七年级数学上册知识点练习专题53 平行线四大模型专项训练（40道）（举一反三）（华东师大版）（解析版）

专题5.3平行线四大模型专项训练（40道）

【华东师大版】

考卷信息:

本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平行线四大模型的

综合问题的所有类型!

【模型1“铅笔”模型】

结论1：心AB"CD、则/尸+勿。36（f：

结论2；若•乙/叭?=360，则

1.（2022♦湖南・永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，力皿2,01=105°,02=140°,

则团3的度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】首先过点A作4卷/”由/刑2,即可得A施/旭自然后根据两直线平行，同旁内角

互补，即可求得团4与团5的度数，又由平角的定义，即瓦求得明的度数.

【详解】解:

过点4作4砌",

团//困2，

血响网2，

001+04=180°,02+05=180°,

酿1=105。,团2=140°,

施4=75。,田5=40。，

004+05+03=180°,

003=65°.

故选：C.

【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关健是熟练的掌握平行线的性质.

2.（2022•贵州六盘水•七年级期中）如图所示，若AB13EF,用含%0、y的式子表示心应

为（）

A.a+p+yB.0+y-aC.1800-a-y+pD.180°+«+/?-/

【答案】C

【分析】过C作CD回AB,过M作MN%F,推出AB0CD13VIN回EF,根据平行线的性质得出

a+@BCD=180°,团DCMWCMN,团NMF=y,求出国BCD=180°・a,团DCM=0CMN=/7-y,即可得出答

案.

【详解】过C作CD0AB,过M作MN0EF,

0AB0EF,

0AB0CD0MN0EF,

0a+0BCD=18O0,团DCMWCMN,0NMF=y,

00BCD=18O°-a,0DCM=0CMN=/?-y,

[?lx=[?lBCD+0DCM=18Oo-a—y+0,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力.

3.（2022・甘肃•北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果48IICQ,那么08+航

【答案】540

【分析】过点E作EMIICD,过点F作FNIIC。，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答.

【详解】过点E作EMIIC。，过点尸作FNIICD,如图，

0/4FHCD,EMWCD,FNWCD,

EL4BI尸N,EMWFN,

005+05^=180°,即话M+（3E7W=18O°,0D+0DEM=18O°,

^DEF^DEM^FEM,©BFE=©BFN+©EFN,

团团8+08厂石+国。£/+0。=团打N+S/^M+QE尸N+团D+E1QEM=54O°,

故答案为：540.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补.构造辅助线EM忆D,

FNIICD是解答本题的关键.

4.（2022・全国•七年级专题练习）如图所示，AB//CD,与aDE的角平分线相较于点

F,4E=80°,求48F0的度数.

请你帮助小明完成剩余的解答.

⑵问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：

如图3,AD//BC,当点P在A、B两点之间时，［MZ)P=Ea,08(7尸=邮，则0a,邮之

间有何数量关系？请说明理由.

【答案】⑴110°,见解析；⑵团CPD=0a+邮,理由见解析

【分析】⑴过尸作尸的48,构造同旁内角，通过平行线性质，可得财产。=50。+60。=11。。

(2)过P作P£1M。交CO于E点，推出4D0PE08C，根据平行线性质得到的=(3。0£,邮M3CPE,

即可得出答案.

【详解】解；(1)剩余过程；0CrMPCD=18O%

00CPE=18Oo-12Oo=6Oo

(?L4PC=50o+60o=110o；

(2)团CP£>=回a短d理由如下：

如下图，过尸作尸的4。交CD于点E,

{3ADSBC

^AD^PE^BC,

013a=0DPE,0P=0CP£

0SCPD=0DP£+0CPE=0a+0p.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考察学生的推理能力，解决问题的关

键是作辅助线构造内错角以及同旁内角.

7.（2022・全国•七年级专题练习）如图1,四边形MN8D为一张长方形纸片.

（1）如图2,将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（28力£\LAEC./.ECDy^\Z-BAE+Z.AEC+

乙ECD=__________

（2）如图3,将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（M4E、LAEF,乙EFC、"CO）,则NB4E+

LAEF+乙EFC+乙FCD=

（3）如图4,将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（乙BAE,^AEF.乙EFG、乙FGC、乙GCD）,

则乙84E+^AEF+Z-EFG+Z.FGC4-Z.GCD=°.

（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出5+1）个角，那么这（九+1）

个角的和是，

【答案】（1）360：（2）540；（3）720：（4）180n.

【分析】（1）过点E作EH团AB,再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等

于180。的2倍；

（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的

和等于180。的三倍；

（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个

角的和等于180。的三倍；

（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度.

【详解】（1）过E作EHMB（如图②）.

（3原四边形是长方形，

0AB0CD,

又团EH团AB,

0CD0EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.

0EH0AB,

酿A+团1=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

0CD0EH,

002+0C=18O°（两直线平行，同旁内角互补）.

