初中数学自主招生难度讲义-8年级专题20正方形

专题20正方形

阅读与思考

矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的

平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱

形的性质来研究正方形的有关问题．

正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，

熟悉以下基本图形．

例题与求解

AD

【例l】如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠G

正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，E

O

AD

折痕DE分别交AB，AC于点E，G.下列结论：①AGD112.50；②2；

AEF

③；④四边形是菱形；⑤C

SAGDSOGDAEFGBE2OG.B

其中，正确结论的序号是______________．（重庆市中考试题）

解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．

【例2】如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上

(CGBC)，取线段AE的中点M.连MD，MF．

（1）探究线段MD，MF的关系，并加以证明．

（2）将正方形CGEF绕点C旋转任意角后（如图2），其他条件不变．

探究线段MD，MF的关系，并加以证明．

（大连市中考题改编）

解题思路：由M为AE中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．

【例3】如图，正方形ABCD中，E，F是AB，BC边上两点，且EFAEFC，DGEF

于G，求证：DGDA.

（重庆市竞赛试题）

解题思路：构造AEFC的线段是解本例的关键．

【例4】如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF与

GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定HAF的大小，并证明你的

结论．

（北京市竞赛试题）

解题思路：先猜测HAF的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的

关系．

AED

GH

P

BC

F

【例5】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，满足EFBEDF，

AE,AF分别与对角线BD交于点M,N．

求证：（1）EAF450；

（2）MN2BM2DN2．（四川省竞赛试题）

解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易

联想到直角三角形三边关系．

【例6】已知：正方形ABCD中，MAN450，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交

CB，DC（或它们的延长线）于点M,N．

当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BMDNMN．

（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM,DN和MN之间有怎样的数量

关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想．

（黑龙江省中考试题）

解题思路：对于（2），构造DNBM是解题的关键．

AD

C

MB

ADAD

N

N

BCBC

MMN

图1图2图3

能力训练

A级

1.如图，若四边形ABCD是正方形，CDE是等边三角形，则EAB的度数为__________.

（北京市竞赛试题）

2.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：

①ABBCCDDA；

②AOBOCODO,ACBD；

③AOCO,BODO,ACBD；

④ABBC,CDDA．

其中，能判定它是正方形的题设条件是______________.（把你认为正确的序号都填在横线上）

（浙江省中考试题）

3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转300，

则这两个正方形重叠部分的面积是__________.

（青岛市中考试题）

AD

D

P

AAD

CBC

BCP

第1题图第3题图第4题图

4.如图，P是正方形ABCD内一点，将ABP绕点B顺时针方向旋转至能与CBP'重合，若

PB3，则PP'=__________.（河南省中考试题）

将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正

5.n1cmA1,A2,Ann

方形重叠形成的重叠部分的面积和为()

1nn11

A.cm2B．cm2C.cm2D.()ncm2

4444

（晋江市中考试题）

第5题图第6题图

6.如图，以RtBCA的斜边BC为一边在BCA的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，

连接AO，如果AB4,AO62，则AC的长为()

A.12B．8C.43D.82

（浙江省竞赛试题）

7．如图，正方形ABCD中，CEMN,MCE350，那么ANM是()

A.450B．550C.650D.750

8．如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，RtCEF的面

积为200，则BE的值是()

A．15B．12C．11D．10

9．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，BD与CE交于F点，求证：AFBE．

1

10.如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD上的一点，且AFAD．

4

求证：CE平分BCF．

11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PEDC,PFBC,E,F分别是垂足．

求证：APEF．

（扬州市中考试题）

12.（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF(CGBC)，B,C,G在同一条直线上，M为

线段AE的中点．探究：线段MD,MF的关系．

（2）如图2，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转450，使得正方形CGEF的对角线CE在正方

形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证

明；若不成立，请说明理由．

（大连市中考试题）

F

D

A

FE

M

MBE

ADC

G

BCG

图1图2

B级

1.如图，在四边形ABCD中，ADDC,ADCABC900，DEAB于E，若四边形

ABCD的面积为8，则DE的长为__________.

1

2.如图，M是边长为1的正方形ABCD内一点，若MA2MB2,CMD900，则MCD

2

__________.

（北京市竞赛试题）

3.如图，在RtABC中，C900,AC3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形

的中心为O，且OC42，则BC的长为__________.

