

2、甲乙两船共载客623人，若甲船增加34人，乙船少57人，这时两船乘客同样多，

甲船原来有乘客多少人。

3、无线电厂、二厂共有工人864人，为了照顾工人就近上班，从一厂调入二厂32

名工人，这样一厂工人数还比二厂多48,一厂、二厂原来各有工人多少人？

4、一部书有上、中、下三册，上册比中册贵5角，中册比下册贵7角，这样的四部

书共值340角，上、中、下册多少角？

5、两筐苹果共重90千克，如果从第一框中取出6千克，放入第二筐后，两筐的重量

相等，两筐苹果原来各多少千克？

6、两个水桶共盛水50千克，如果把第一桶里的水倒巴6千克，两个水桶的水就一

样多了。第一桶原盛水多少千克？

［参考答案］

［初试牛刀］

1、陈芳；（31+9）4-2=20（块）张娟；20—9=11块

2、数学（96X2+4）=98分语文98—4=94分

3、弟弟【52-(20-16)］?2=24岁

4、(8+2)4-2=55-2=3

［挑战自我］

1、30-10+12=32千克

2(623+34-57)4-2=266

3、一厂；(864+48)+2+32=488人

二厂；864-488=376人

4、上：(342+5+5+7)+3=119角

中；119-5=114角

下；114一7=107角

5、90+2—6=39(千克)90-39=51(千克)

答；第一筐有51千克，第二筐有39千克

6、(50-6)4-2=22(千克；50-22=28(千克)

答；第一桶原盛水28千克。

第六讲余数问题

（七）知识要点

在三年级上期的学生开始初步接触有余数的除法，知道了余数必须比除数小，余

数是余下的不能够再分（整数）的数。尽管学生初次接触，但余数这个概念在数学上

有着非常重要的地位，故在此进行一些拓展。这里，主要介绍一些在整数范围内的余

数问题。

1、利用直观体验的方法，使学生会观察、学会深入思考问题，从中领悟如何利

用余数解决一些有关余数的实际问题，提高学生学习的能力，激发学生进一步学习数

学的兴趣。

2、弄清一些数量关系：被除数+除数=商……余数；商X除数十余数=被除数;