[30A+01+[32+(3C=36Oo,

X001+02M3AEC,

00BAE+0AEC+[2ECD=36OO；

(2)分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示,

用上面的方法可得团BAE短AEF+国EFC+因FCD=540°：

(3)分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示,

用上面的方法可得团BAE+0AEF+团EFG+(3FGC+[3GCD=720°；

(4)由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度.

故答案为：(1)360；(2)540：(3)720；(4)180n.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解

本题的关键，总结规律求解是本题的难点.

8.(2022•安徽合肥•七年级期末)问题情景：如图1,A的CO,回办3=140。，0PCD=135",

求MPC的度数.

(1)丽丽同学看过图形后立即口答出：财PC=85。，请补全她的推理依据.

如图2,过点。作从

因为AB0C7),所以PE0CD.()

所以财+a4PE=180°,(3C奄CPE=180°.()

因为团以3=140°,回PCO=135°,所以(MPE=40。，0CPE=45°,

^APC=^APE+^CPE=85°.

问题迁移：

(2)如图AmBC.当点。在A、A两点之间运动时，P1/?CP=H/?.求

与加、明之间有什么数量关系？请说明理由.

（3）在（2）的条件下，如果点尸在A、8两点外侧运动时（点P与点A、B、。三点不重

合），请直接写出团。夕。与命、歌之间的数量关系.

【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁

内角互补；（2）/CPU=理由见解析；（3）乙CPD=乙8一乙a或乙CPD=乙。一乙口

【分析】（1）根据平行线的判定与性质填写即可；

（2）过P作P国4D交CQ于七，推出4O0PE0BC,根据平行线的性质得出面WOPE,邮器CPE,

即可得出答案：

（3）画出图形（分两种情况①点P在84的延长线.上，②点。在43的延长线上），根据

平行线的性质得出加=团。尸石，册=时尸石，即可得出答案.

【详解】解：（1）如图2,过点P作尸EE4B,

图2

因为ABaCD,所以PE^CD.（平行于同一条直线的两条直线平行）

所以幽+0APE=180°,0C+0CPE=180°.（两宜线平行同旁内角互补）

因为（3以B=140°,0PCD=135°,

所以MPE=40°,0CPE=45°,

^APC=^APE+^CPE=85O.

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补;

（2）0CPD=0a+a/7,理由如下：

如图3所示，过夕作。国4。交CO于E,

M

团创MOPE,0^=0CPE,

00CPD=0DPF+0CPE=0a+0/？；

(3)当P在84延长线时，如图4所示:

同(2)可知:0a=0DPE,郎血CPE,

WCPD=^-Sla；

团团CPQ=^a-殴.

综上所述，EICPO与以、叩之间的数量关系为：13cp。=眠命或团。叩=（如邺.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键.

【模型2“猪蹄”模型】

结论2：玄4片,AEZ乙CFP，则

9.（2022・全国•七年级）如图所示，直角三角板的60。角压在一组平行线上，48IICD,^ABE=

【答案】20

【分析】如图（见详解），过点E作先证明4BIIEFIICD,再由平行线的性质定理

得至=40°,乙EDC=^DEF,结合已知条件iBED=60。即口J得至人

【详解】解：由题意可得：^BED=60°.

如图，过点E作EFIIAB,

又国力BIIC。，

（L4BIIE?||CO,

0Z/45F=Z.BEF=40°,LEDC=Z-DEF,

^LBED=60°,

0ZDFF+乙BEF=60°,

0ZDEF=20°,

即；"DC=20。.

故答案为：20.

【点睛】本题重点考查了平行线的性质定理的运用.从“基本图形''的角度看，本题可以看作

是“M〃型的简单运用.解法不唯一，也可延长班交CO于点G,结合三角形的外角定理来

解决；或连结8。，结合三角形内角和定理来解决.

10.(2022•河南平顶山•八年级期末)如图：

(1)如图1,ABWCD,^ABE=45%^CDE=21°,直接写出/BED的度数.

(2)如图2,48IICD,点E为直线AB,CD间的一点，“平分。尸平分“DE,写出/BED

与乙F之间的关系并说明理由.

(3)如图3,力8与。。相交于点6,点岳为286。内一点，9尸平分448凡。广平分乙。。5,若486。=

60。，/-BFD=95°,直接写出上8ED的度数.

【答案】⑴团8£。=66。；

⑵团B£D=2(3F,见解析；

(3)0BED的度数为130°.

【分析】(1)首先作£7段B,根据直线人质C。，可得Q13CD,所以的18£=皿=45。，

0CD^=02=21°,据此推得姐。=01+32=66°；

(2)首先作EG0AB,延KDE交8F于点H,利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即

可得到她ED=20F；

(3)延长。F交48于点儿延长GE到/,利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可

得到回8ED的度数为130°.