（“希望杯”邀请赛试题）

4.如图：边长一定的正方形ABCD，Q是CD上一动点，AQ交BD于M，过M作MNAQ交

1

BC于N点，作NPBD于点P，连接NQ，下列结论：①AMMN；②MPBD；

2

ABBN

③BNDQNQ；④为定值，其中一定成立的是()

BM

A.①②③B．①②④C.②③④D.①②③④

5.如图，ABCD是正方形，BF//AC，AEFC是菱形，则ACF与F度数的比值是()

A.3B．4C.5D.不是整数

6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形

的顶点的最大距离是()

7

A.58B．5C.8D.65E.53

2

（美国高中考试题）

7.如图，正方形ABCD中，AB8，Q是CD的中点，设DAQ，在CD上取一点P，使

BAP2，则CP的长度等于()

A.1B．2C.3D.3

（“希望杯”邀请赛试题）

8.已知正方形ABCD中，M是AB中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE平分

线于N（如图1）

（1）求证：MDMN；

（2）若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上任意一点”其余条件不变（如图2），

（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图2，点M是AB的延长线上（除B点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是

否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（临汾市中考试题）

`

9.已知0a1,0b1,求证：

a2b2(1a)2b2a2(1b)2(1a)2(1b)222．

10.如果，点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上，已知MCN的周长等于正方形ABCD周

长的一半，求MAN的度数．（“祖冲之杯”邀请赛试题）

11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH，

对角线AE,CG分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：AECG，且AECG．

（北京市竞赛试题）

12.如图，正方形MNBC内有一点A，以AB,AC为边向ABC外作正方形ABRT和正方形

ACPQ，连接RM,BP．求证：BP//RM．

（武汉市竞赛试题）

专题20正方形

例1①④⑤提示：在AD上取AH＝AE，连EH，则∠AHE＝45°，∴∠HED＝∠HDE＝22.5°，则HE

＝HD．又∵HE＝HD＞AE，故②不正确．又SAGDSFGDSCGD，故③不正确．

例2提示：(1)延长DM交CE于N，连DF，NF，先证明ADM≌△ENM，再证明CDF≌△ENF得

FD＝FN，∠DFN＝∠CFE＝90°，故MD⊥MF且MD＝MF．

△△

(2)延长DM到N点，使DM＝MN，连FD，FN，先证明ADM≌ENM，得AD＝EN，∠MAD＝∠MEN，

则AD∥EN．延长EN，DC交于S点，则∠ADC＝∠CSN＝90°．在四边形FCSE中，∠FCS＋∠FEN＝

△△

180°，又∵∠FCS＋∠FCD＝180°，故∠FEN＝∠FCD，再证CDF≌△ENF．∴(1)中结论仍成立．

例3提示：延长BC至点H，使得CH＝AE，连结DE，DF，由RtDAE≌RtDCH得，DE＝DH，进

△

而推证DEF≌△DFH，RtDGE≌RtDCH．

△△

例4设AG＝a，BG＝b，AE＝x，ED＝y，则

△△△

abxy,①

2axby.②

由①得a－x＝y－b，平方得a2－2ax＋x2＝y2－2by＋b2．

将②代入得a2－2ax＋x2＝y2－4ax＋b2，

∴(a＋x)2＝b2＋y2，得a＋x＝b2y2．

∵b2＋y2＝CH2＋CF2＝FH2，

∴a＋x＝FH，即DH＋BF＝FH．

延长CB至M，使BM＝DH，连结AM，由RtABM≌RtADH，得AM＝AH，∠MAB＝∠HAD．

∴∠MAH＝∠MAB＋∠BAH＝∠BAH＋∠HAD＝90°．

△△

再证AMF≌△AHF．∴∠MAF＝∠HAF．

1

即∠H△AF＝∠MAH＝45°．

2

例5(1)如图，延长CD至点E1，使DE1＝BE，连结AE1，则ADE1≌△ABE．

从而，∠DAE1＝∠BAE，AE1＝AE，于是∠EAE1＝90°．

△

在△AEF和△AE1F中，EF＝BE＋DF＝E1D＋DF＝E1F，则△AEF≌△AE1F．

1

故∠EAF＝∠E1AF＝∠EAE1＝45°．

2

(2)如图，在AE1上取一点M1，使得AM1＝AM，连结M1D，M1N．则

△ABM≌△ADM1，△ANM≌△ANM1，

故∠ABM＝∠ADM1，BM＝DM1，MN＝M1N．

22222

∵∠NDM1＝90°，从而M1N＝M1D＋ND，∴MN2＝BM＋DN．

例6(1)BM＋DN＝MN成立．

如图a，把△AND绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，E、B、M三点共线，则△DAN≌△BAE，

∴AE＝AN，∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM，得△AEM≌△ANM，∴ME＝MN．

∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN．

(2)DN－BM＝MN．

如图b，对于图2，连BD交AM于E，交AN于F，连EN，

FM可进一步证明：①△CMN的周长等于正方形边长的2倍；

②EF2＝BE2＋DF2；

③△AEN，△AFM都为等腰直角三角形；

④SAMN2SAEF．

A级