进一步弄清余数的两个性质：两个数相除，余数一定小于除数；两个数相除，若除数

是a,那么，余数就有（a—1）种可能。

（A）例题选讲

例1、如图：…，那么，

⑴第13个图是什么形？

⑵第115个图是什么形？

［精彩思路］

通过观察可以看出这些图形的排列是有规律的，按照“△OO”一组，不断的在

重复出现。

第一小题，可以让学生根据自己观察到的规律，自己接着往后面画，就能够得出

第13个图形是什么图形了。

第二小题，学生根据观察的规律，如果再往后边画，到第115个图形，显然有些

复杂，很花费时间。此时，再引导学生观察这样的一组“△OO”有3个图形，13

里面最多能够有这样的几组？还剩下几个？学生很直观观察到了其结果。进一步引导

用算式表示，并说出算式与图形之间的内在联系。用这样的思维来解决第二小题，从

而提升学生解决问题的能力，并锻炼了其思维。

［精妙解答］

因为，是按照这样“△O。”3个为一•组在不断的重复。

1154-3=38（组）...1（个）

所以，笫115个图形应该是

例2、一段路上的树，按2棵桑树，3棵槐树，4棵柏树的顺序栽种，第50棵树是什

么树？

［精彩思路］

学生按照2棵桑树，3棵槐树，4棵柏树的顺序画图，不难发现其中的规律按是2

棵桑树，3棵槐树，4棵柏树为一组在不断地重复，故可以按照有余数的问题的思维

来解决。

［精妙解答］

因为按2棵桑树，3棵槐树，4棵柏树为一组在不断地重复，

50+9=4（组）……5（棵）

所以，第50棵树是槐树。

例3、今天是星期一，从今天算起第100天是星期几？

［精彩思路］

今天是星期一，求第130天是星期儿，因为今天已经算第1天，实际上从明天算

起第99天是星期几就是本题的解。

［精妙解答］

994-7=14（周）……1（天）

99天共有14个星期又1天，今天是星期一，过14个星期还是星期一，再过一

天就是星期二。

例4、有同样大小的红、黄、蓝三色珠子共360个，按先3个红色珠子，再2个黄色

珠子，再4个蓝色珠子排列。三色珠子各是多少个？

［精彩思路］

按先3个红色珠子，再2个黄色珠子，再4个蓝色珠子排列，一个循环就是9（4

+2+3=9）,在360个珠子里包含有360+9=40（个）循环（循环也称为周期）。以求

黄珠子为例，每个周期里有2个黄色珠子，共40个周期，因此2X40=80（个），同

理可求红珠子和蓝珠子的个数。

［精妙解答］

3604-（4+2+3）=40（个）

3X40=120（个）；2X40=80（个）；4X40=160（个）

例5、2008个学生按照下列的方法编号排列：

ABCDE

12345

9876

10111213

171G1514

18192021

25242322

那么，最后一名学生应该排在第几列？

［精彩思路］

仔细观察排列规律，除「5以外，从第二行开始8个数按一个循环依次不断地重

复排列，每个循环的第一个数排列在D的后面。如果2008名学生先去掉5名，还剩

下2008—5=2003（名）学生，把2003名学生按每8个一组，20034-8=250（组）...

3（名），从而得到所求的解。

［精妙解答］

（2008-5）4-8=250（组）...3（名）

所以，最后一名学生应该排在B歹人

练习

［初试牛刀］

1、如图：on□△△△on……那么

①第38个图是什么形？②第121个图是什么形？③第60个图是什么

形？

2、学校插彩旗，按照2面红旗，1面蓝旗，4面黄旗的顺序插旗子，这样第82的面

是什么旗子？

3、有一堆围棋，按“二白三黑”的顺序排列，那么第31个是白子还是黑子？

4、国庆节挂灯，按“红、黄、红、蓝、绿”的顺序挂，一共挂了100盏，这些灯各

有多少盏？

5、今年六月一日是星期三，那么今年八月一日是星期几?

6、下面有一列数:1、3、5、1、3、5、1、3、5........

①笫32个数是儿？

②这32个数的和是多少？

7、1993年9月1日是星期三，

①再过58日是星期几？

②那年的10月15日是星期几？

［挑战自我］

1、某年的9月1日是星期三，问该年的4月1日是星期几?

2、今年的1月1日是星期四，问今年的5月1日是星期儿?

3、某年的卜月里有五个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？

［参考答案］

［初试牛刀］

1、①38+6=6（组）……2（个），第38个图是□形。

②121+6=20（组）……1（个），第121个图是。形。

③60+6:10（组），第60个图是△形。

2、824-（2+1+4）=11（组）……5（面）

所以，这样第82的面是黄旗子。

3、314-（2+3）=6（组）……1（个）

所以，第31个是白子。

4、国庆节挂灯，按“红、黄、红、蓝、绿”的顺序挂，一共挂了100盏，这些灯各

有多少盏？

1004-5=20（组）

2X20=40（盏），1X20=20（盏）

所以，红灯有40盏，黄、红、蓝、绿各有20盏。

5、（29+31+1）+7=8（周）……5（天）

那么今年八月一日是星期一。

6、①32+3=10（组）……2（个）第32个数是3。

②（1+3+5）X10+1+3=94.所以这32个数的和是94。

7、1993年9月1日是星期三，

①58+7=8（周）……2（天），所以再过58日是星期五,

②（29+15）+7=6（周）……2（天）那么，那年的10月15日是星期五。

［挑战自我］

1、（29+31+30+31+31+1）+7=21（周）……5（天），那么该年的4月1日是星期五。

2、今年是2009年，是平年，所以二月只有28天。

（30+28+31+30+1）4-7=17（周）...1（天）,那么，今年的5月1日是星期五。

3、这年的10月1日是星期三。

第七讲竖式数字谜

(一)知识要点

在竖式中，有一些待定的数字，如何根据运算法则和式子的结构特征，通

过掌握数的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、分析，灵活运用运算法

则和整数的性质，找出解题的“突破口”，把待定的数字确定出来，使原式成

立。这里我们所用的数字都为整数中的数字。

(二)例题选讲

例1在下面的竖式中，A,B,C,D各代表什么数字？

7A6

+B49

D23C

【精彩思路】：显然，05,D=1(因两个数字之和只能进一位)。

由于A十4+1即A十5的个位数为3,且必进一位(因为4>3),

【精妙解答】C=5,D=1

A+5=13,从而A=13-5=8。

同理，由7+B+l=12,即B+8=12,得到B=12-8=4。

故所求的A=8,B=4,C=5,D=lo

例2求卜.面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和：

()()()()