(1)

解：(1)如图，作£7圆48,

团直线Al^CD,

0(?L45E=01=45O,0CDE=02=21°,

00B£D=ai+02=66o：

(2)

解：^BED=2^F,

理由是：过点E作EG〃八B,延长DE交8F于点H,

^AB//CD,^AB//CD//EG,

005=01+02,06=03+04,

OF平分团COE,

曲2-01,03-04,则05-2团2,06-203,

0SBFD=2(02-H33),

又团F+回3=(38HO,08HD+S2=0BED,

003+02+0F=0e£D,

综上回8£。="+1208£。，即回8ED=213F；

(3)

解：延长DF交48于点H,延长G£到/,

团团8GO=60°,

0(23=01+QBGD=01+60°,0BFD=02+03=02+01+60°=95°,

002+01=35°,HP2(02+01)=70°,

团BF平分M8E,DF平分回CDE,

00A8E=202,0CDE=201,

00BF/=04ef+05GE=202+0fiGE,(3DE/=I3CDE+团。GE=2(31+团DGE,

00BED=0BE/+SDE/=2(02+0：)+(0BG£+0DGE)=7O°+6OO=13OO,

00BFD的度数为130°.

【点睛】本题考查J'平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和

性质，正确添加辅助线是解题关键.

11.(2022•江苏常州•七年级期中)问题情境：如图①，直线48IICD,点£尸分别在直线

AB,CD上.

⑴猜想：若匕1=130°,Z2=150°,试猜想乙P=。：

(2)探究：在图①中探究N2,NP之间的数量关系，并证明你的结论；

⑶拓展：将图①变为图②，若乙1+乙2=325。，Z.EPG=75°,求/PGF的度数.

【答案】(1)80°

(2)zP=360°-zl-z2；证明见详解

⑶140°

【分析】(1)过点P作利用平行的性质就可以求角度，解决此问；

(2)利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；

(3)分别过点P、点G作MNII4?、KRWAB,然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即

可.

(1)

解：如图过点P作MNIL4B,

财川CD,

^ABWMNWCD.

0Z1+乙EPN=180°,

Z2+乙FPN=180°.

0Z1=130°,Z.2=150°,

团41+42+乙EPN+乙FPN=360°

^Z-EPN+FPN=360°-130°-150°=80°.

ONP=ZEPN+ZFPN,

如P=80°.

故答案为：80°；

(2)

解：乙P=360。一41一42,理由如下:

如图过点尸作MNIL4B,

^AB\\CDt

^ABWMNWCD.

0Z1+乙EPN=180°,

424-乙FPN=180°.

0Z1+Z2+乙EPN+乙FPN=360°

0ZFP/V4-乙FPN=4P,

zP=360°-zl-z2.

(3)

如图分别过点P、点G作MNMB、KRWAB

胤48IICD,

mAB\\MN\\KR\\CD.

团41+乙EPN=180°,

Z-NPG+乙PGR=180°,

乙RGF+Z2=180°.

0Z1+乙EPN+Z.NPG+/.PGR+RGF+42=540°

(34EPG=乙EPN+乙NPG=75°,

乙PGR+乙RGF=£PGF,

zl+z2=325°,

回/PGF++，2+cEPG=540°

0ZPGF=540°-325°-75°=140°

故答案为：140°.

【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键.

12.(2022•山东聊城•七年级阶段练习)已知直线A8〃CQ,E〃是截线，点M在直线人B、

CD之间.

(1)如图1,连接GM,HM.求证：ElM=aAGM+l3C”M；

(2)如图2,在(3G〃C的角平分线_L取两点M、Q,使得a4GM-ia〃GQ.试判断13M与团GQ"

之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)证明见详解

(2)^GQH=180°-ZM；理由见详解

【分析】(1)过点M作MNM8,由ABIIC。，可知MNIIABIICD.由此可知:Z.AGM=Z.GMN,

Z.CHM=乙HMN,故44GM+乙CHM=乙GMN+乙HMN=^M；

(2)由(1)可知2HGM+NCHM=/M.再由NCHM=/GHM,0AGM=(3//GQ,可知：zM=

乙HGQ+乙GHM,利用三角形内角和是180°,可得乙GQH=180。一乙M.

(1)

图1

解：如图：过点M作MNIMB,

^MNWABWCD,

团乙AGM=4GMN,乙CHM=^HMN,

0ZM=^GMN+乙HMN,

^M=/LAGM+Z.CHM.

(2)

解：^GQH=180°-zM,理由如下:

如图：过点M作MNM8,

由（1）知乙M=z4GM+/CHM,

团，M平分乙G，C,

回乙CHM=MIHM,

^1AGM=^HGQ,

团NM=^HGQ+乙GHM,

回ZHGQ+乙GHM+乙GQH=180°,

团乙GQH=180°-zM.

【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题

的关键，同时这也是比较常见的几何模型"猪蹄模型”的应用.

13.（2022•广东韶关•七年级期中）如图1,点力、3分别在直线GH、MN上,LGAC=乙NBD,

（2）如图2,AE平分，G4C,OE平分Z80C,若匕=iGAC,求，GAC与4ACD之间的数

量关系；

（3）在（2）的条件下，如图3,8”平分4J8M,点K在射线8”上，Z-KAG=^ZG71C,若

乙AKB=4ACD,直接写出NG力。的度数.

