初中数学自主招生难度讲义-8年级专题07 分式的化简与求值

专题07分式的化简与求值

阅读与思考

给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连

的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基

本策略．

解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要

依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:

1．恰当引入参数；

2．取倒数或利用倒数关系；

3．拆项变形或拆分变形；

4．整体代入；

5．利用比例性质等．

例题与求解

a3

【例l】已知a23a10，则代数式的值为．

a61

（“希望杯”邀请赛试题）

11

解题思路：目前不能求出a的值，但可以求出a3，需要对所求代数式变形含“a”．

aa

【例】已知一列数且，，

2a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a18a75832

aaaaaa

123456，则为（）

a5

a2a3a4a5a6a7

A．648B．832C．1168D．1944

（五城市联赛试题）

解题思路：引入参数，把用的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．

ka1a7k

【例3】xyz3a(a0)．

(xa)(ya)(ya)(za)(za)(xa)

求．

(xa)2(ya)2(za)2

（宣州竞赛试题）

解题思路：观察发现，所求代数式是关于xa、ya、za的代数式，而条件可以拆成

xa、ya、za的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．

xyyzzx

【例4】已知1,2,3,求x的值．

xyyzzx

（上海市竞赛试题）

解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化

为简单的形式．

1111

【例5】不等于0的三个正整数a,b,c满足，求证：a,b,c中至少有两个互为相

abcabc

反数．

解题思路：a,b,c中至少有两个互为相反数，即要证明(ab)(bc)(ca)0．

（北京市竞赛试题）

【例6】已知a,b,c为正整数，满足如下两个条件：①abc32;

bcacababc1

②．求证：以a,b,c为三边长可以构成一个直角三角形．

bcacab4

解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．

（全国初中数学联赛试题）

能力训练

abcdabcd

1．若，则的值是．

bcdaabcd

（“希望杯”邀请赛试题）

xx2

2．已知1，则．

x23x1x49x21

（广东竞赛试题）

cab111

3．若ax21998,bx21999,cx22000且abc24，则

abbcacabc

的值为．

（“缙云杯”竞赛试题）

2x3xy2y311

4．已知，则．

x2xyy5xy

111

5．如果a1,b1，那么c（）．

bca

11

A．1B．2C．D．

24

（“新世纪杯”竞赛试题）

111

6．设有理数a,b,c都不为0，且abc0，则的

b2c2a2c2a2b2a2b2c2

值为（）．

A．正数B．负数C．零D．不能确定

2x23y26z2

7．已知4x3y6z0,x2y7z0(xyz0)，则的值为（）．

x25y27z2

A．0B．1C．2D．不能确定

xx3

8．已知1，则的值为（）

x2mx1x6m3x31

111

A．1B．C．D．

m333m223m21

a2b2c2

9．设abc0，求的值．

2a2bc2b2ac2c2ab

111

10．已知xyz其中x,y,z互不相等，求证x2y2z21．

yzx

（天津市竞赛试题）

1111

11．设a,b,c满足，

abcabc

1111

求证．（n为自然数）

a2n1b2n1c2n1a2n1b2n1c2n1

（波兰竞赛试题）

12．三角形三边长分别为a,b,c．

aabc

（1）若，求证：这个三角形是等腰三角形；

bcbca

1111

（2）若，判断这个三角形的形状并证明．

abcabc

111111

13．已知axbycz1，求的值．

1a41b41c41x41y41z4

（“华杯赛”试题）

14．解下列方程（组）：

x1x8x2x7

（1）；

x2x9x3x8

（江苏省竞赛试题）

5x96x84x192x21

（2）；

x19x9x6x8

（“五羊杯”竞赛试题）

111

xyz2

111

（3）．

yzx3

111

zxy4

（北京市竞赛试题）

B级

abc

1．设a,b,c满足abc0，abc0，若x，

abc

111111

ya()b()c()，则x2y3xy．

bccaab

abbcca(ab)(bc)(ca)

2．若abc0，且，则．

cababc

3．设a,b,c均为非零数，且ab2(ab),bc3(bc),ac4(ac)，则abc．

xyzx2y2z2

4．已知x,y,z满足1，则的值为．

yzxzyxyzxzyx

accb

5．设a,b,c是三个互不相同的正数，已知，那么有（）．

baba

A．3b2cB．3a2bC．2bcD．2ab

111111

6．如果abc0，4，那么的值为（）．

abca2b2c2

A．3B．8C．16D．20

(x2)4(x1)21

7．已知x25x19910，则代数式的值为（）．

(x1)(x2)

A．1996B．1997C．1998D．19999

xy6x15y4x25xy6y2

8．若，则的值为（）．

3y2x5yxx22xy3y2

99

A．B．C．5D．6

24

（全国初中数学联赛试题）

9．已知非零实数a,b,c满足abc0．

（1）求证：a3b3c33abc；

abbccacab

（2）求()()的值．

cababbcca

（北京市竞赛试题）

a4ma21

10．已知a24a10，且3．求m的值．

2a3ma22a

（北京市竞赛试题）

11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍，乙单