初中数学自主招生难度讲义-8年级专题21 梯形

专题21梯形

阅读与思考

梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直

角梯形等相关概念及性质.

解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅

助线的方法有：

（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；

（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；

（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；

（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形．

如图所示：

例题与求解

【例1】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的长度分别为a，b，那么

AB的长是___________.（荆州市竞赛试题）

解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形．

【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的

平行四边形．

（1）求四边形ABCD四个内角的度数；

（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；

（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图．

（山东省中考试题）

解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关

系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干

种图形．

【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面

积是49cm2，求梯形的高.

（内蒙古自治区东四盟中考试题）

解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手．

【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段

AD上，问：满足条件∠BPC＝900的点P有多少个？

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：根据AB＋DC＝AD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形．

【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD＝600，点S，P，

Q分别为OD，OA，BC的中点．

（1）求证：△PQS是等边三角形；

（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积；

（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.

【例6】如图，分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是

EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．

（山东省竞赛试题）

解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质．关键是要构造能运用条件EP＝

PF的图形．

能力训练

A级

1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，则下底角的度数是__________.

（天津市中考试题）

2.如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至

DE，连接AE，则△ADE的面积为______________.（宁波市中考试题）

3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝600，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个

等腰梯形的腰长为______________.

如图，梯形中，，是中位线，是边上任一点，如果2，那

4.ABCDAD//BCEFGBCSGEF22cm

么梯形ABCD的面积为__________.（成都市中考试题）

5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高h和中位线的长m之间的关系是()

A．m＞hB．m＝hC．m＜hD．无法确定

6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝32，∠BCD＝450，∠CDA＝600，则DC的长度是()

21

A.73B．8C.9D.83E.833

32

（美国高中考试题）

7．如图，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数是()

A.300B.450C.600D.900

（陕西省中考试

8．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则

当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为()

248

A．17B．17C．17D．3

171717

（鄂州市中考试题）

9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，

BG⊥CD，垂足分别为E，F，G．求证：PE＋PF＝BG．

（哈尔滨市中考试题）

10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G．

1

求证：GF(BCAD)．

2

11.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．

求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形；

（2）EF2BC22BE2．（深圳市中考试题）

12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB

＝4，BC＝6，∠B＝600．

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN//AB交折线ADC

于点N，连接PN，设EP＝x．

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；

若改变，请说明理由．

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所

有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．（江西省中考试题)

B级

1.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E，使DE＝DB，作

EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF＝__________.

（山东省竞赛试题）

2.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD＝600，设E

为CG中点，F是AB中点，则EF长为_________.

（“希望杯”邀请赛试题）

3.用四条线段：a14,b13,c9,d7作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位

线的长的最大值为_________.（湖北赛区选拔赛试题）

4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO＝3：2，则两条对角线将梯形

分成的四个小三角形面积之比为（安徽省中考试题）

SAOD:SDOC:SCOB:SAOB_________.

第4题图第5题图第6题图

5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，若△DEC的面积为S，则四边形ABCD的

面积为()

579

A．SB．2SC．SD．S

244

（重庆市竞赛试题）

6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝200，∠C＝700，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，

DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF的值为()

1

A．4B．4C．5D．6

2

（全国初中数学联赛试题）

7.如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①若AB＋DC＝BC，则∠BEC

＝900；②若∠BEC＝900，则AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分线，则∠BEC＝900；

④若AB＋DC＝BC，则CE是∠DCB的平分线.其中真命题的个数是()

A．1个B．2个C．3个D．4个

（重庆市竞赛试题）

8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝900，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是

AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于()

A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm

（“希望杯”邀请赛试题）

如图，在梯形中，，是腰的中点，⊥求证：

9.ABCDAB//DCMBCMNAD.S四边形ABCDMNAD

（山东省竞赛试题）

10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，

设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.