【答案】（1）见解析；⑵44CD=34G/1C,见解析；⑶（答）°或偿）.

【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；

（2）根据三角形的内角和为180。和平角定义得到NAQD="+"4Q,结合平行线的性质

得到48DQ=+4EAQ,再根据角平分线的定义证得乙CD8=2"+4GAC,结合已知即

可得出结论；

（3）分当K在直线GH下方和当K在直线GH上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性

质、角平分线定义求解即可.

延长71C交MN于点P,

回乙ACD=乙C,

国AP〃BD,

团ZNBD=/.NPA,

^LGAC=乙NBD,

^Z.GAC=乙NPA,

QGH//MN：

(2)延长AC交MN于点P,交DE于点Q,

azE+Z.EAQ+AAQE=180°,^.AQE+AAQD=180°,

^Z.AQD=ZF+Z-EAQ,

mAP"BD,

团乙AQD=乙BDQ,

B/.BDQ=LE+Z-EAQt

胤4E平分4G4C,DE^LBDC,

团乙GAC=2/.EAQ,乙CDB=2乙BDQ,

12INCO8=2Zfc+LGAC,

^Z.AED=Z.GAC,Z.ACD=Z.CDB,

团4ACD=2LGAC+Z.GAC=3Z.GAC；

(3)当K在直线GH卜方时，如图，设射线交GH于/,

图3

团GH〃MN,

0Z/I/F=乙FBM,

团B户平分NM8D,

^LDBF=乙FBM=^(180°-"BN),

^£A1B=乙DBF,

团匕4/8+乙KAG=4AKB,乙4KB=Z.ACD,

^/ACD=/DRF+/KAG,

^£KAG=-AGAC,乙GAC=cNBD,

3

垮/G4C+1(180°-乙DBN)=^ACD=34G4C,

联LGAC+90。一；LGAC=3zMC,

32

解得：NG4c=(部.

当K在直线GH上方时，如图，同理可证得乙4/8=g(180°—4D8N)=4/IKB+4K/1G,

则有34GAC+-Z.GAC=-(180°一4G4C)，

32

综上，故答案为（答）°或（膏）:

【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内

角和定理、平角定义、角度的运算:，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

14.（2022・全国•九年级专题练习）如图所示，已知88〃CD,BE平分乙ABC,DE平分4noC,

求证：z_E=：（乙4+4。）

2

AB

【答案】见解析

【分析】先根据平行线的性质得出财=财。。，回C=M8C,再由8E平分(M8C,。£?平分MQC

可知回1=如1。。，02=物18(7,根据三角形外角的性质即可得出结论.

【详解】解:如图：

04砸S

0(M=[MDC,0C=(MBC.

勖£平分MBC,QE平分财。。，

团团1=加4QC,回2=与匕4c.

22

003是三角形的外角，

团团3=团£+团2=团。+团1,

Z.E+\z-ABC=Z.C+^LADC,

22

即团E+扣C=(3C+扣A,

00E=-(0A+0C).

2

【点睛】本题考查的是平吁线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知

识点是解题的关键.

15.(2022•浙江工业大学附属实验学校七年级期中)已知人环/CQ.

(1)如图1,E为AB,C。之间一点，连接BE,DE,得到团BED求证：团BEO=团8短。；

(2)如图，连接A。，BC,8尸平分团48C',平分MOC,且3K。厂所在的直线交于点八.

①如图2,当点4在点A的左侧时，若财4c=50。，^1ADC=60°,求盟的度数.

②如图3,当点8在点人的右侧时，设财8C=a,IMDC=P，请你求出财尸。的度数.(用

含有a,B的式子表示)

【答案】⑴见解析；⑵55。；(3)+

【分析】(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可;

(2)①如图2,过点尸作FE〃718,当点8在点力的左侧时，根据NABC=50。，LADC=60°,

根据平行线的性质及角平分线的定义即可求乙BFD的度数；

②如图3,过点F作EF〃AB,当点B在点力的右侧时，/.ABC=a,乙ADC=.,根据平行线

的性质及角平分线的定义即可求出Z8FD的度数.

【详解】解：(1)如图L过点E作EF〃4B,

AB

图1

则有4BEF=乙B,

rAB"CD,

:.EF//CD,

•••乙FED=乙D,

•••（BED=Z.BEF+乙FED=Z.B+zD；

（2）①如图2,过点尸作FE〃43,

图2

有乙BFE=Z.FBA.

-AB//CD,

:.EF//CD.

•••Z.EFD=Z.FDC.

•••Z-BFE+乙EFD=AFBA+乙FDC.

=MBA+AFDC,

•••8/平分zABC,DF平分乙ADC,

•••LFBA=\LABC=25°,乙FDC=^ADC=30°,

22

:.乙BFD=Z.FBA+Z.FDC=55°.

答：匕BFD的度数为55。；

②如图3,过点尸作尸E〃4B,

:.乙BFE=1800-Z.FBA,

•:AB"CD、

:.EF//CD.