+()()+()()

149195

【精彩思路】：(1)由于和的个位数字是9,两个加数的个位数字之和不大于9

+9=18,所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。(这是“突

破口”)

再由两个加数的个位数之和未进位，因而两个加数的十位数字之和就是14。

故这两个加数的四个数字之和是9+14=23。

(2)由于和的最高两位数是19,而任何两个一位数相加的和都不超过18,因此,

两个加数的个位数相加后必进一位。(这是“突破口”，与(1)不同)

这样，两个加数的个位数字相加之和是15,十位数字相加之和是18o

所求的两个加数的四个数字之和是15+18=33。

注意：（1）（2）两题虽然题型相同，但两题的“突破口”不同。（1）是从和的个

位着手分析，（2）是从和的最高两位着手分析。

例3在下面的竖式中，A,B,C,D,E各代表什么数？

ABCD

+EBED

EBCAD

［精彩思路］

由于四位数加上四位数其和为五位数，所以可以确定和的首位数字E=l。

又因为个位上D+D=D，所以D=0。此时算式为：

ABC0

+1B10

10CA0

下面分两种情况进行讨论：

（1）若百位没有向千位进位，则由千位可确定A=9,由十位可确定08,

由白位可确定B=4,由此得到问题的个解。

（2）若百位向千位进1,则由千位可确定A=8,由十位可确定C=7,百

位上不论3为什么样的整数，B+B的个位都不可能为7,因此不成

立。

【精妙解答】

9480

+1410

10890

例4在下面的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。请

把这个文字式写成符合题意的数字式。

炮车车炮

车马车

马车马

［精彩思路］

例3是从个位着手分析，而这里就只能从首位着手分析。

由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知"炮”=1

被减数与减数的百位数相同，其相减又是退位相减，所以，“马”=9。至此,

得到下式：

由上式知，个位上的运算也是退位减法，由11-“车”=9得到“车”=2。

【精妙解答】

炮二1,马二9,11-车二9则车二2

因此，符合题意的数字式为：

1221

-292

929

例5在下面的竖式中，“巧，填，式，谜”分别代表不同的数字，它们各等于多少？

谜

式谜

填式谜

+巧填式谜

2000

［精彩思路］由（4X谜）的个位数是0知，“谜”=0或5。

当“谜”=。时，（3义式）的个位数是0,推知“式”=0,与“谜”W"式”矛盾。

当“谜”=5时，个位向卜位进2。

由（3X式+2）的个位数是0知，“式”=6,且十位要向百位进2。

由（2X填+2）的个位数是0,且不能向千位进2知，“填”=4。

最后推知，“巧”=1。

［精妙解答］“巧”=1,“填”=4,“式”=6,“谜”=5。

练习

【初试牛刀】

1.在下面的乘法竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么

“学”代表的数字是（）

数学

X数学

（）（）学

（）08

勤奋好学

2在下面的算式中，汉字“珊，瑚,小，学，三，年，级”代表1,2,3,4,5,

6,7,8,9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，使得加法算式成立，则

“珊，瑚，小，学，三，年，级”所代表的7个数字的和等于()

珊瑚小学

+三年级

2009

3.

【挑战自我】

1.在下面的竖式中，不同的字母代表不同的数字，记被减数的数字和为A,减数的数

字和为B,差的数字和为C,而且要求A>B,那么A-B与C得差是()

第八讲找规律

【知识要点】

先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。

按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，

(1)1,2,3,4,5,6,…

(2)1,2,4,8,16,32；

(3)1,0,0,1,0,0,1,…

(4)1,1,2,3,5,8,13o

一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列(1)的第