初中数学自主招生难度讲义-8年级专题12心中有数

专题12心中有数

阅读与思考

现代社会是一个数字化的社会，我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道，从国民生产总值、

人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数，到家庭的水、电、煤气的月平均数，学生的身高、体

重、考试成绩，都与数字有关.“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求，能用数据说话的人必

须具备一定的统计知识.

对数据进行收集、整理、计算、分析，并在此基础上作出科学的推断，这就是数据分析，是统计学

研究的基本范畴和方法，收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策.

统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理，即用样本的平均水平、波动情况、分布规律

等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律，是从局部看整体的思想方法.

例题与求解

【例l】在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，

满分100分）.请观察图形，并回答下列问题：

（1）该班有________名学生.

（2）69.5~79.5这一组的频数是_________，频率是_________.

（3）请估算该班这次测验的平均成绩.

（黄冈市中考试题）

解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息.

【例2】某学生通过先求x与y的平均值，再求得数与z的平均值来计算x，y，z三个数的平均数.

当xyz时，这个学生的最后得数是（）

A.正确的B.总小于AC.总大于A

D.有时小于A，有时等于AE.有时大于A，有时等于A

（第二届美国中学生邀请赛试题）

解题思路：按不同方法计算平均值，作差比较它们的大小.

【例3】某校九年级学生共有900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min

的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供

的部分信息：

甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；

乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；

丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；

丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15．

根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：

（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？

（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多

少.

（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次

数的平均值．

（安徽省中考试题）

解题思路：本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识，要理解各组频率之和为1，各组频数

之和等于总数，掌握好这些知识点，自然可以解决问题.

【例4】编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中，把这个弹

1

珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加，篮子B中弹珠号

4

1

码数的平均数也等于原平均数加．问原来在篮子A中有多少个弹珠？

4

（第十六届江苏竞赛试题）

解题思路：用字母分别表示篮子A，B中的弹珠数及相应的平均数，运用方程（组）来求解.

【例5】某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n（n=0，1，2，…，15）道题的人数的一个统

计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学

生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人？

问这个表至少统计了多少人？

n0123…12131415

做对n道题的人数781021…15631

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：从统计表中可知做对0~3道题、12~15道题的相应总人数和总题数，结合已知条件，运用方

程（组）、不等式（组）等知识方法求解.

【例6】一次中考模拟考试中，两班学生数学成绩统计如下：

分数5060708090100

三（3）251013146

人数

三（4）441621212

请你根据学过的统计学知识，判断这两个班在这次模拟考试中的数学成绩谁优谁次？并说明理由.

解题思路：这是一道开放性试题，看考虑问题是从哪一个侧面入手.本题因未说明从何种角度来考虑，

故我们应多想几套方案.

能力训练

A级

1.大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表彰了100个节约用水模范户，5

月份这100户节约用水的情况如下表：

每户节水量（单位：吨）11.21.5

节水户数523018

那么，5月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01吨）_________吨.

（大连市中考试题）

2.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1分．得分的部分情况如下

表所示：

得分012…8910

人数754…341

已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班

学生有___________人．

（江苏竞赛试题）

3.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：

甲：78686591074

乙：9578768677

所以应确定_______去参加射击比赛.

4.在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，x，6，4，若这组数据

的平均数是5，则这组数据的中位数是_________件.

（包头市中考试题）

.如果一组数据，，，，的平均数是，则另一组数据，，，，

5x1x2x3x4x5xx1x21x32x43x54

的平均数是（）

5

A.xB.x2C.xD.x10

2

（天津市中考试题）

6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．设这些零

件数的平均数为a，众数为b，中位数为c，那么（）

A.abcB.bcaC.acbD.bac

（宁夏中考试题）

7.为了了解某区九年级7000名学生，从中抽查了500名学生的体重.就这个问题而言，下列说法正确的

是（）

A．7000名学生是总体B．每个学生是个体

C．500名学生是样本D．样本容量为500

5

8.已知1~99中有49个偶数，从这49个偶数中取出48个数，其平均数为49，则未取的数字是（）

12

A．20B．28C．72D．78

（台湾省中考试题）

9.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示：

（1）分别求出两人得分的平均数与方差；

（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.

（安徽省中考试题）

10.某校要从九年级（1）班和（2）班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取的女生身高如下：（单位：

厘米）

（1）班：168167170165168166171168167170

（2）班：165167169170165168170171168167

（1）补充完成下面的统计分析表

班级平均数方差中位数极差

（1）班1681686

（2）班1683.8

（2）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取.