Z.EFD=Z.FDC.

•••Z-BFE+Z-EFD=180°-Z-FBA+乙FDC.

^LBFD=180°-LFBA+乙FDC,

vBF平分乙ABC,OF平分440C,

^FBA=-Z.ABC=-a,乙FDC=-Z.ADC=-/?,

2222K

乙BFD=180°-Z.FBA+zFDC=180°--a4--/?.

22l

答：的度数为180。-：1+：/?.

【点睛】本题考杳了平行线的判定与性质，解决本题的关健是熟练掌握平行线的判定与性质.

16.（2022•全国•七年级）如图1,AB//CD,E是4B,CO之间的一点.

图2

⑴判定团41E,13COE与MEO之间的数量关系，并证明你的结论；

⑵如图2,若坦BAE,(3CZ)E的角平分线交于点凡直接写出0A/。与0AE。之间的数量关系;

⑶将图2中的射线0c沿。后翻折交4产于点G得图3,若财G。的余角等于2班:的补角，

求同BAE的大小.

【答案】⑴NBAE+Z.CDE=乙4ED；

(2)^.AFD=^Z.AEDi

(3)Z-BAE=60°

【分析】(1)作£7诅AB,如图1,则£7T3CQ,利用平行线的性质得团1=0EA£02=0CDE,

从而得至的B4E+(3CQ£=(34ED

(2)如图2,由(1)的结论得团4/。=扣84E,XDF=^CDE,则团4a三(084EH3CQE),

加上(JL)的结论得到MF£>=#L4ED;

(3)由(1)的结论得MG£)=MAF+团CQG,利用折叠性质得回COG=40CZ)F,再利用等量代

换得到财GQ=2财EQ争84£,力口上90。眼AGQ=18(T-2[ME。，从而计算出团%E的度数.

⑴

WAE^CDE^AED

理由如下：

作E/词A5,如图1

(M83CO

^1=^BAE,02=0CDE

^BAE-^CDE=^AED

⑵

如图2,由(1)的结论得

04FD=0BAF+0CDF

(313BAE、(3CDE的两条平分线交于点尸

WAF=^BAE,^CDF=^CDE

22

^FE=-C^BAE^CDE)

2

WAE+^CDE^ED

^AFD^AED

2

(3)

由(1)的结论得(MGQWBA尸+0CQG

而射线OC沿。£翻折交人产于点G

00CDG=40CDF

^AGD=^BAF+^CDF=^BAE+2XDE=^BAE+2(0AEM5AE)=2{hAED^BAE

222

09O0-a4GD=18O°-2a4£D

图90°-2aAEQ+揶AE=180°-2MEO

^BAE=60°

【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角用等；两直线平行，同旁内角互补；

两直线平行，内错角相等.

17.(2022•广东・高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习)如图1,已知ABBC。，胡

=30°,00=120°；

图1图2

(1)若团E=60°,则闭尸=；

⑵请探索回E与回产之间满足的数量关系？说明理由；

⑶如图2,已知EP平分用BEF,rG平分团石尸。，反向延长FG交EP于点P,求(3P的度数.

【答案】⑴90。

(2)4F=/E+30。，理由见解析

(3)15°

【分析】(1)如图1，分别过点£,F作EM〃48,FN//AB,根据平行线的性质得到=

乙BEM=30°,乙MEF=乙EFN,ZD+(DFN=180°,代入数据即可得到结论；

(2)如图1,根据平行线的性质得到=30。，乙MEF=LEFN,由48〃CD,

AB//FN,得到CD〃FN,根据平行线的性质得到乙D+4FN=180。，于是得到结论：

(3)如图2,过点F作FH〃/尸，设乙3£尸=2%。，则ifFD=(2x+30)。，根据角平分线的

定义得到NPEr="命/=%。，ZFFG=jzEFD=(x+15)°,根据平行线的性质得到

Z.PEF=Z.EFH=x°,乙P=LHFG,于是得至I」结论.

(1)

解：如图1,分别过点E,广作EM〃A8,FN//AB,

EM//AB//FN,

:.乙B=乙BEM=30°,Z-MEF=乙EFN,

又•：AB//CD,AB//FN,

:.CD//FN,

.•・ZD+Z.DFN=180°,

又乙D=120°,

・•・(DFN=60°,

乙BEF=乙MEF+30°,乙EFD=LEFN+60°,

•••乙EFD=乙MEF+60°

:.乙EFD=乙BEF+30°=90°：

故答案为：90°；

(2)

解：如图1,分别过点E,r作EM〃4B,FN//AB,

•••EM//AB//FN,

•••乙B=乙BEM=30°,乙MEF=乙EFN,

又•：AB"CD,AB//FN,

ACD//FN,

:.乙D+Z.DFN=180°,

又•••ZD=120°,

•••Z.DFN=60°,

•••Z-BEF=乙MEF+30°,乙EFD=乙EFN+60°,

---zEFD=ZMEF+60°,

:.Z.EFD=乙BEF+30°；

(3)

解：如图2,过点F作FH//EP,

由(2)知，Z.EFD=Z-BEF+30°,

设乙BEF=2x°,fflzEFD=(2x+30)°,

•:EP平分乙BEF,6小平分乙£尸。，

二Z.PEF=*EF=x。，乙EFG=；^EFD=(x4-15)°,

•••FH//EP,

乙PEF=Z-EFH=x0,ZP=乙HFG,

•••Z.HFG=乙EFG-LEFH=15°,

・•・ZP=15°.