（2013宁夏回族自治区中考试题）

11.为估计一次性木质筷子的用量，2011年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本.这些

饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：

0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.

（1）通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）；

（2）2013年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店

每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2012年、2013年这两年一次性木质筷子用量平均每

年增长的百分率（2012年该县饭店数、全年营业天数均与2011年相同）；

（3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07m3，求该县2013年使用一次性筷子的木

材可以生产多少套学生桌椅?

计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g，所用木材的密度为0.5×103kg/m3；

（4）假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用

文字表述出来．

12.由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分.每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名

运动员给2分，…，第12名运动员给12分，最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低

之差都不大于.设各运动员的得分总和分别为，，…，，且，求的最大值.

3c1c2c12c1c2c12c1

(第十九届江苏省竞赛试题)

B级

1.为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，

现有三种调查方案：

A、测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；

B、查阅有关外地180名男生身高的统计资料；

C、在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用

抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．问：

（1）为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合

理，为什么？

答：选________；理由：______________________________________________________________

（2）下表中的数据是使用了某种调查方法获得的：

初中男生身高情况抽样调查表

人数年级总计

七年级八年级九年级

身高(cm)（频数）

143~1531230

153~1631896

163~173243339

173~18361512

183~193003

（注：每组可含最低值，不含最高值）

①根据表中的数据填写表中的空格；

②根据填写的数据绘制频数分布直方图．

（上海市中考试题）

2.为了检查一批产品的合格率，从中检查了100个产品，测得数据如下：

数据a1a2a3a4a5a6a7a8

个数51015202015105

其中，，，…，是从小到大排列的两位数，且每个两位数与它的反序数（的反序数是）

a1a2a3a81221

之和都为完全平方数，样本的方差是________.

（辽宁锦州市竞赛试题）

3.五名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为

abcd

b米，前两名的平均身高为c，后三名的平均身高为d，则与比较（）

22

abcd

A.大B.大C.两者相等D.无法确定

22

（“五羊杯”邀请赛试题）

.已知数据，，的平均数为，，，的平均数为，则数据，，

4x1x2x3ay1y2y3b2x13y12x23y2

的平均数为（）

2x33y3

2

A.2a3bB.abC.6a9bD.2ab

3

（全国初中数学竞赛试题）

5.小林拟将1，2，…，n这n个数输入电脑，求平均数.当他认为输入完毕时，电脑显示只输入(n1)个

5

数，平均数为35，假设这(n1)个数输入无误，则漏输入的一个数是（）

7

A.10B.53C.56D.67

（江苏省竞赛试题）

6.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，

使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．设该矩形的长QM=ymm，宽MN=xmm．

3

（1）求证：y120x；

2

（2）当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于t的一元二次方程t210pt200q0的两个根，

而p、q的值又恰好分别是a，10，12，13，b这5个数据的众数与平均数，试求a与b的值．

（广西壮族自治区中考试题）

7.某班参加一次智力竞赛，共a，b，c三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题a满分20分，b、

c题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的

有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；

答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少.

（全国初中数学联赛试题）

8.元旦联欢会某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小敏测量了部分彩纸链的长

度，她得到的数据如下表：

纸环数x（个）1234…

彩纸链长度y(cm)19365370…

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，猜

想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个

纸环？

（济南市中考试题）

9.某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射

击环数只取1～10中的正整数）．

（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？

（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？

（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打

破记录？

（山东省中考试题）

10.“中国梦”关乎每个人的幸福生活.为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某

校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50

件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：

等级成绩（用s表示）频数频率

A90s100x0.08

B80s9035y

Cs80110.22

合计501

请根据上表提供的信息，解答下列问题：

（1）表中的x的值为________，y的值为_______；

（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获

得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和

A2的概率．

（2013年成都市中考试题）

专题12心中有数

18

例1（1）60（2）0.3（3）71（分）

60

例2C

例3（1）第①组频率为1-96%=0.04，∴第②组频率为0.12-0.04=0.08.故总人数为12÷0.08=150（人），

又第②、③、④组的频数之比为4：17：15，可算得第①⑥组的人数分别为6、12、51、45、24、12.

（2）第⑤⑥两组的频率之和为0.16+0.08=0.24，由于样本是随机抽取的，可估计全年级有900×0.24=216

（人）达到优秀.

例4设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠（25-x）个，又设原来A弹珠号码数的平均数为

ax(25x)b1225325

a,B中弹珠号码数的平均数b，则ax151，解得x=9.

a

x14

b(25x)151

b

26x4

即原来篮子A中有9个弹珠.

例5提示：由统计表可知：做对0～3道题的总人数为7+8+10+21=46（人），他们做对题目数的总和为7

×0+8×1+10×2+21×3=91（题）；做对12～15道题的总人数为15+6+3+1=25（人），他们做对题目数的

和为15×12+6×13+3×14+1×15=315（题）．

以x0，x1，…，x15分别表示做对0道、1道、…、15道题目的人数，由题意得

4x5x15x0x2x10x

45156，12104

x4x5x15x0x1x2x10

即；

4x45x515x15=6(x4x5x15)0x12x210x10=4

（）

x0x1x2x10

两式相减得…）…

11x11+12x12+15x15-(x1+2x2+3x3)=6(x4x5x15)-4(x0x1x2x10=6(x11+x12+

+x15)-4(x0+x1+x2+x3)+2(x4+x5+…+x10)=4(x11+x12+…+x15)-6(x0+x1+x2+x3)+2(x0+x1+…

+x15)=4x11+4(x12+x13+x14+x15)-6(x0+x1+x2+x3)+2（x0+x1+…+x15）

而x0+x1+x2+x3=46,x12+x13+x14+x15=25,0+x1+2x2+3x3=91,12x12+13x13+14x14+15x15=315

代入上式得llx11+315-91=4x11+4×25-6×46+2(x0+x1+…+x15)．

故x0+x1+…+x15=200+3.5x11(x11≥0)，因此，当x11=0时，统计的总人数x0+x1+…+x15最少为200人.

例6方案一从平均数的角度，其解为

1

x[50260570108013

9014100680

三350

1

x504604701680290121001280

三450

因此，从平均数的角度来看，两班成绩一样好．

方案二从选拔人才的角度考虑：三(3)班高于90分的人数有20人，三(4)班有24人；同时三(4)

班满分人数比三(3)班多6人，这说明三(4)班尖子生比三(3)班多.

因此，从选拔人才的角度看，三(4)班比三(3)班成绩好．

方案三从众数的角度来思考：三(3)班成绩的众数为90，三(4)班成绩的众数为70，

因此．从成绩的众数来看，三(3)班优于三(4)班．

方案四从方差或标准差的角度来考虑．

1222222

∵s25080260805708010808013908014100806172

三350

21222222∴

s三50

80460

804708016808029080121008012256

450

2＜2，即三班成绩较三班波动要小，从而说明三班成绩优于三班．

s三3s三4(3)(4)(3)(4)

方案五从中位数的角度来考虑．三(3)、三(4)两班成绩的中位数都为80分．三(3)班成绩在中位数

以上（包括中位数）有33人，三(4)班成绩在中位数以上（包括中位数）有26人，从这一角度来看，

三(3)班学生成绩整体较好．

A级

1.1.152.43设共有x人．由(x-4-5-7)×6+2×4+1×5+0×7=(x-3-4-1)×3+8×3+9×4+10×1，得x=43.

3．乙4.55．B6．C7．D8．D

22

9．(l)x甲x乙13,S甲4,S乙0.8(2)乙的成绩较稳定，从折线图看，乙的成绩则在平均线上下波

动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．、

10.（1）

班级平均数方差中位数极差

(1)班1683.21686

(2)班1683.81686

(2)(1)班

0.0052.42100600350

11.x=2.02×600×350=420000(盒)(2)10%(3)7260(套)

0.51030.07

(4)略

12.9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分，因为对于5位或5位以上的运动员中，至

少有一名运动员被某裁判评的分不小于5．而按照题意，这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不

大于4，矛盾．因此，9名裁判至多给某4名运动员都评为1分，下面分情形讨论．

(l)如果所有裁判都给某一名运动员评为1分，那么C1=9;

(2)如果9名裁判评出的9个1分集中在两位运动员名下，那么其中必有一名运动员至少被5名裁判都

评为1分，于是由题设可知，其余裁判给该运动员的评分不大于4，从而Cl≤5×1+4×4=21；

(3)如果裁判评出的9个1分集中在三位运动员名下，那么，这三名运动员各自所得的总分之和不大

于9×1+9×3+9×4=72，从而3c1≤cl+c2+c3≤72，故c1≤24；

(4)如果9个1分为4名运动员拥有，那么这4名运动员各人所得总分之和等于9×1+9×2+9×3+9×

4=90，从而4c1≤90，故c1<23.综上可知，c1≤24．c1=24这种情形是可以实现的，见下表．

B级

1．（１）Ｃ（２）略

．设满足条件的两位数为＋，＋＋＋＝（＋）为完全平方数，则＋＝，从而，

210xy10xy10yx11xy