图1图2

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的

关键.

18.（2022•河南•商丘市第十六中学七年级期中）已知人把。。，线段£/♦、分别与4B,CQ相

交于点E,F.

图1图2图3

(1)请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：

如图1,当点P在线段EF上时，已知a4=35。，0C=62\求0APC的度数；

解：过点尸作直线PWS,

所以依据是；

因为A施C。，P/M4B,

所以/V堰CQ,依据是；

所以团C=(),

所以财PC=()+()=EL4-H3C=97°.

(2)当点P,Q在线段EF上移动时(不包括E,/两点)：

①如图2,(MPQ短尸QC=0A+团0180°成立吗？请说明理由：

②如图3,财PM=2团MPQ,(3CQM=2(3MQP,同M+0MPQ+团PQM=180°,请直接写出团M,

S4与0。的数量关系.

【答案】(1)两直线平行，内错角相等：平行于同一条直线的两条直线平行；团CPH；SAP”,

出CPH；(2)①HAPQ应00。一(3/1电0180。成立，理由见解答过程；«0Ai(3C~360°.

【分析】(1)根据平行线的判定与性质即可完成填空；

(2)结合(1)的辅助线方法即可完成证明；

(3)结合(1)(2)的方法，根据MPM=2团WPQ,国CQW=2团WQP,国PMQ+团MPQ+回PQM

=180°,即可证明(3PMQ,团4与回C的数量关系.

【详解】解：过点尸作直线尸

所以财=财2从依据是两直线平行，内错角相等；

因为AH2CO,PH^AB,

所以PM3CD,依据是平行于同一条直线的两条直线平行；

所以回C=(回CP”)，

所以(MPC=(财。〃)+(0CPH)=财+团C=97°.

故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；©CPH；蜘PH,

0CPH：

(2)①如图2,西夕。短PQC=a4+回C+180。成立，理由如下：

图2

过点。作直线PML48,QG^AB,

助施CQ,

加施CD0P加QG,

团财=财。〃，回C=(3CQG,团“PQ+aGQP=180°,

^PQ+^PQC=^APH+WPQ+BGQP-^CQG=^A+^C+130°.

团财PQ+t3PQC=a4+[3C+18O°成立；

②如图3,

图3

过点尸作直线QGa48,MN3A8,

财国ICQ,

西地CD0P睨IQG0MM

13a4=财产"，13c=I3CQG,13//PQ+0GQ尸=180°,0HpMFPMN,13GQM=(3QMM

团团PMQ=团"PM+回GQM,

^PM=2^MPQ,(3CQM=2[2MQP,用PMQ+13MPQ+mPQM=180°,

(3lMPM+(3CQM=M+E)C+a尸MQ=2(3MPQ+2团MQP=2(180°-0PM0),

回3团PM2+0A+SC=360°.

【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质.熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线

是关键.

19.(2022・湖北武汉•七年级期末)如图1,点4在直线MN上，点8在直线S7上，点C在MN,

ST之间，且满足4MAe+乙ACB+乙SBC=360°.

(1)证明：MN//ST；

(2)如图2,若乙ACB=60。,AD〃CB,点E在线段BC上，连接4E,且/DAE=2/CBT,

试判断“AE与4。4N的数量关系，并说明理由：

(3)如图3,若乙4c3=乎(?1为大于等于2的整数)，点E在线段3C上，连接4E,若乙MAE=

【答案】（1）见解析：（2）见解析；（3）ii-l

【分析】（1）连接4B,根据已知证明团MA8+（358A=180。，即可得证；

（2）作C距ST,设回C8T=a,表示出团CAMEL4CF,0BCF,根据AD08C,得到回D4C=120°,

求出团C4E即可得到结论；

（3）作设团CB厂步，得到团67=胡。尸=或，分别表示出（3C4N和团CAE,即可得到比

值.

【详解】解：（1）如图，连接力B,

v/-MAC+AACB+乙SBC=360°,

LACB+/.ABC+Z.BAC=180°,

Z.MAB+ZSBA=180°,

AMN//ST

(2)Z,CAE=2乙CAN,

理由:作CF〃S7,则MN//CF〃ST,如图，

设乙C87=a,^Z-DAE=2a.

乙BCF=Z.CBT=a,/.CAN=乙ACF=60°-a,

-AD//BC,Z-DAC=180°-Z-ACB=120°,

ACAE=120°-Z.DAE=120°-2a=2(60°-a)=2Z.CAN.

BPzMF=2/-CAN.

(3)作CF〃ST,则MN//CF//ST,如图，设乙CBT=0,贝此MAE=九0.

•••CF//ST,

:•乙CBT=^BCF=0,

/.CAE=180°-Z-MAE-Z-CAN=180°+=(180°-n/?),

/.CAE:AN=—n:-n=n-l,

故答案为n-l.

【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式.

20.(2022•重庆江北•七年级期末)如图1,AB//CD,点、E、F分别在48、CO上，点。在直

线AB、CD之间，且NEOF=100。.

图3

(1)求4BE。+NOFO的值；

(2)如图2,直线MN分别交/BE。、iO/C的角平分线于点M、N,直接写出NEMN-乙FNM

的值：

(3)如图3,EG在乙4E。内，/.AEG=m/-OEGx尸”在乙UFO内，乙DFH=mcOFH,直线MN

分别交EG、尸”分别于点M、N,且乙FMN—乙ENM=50°,直接写出m的值.

【答案】(1)4BEO+ND/。=260°；(2)乙EMN-N尸NM的值为40°；(3)|.

【分析】(1)过点。作OG0A8,可得4座。G3CQ,利用平行线的性质可求解；

(2)过点M作MKL4B,过点N作NH3CD,由角平分线的定义可设(38£M=0O£Mr,

团CFN四OFN=y,由财EO短。尸。=260°可求心产40°,进而求解；

(3)设直线FK与EG交于点〃，FK与八B交于点K,根据平行线的性质即三角形外角的

性质及NFMN一4ENM=50。，可得ZKFO一乙/lEG=50。，结合乙AEG="4。EG,DFK=

nmFK,Z.BEO+Z-DFO=260°,可得N/EG+-n/-AEG+180°-乙KFD--nZ-KFD=100°,

即可得关于〃的方程，计算可求解〃值.

【详解】证明：过点。作OGMB,

a4砸CQ,

EL4B0OGHC。，

团Z8E。+Z,EOG=180%Z,DFO+乙FOG=180。,

HzFFO+Z.EOG+Z.DFO+乙FOG=360%

即48E。+乙EOF+Z-DFO=360°,

00EOF=1OO°,

WEO+Z.DFO=260°；

(2)解：过点过点N作M7I3CD,

图2

团EM平分贴£O,FN平分WCTO,

设乙BEM=Z-OEM=x,LCFN=乙OFN=y,

0ZFEO+Z.DFO=260°

团乙BEO+Z.DFO=2x4-180°-2y=260%

0A--V=4OO,

团NH^CD,AB^CD,

助选IMKHNWaCY）,

国KEMK=乙BEM=x,乙HNF=乙CFN=y,乙KMN=乙HNM,

团乙EMN+Z.FNM=乙EMK+乙KMN-（乙HNM+乙HNF）

=x+乙KMN-乙HNM-y

=x-y

=40°,

故乙EMN-ZFNM的值为40°；

（3）如图，设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于尽K,

图3

IM砸CQ,

^LAKF=乙KFD,

团4/KF=Z,EHK+乙HEK=乙EHK+/.AEG,

团乙KF。=乙EHK+/.AEG,

团4EHK=乙NMF-乙ENM=50。，

0Z/CFD=50°+ZJ1EG,

即NKFD-/-AEG=50°,

B/.AEG=n£.OEG,FK在闭。尸。内，乙DFK=nz.OFK.

乙乙乙

0ZCFO=180°-DFK-OFK=180°-KFD--Zn-KFD,

1

Z.AEO=/-AEG+Z-OEG=Z-AEG+-z_4EG,

n

国乙BEO+乙。尸。=260%

^AEO+LCFO=100°,

。，

^AEG+-nZ-AEG+1800-nZ-KFD--AKFD=100

艮|J（1+乙KFD-/.AEG）=80。，

团（1+肌50。=80。，

解得九二：•

J

经检验，符合题意，

故答案为:

•5

【点睛】本题主要考杳平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关

键.

21.（2022•黑龙江哈尔滨•七年级期末）已知，A®3CO,点E在CD上，点G,尸在AB上，

点〃在A8,CO之间，连接FE,EH,HG,^AGH=^FED,FES3HE,垂足为E.

（1）如图1,求证：H5HE；

（2）如图2,GM平分团HG8,EM平分（3/7ED,GM,EM交于点M,求证：^GHE=2XME；

（3）如图3,在（2）的条件下，平分刻五E交C7）于点K,若团KFE：0MGH=13：5,

求回，EO的度数.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）40。

【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；

（2）过点〃作，PHAB,根据平行线的性质解答即可;

（3）过点H作〃地43,根据平行线的性质解答即可.

【详解】证明：（1）财碗CD,

00AFF=0FED,

^AGH=^FED,

团财所=0AG〃，

aE/naGH,

酿FEH+（3H=180°,

团团/£77=90°,

00/7=180°-0FF//=90°,

^HG^HEx

（2）过点M作

助质1CD,

⑦MQ3CD,

过点H作HEB,

团4瓯。,

0//P0CD,

（3GM平分（3"G8,

2

团EM平分团”££）,

励HEM=©DEM=%HED,

2

团

^BGM=^GMQ,

0A/(20CD,

团团QME=(3ME。，

mSGME=BGMQ+^QME=^BGM+^MED,

团〃尸团钻，

^BGH=mGHP=2团BGM,

^HP^CD,

国团PH£=⑦HED=2国MED,

00GHE=^GHP+^PHE=2a^G/W+20A/ED=2(H^GM+HA/ED),

豳GHE=(32GME；

(3)过点M作M/L48,过点“作“阳48,

由回ATE：团MGH=13：5,设!3KFE=13x,^MGH=Sx,

由(2)可知：^BGH=2^MGH=lQx,

(3a4FE+0BFE=18O<),

l?)l?lAFE=180d-lUx,

团/；K平分团4"七，

m\FK=^KFE=-SAFE,

2

即，180°-10%)=13%,

2

解得：x=5%

00BGA/=1OA=5O°,

团”也48,HP^CD,

^BGH=^GHP=50°,⑦PHE=6HED,

团团GHE=90°,

图3PHE=I3GHE-^GHP=90°-50°=40°,

酿HED=40°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造

平行线是解题的关键.

22.(2022•广西柳州•七年级期中)已知直线a||b,直线律分别与直线a,〃相交于点£,F,

点A,B分别在直线4,力上，且在直线巴户的左侧，点P是直线E/上一动点（不与点E,F

重合），设团用£=团1,财户8=团2,0P^F=03.

⑴如图1,当点P在线段EF上运动时，试说明团1+团3=团2：

⑵当点P在线段E/外运动时有两种情况.

①如图2写出131,团2,（33之间的关系并给出证明；

②如图3所示，猜想01,02,133之间的关系（不要求证明）.

【答案】（1）证明见详解

（2）①43=41+42；证明见详解；②乙1=42+/3；证明见详解

【分析】（1）如图4过点尸作PCIla,利用平行线的传递性可知尸Cllallb，根据平行线的性质

可知乙1=^APC,Z3=£BPC,根据等量代换就可以得出42=zl+Z3；

（2）①如图5过点P作PCIa,利用平行线的传递性可知IPCIIallb,根据平行线的性质可知乙3=

乙BPC,乙1=乙力PC,根据等量代换就可以得出乙3=41+乙2；

②如图6过点尸作PCM，利用平行线的传递性可知PCIIog，根据平行线的性质可知乙1=

Z-APC,乙3=LBPC,根据等量代换就可以得出=42+43.

（1）

解：如图4所示：过点P作PQIa,

0a||h

^PC\\a\\b

0Z1=Z.APC,z3=Z.BPC,

0Z2=Z.APC+Z.BPC,

0Z2=Z1+Z3；

图4

(2)

解：①如图5过点P作PQa,

^a\\b

^PC\\a\\h

0Z3=Z.BPC,zl=Z.APC,

团4BPC=42+Z.APC,

0z3=zl4-z2：

图5

②如图6过点P作PC||a,

0a||b

^PCWaWb

0Z1=Z.APC,z3=Z.BPC,

BZ.APC=Z.2+乙BPC,

0zl=Z2+Z3.

图6

【点睛】本题利用“猪蹄模型〃及其变式考资了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确

的作出辅助线和找到对应为内错角是解决本题的关键.

【模型3“臭脚”模型】

23.（2022•全国•八年级课时练习）（1）已知:如图（a）,直线D八拜B.求证：乙ABC+乙CDE=

乙BCD；

（2）如图（b）,如果点。在八8与石£＞之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能

就本题作出什么新的猜想？

【答案】（1）见解析；（2）当点C在A8与石。之外时，乙48。一“。£二48。。，见解析

【分析】（1）由题意首先过点C作C阳4B,由直线A施EQ,可得A施C咫。E,然后由两

直线平行，内错角相等，却可证得助8C+团CQE/BCQ：

（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得团BFQ,然后根据三角形外角的

性质即可证得35co.

【详解】解：（1）证明：过点C作CF^AB,

财庚1£Q,

0A碗£7呢CF,

^\BCF=^ABC,0DCF=0EDC,

□ELAfiC+0CDE=SBCZ)；

(2)结论：^ABC-^CDE^BCD,

证明：如图：

ED

财况)ED,

mMBC=^BFD,

在团C中，0fiFD=(3Z?CD+0CDE,

团朋BC=(3BCM3COE,

mMBC-XDE^BCD.

若点C在直线AB与。£之间，猜想心力8C+乙BCD+Z.CDE=360°,

IM选1以龙CV,

团匕ABC+乙BCF=180°,Z,CDE+乙DCF=180°,

^LABC4-乙BCD+乙CDE=乙ABC4-Z.BCF+乙DCF4-乙CDE=360\

【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本

题的关键，注意掌握辅助线的作法.

24.（2022•全国•七年级）己知，AE//BD,