初中数学自主招生难度讲义-8年级专题28整体与完形

专题28整体与完形

阅读与思考

许多几何问题，常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，

可看作某种图形的一部分，如果将它们补充完整，就可得到常见的特殊图形，那么就能利用特殊图形的

特殊性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：

1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；

2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；

3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形：

例题与求解

【例1】如图，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠E＝800，∠C＝1240，则∠AFE＝

_________度.(北京市竞赛试题)

解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形.

aab

【例2】设a,b,c分别是△ABC的三边长，且满足，则它的内角∠A、∠B的关系

babc

是（）.

A.∠B＞2∠AB.∠B＝2∠AC.∠B＜2∠AD.不确定

（全国初中数学竞赛试题）

解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形.

【例3】如图1，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别

1

为F，G，连结FG，延长AF，AG，与直线BC相交，易证FGABBCAC.

2

若（1）BD，CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；（2）BD为∠ABC的内角平分线；（3）CE

为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量

关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.

（黑龙江省中考试题）

解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形.

00

【例4】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝135，∠BCD＝120，AB＝6，BC＝53，

CD＝6，求AD的长.（全国初中数学竞赛试题）

解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形，所以直接求AD比较困难，应设法将AD转化为特殊

三角形的边.

例4题图例5题图

【例】如图，凸八边形中，∠＝∠∠＝∠∠＝∠∠＝

5A1A2A3...A8A1A5，A2A6，A3A7，A4

∠试证明：该凸八边形内任意一点到条边的距离之和是一个定值

A8，8.

（山东省竞赛试题）

解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，

若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形.

1

【例6】如图，在△ABC中，∠ABC＝450，点D在边BC上，∠ADC＝600，且BDCD.将△

2

ACD以直线AD为轴作轴对称变换，得到△ACD，连结BC.

(1)证明：BC⊥BC;

(2)求∠C的大小.

（全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）

解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性

质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即

可解决问题.

能力训练

0

1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，则BC＋CD＝

_____________.（山东省竞赛试题）

2.如图，凸五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝1200，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，则这个五边形

的面积为_______________.

（美国AHSME试题）

3.如图，一个凸六边形六个内角都是1200，其中连续四条边的长依次为1,9,9,5，则该六边形的周长

为______________.

4.如图，ABCDEF是正六边形，M，N分别是边CD，DE的中点，线段AM与BN相交于P，则

BP

＝_________.（浙江省竞赛试题）

PN

5.如图，长为2的三条线段AA,BB,CC交于O点，并且∠BOA＝∠COB＝∠AOC＝600，

则三个三角形的面积和（填“＜”，“＝”，或“＞”）

S1S2S3__________3.

（“希望杯”邀请赛试题）

00

6.如图，在四边形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，BC＝2，CD＝3，则AB＝().

83

A.4B.5C.23D.

3

（广西壮族自治区中考试题）

7.如图，在△ABC中，M为BC中点，AN平分∠A，AN⊥BN于N，且AB＝10，AC＝16，则MN

等于（）.

A.2B.2.5C.3D.3.5

如图，在四边形中，＝，∠＝∠＝0⊥于，，则

8.ABCDABBCABCCDA90，BEADES四边形ABCD8

BE的长为（）

A.2B.3C.3D.22

00

9.如图，在四边形ABCD中，AB＝42，BC＝1，CD＝3，∠B＝135，∠C＝90，则∠D等

于（）

A.600B.67.50C.750D.条件不够，无法求出

（重庆市竞赛试题）

00

10.如图，在△ABC中，E是AC中点，D是BC边上一点，若BC＝1，∠ABC＝60，∠BAC＝100，

∠＝0，求的值

CED80SABC2SCDE.

11.如图，设c是RtABC的斜边长，a,b是直角边，求证：ab2c.

（加拿大中学生竞赛试题）

12.如图，已知八边形ABCDEFGH所有的内角都相等，而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边

相等.

ANAM

13.如图，设P为△ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M，求证：1.

NCMB

（齐齐哈尔市竞赛试题）

14.一个圆内接八边形相邻的四条边长是1，另四条边长是2，求八边形的面积.

专题28整体与完形

——补形法

bac

例1134例2B提示：由已知得

ab

1

例3（1）FGABACBC，分别延长AG、AF交BC于H，K，则AF=KF，

2

111

AB=KB,AG=HG,AC=HC.FGHKBKBHABACBC.

222

1

（2）FGBCACAB

2

例4提示：作DG⊥BC交BC延长线于Q，AM⊥CB交CB延长线于M，DN⊥MA于N，则MNDQ

为矩形，AD219.

例5延长A8A1，A3A2相交于M，延长A2A3，A5A4相交于N，延长A4A5、A7A6相交于P，延长A6A7、

A1A8相交于Q.

∵∠A1=∠A5,∠A2=∠A6，

∴∠MA1A2=∠PA5A6,∠MA2A1=∠PA6A5,

∴∠M=∠P，同理可证：∠N=∠Q。

∴MNPQ为平行四边形，即A1A8∥A4A5，A2A3∥A7A6。

同理可证：A1A2∥A6A5,A3A4∥A8A7

∴凸八连形内任意一点到边A2A3和A6A7的距离的和为平行线A2A3和A6A7间的距离，是一个定值.

同样这一点到边和的距离的和为平行线和间的距离；这一点到边和的距

,A4A5A8A1A8A1A4A5A1A2A5A6

离的和为平行线和间的距离；这一点到边和的距离的和为平行线和间的

A1A2A5A6A3A4A7A8A3A4A7A8

距离，都是定值.所以，凸八边形内任意一点到8条边的距离的和是一个定值.

例6(1)证明略.

(2)如图,过点A分别作BC,CD,BC的垂线,垂足分别为E,F,G.由ABC45及已证结论

BCBC,知四边形AGBE是正方形,由ABC45,ADC60及ACD是ACD沿AD作对称变换

得到,知点A均在GBC,GCD的平分线上，

∴AEAFAG.

于是，RtADE≌RtADF,RtACF≌RtACG.

1

故DACEAGCAD45.

2

则在ADC中，C180(ADCDAC)75.

能力训练

1.43提示：延长CB至E，使BEDC.2.733.42

6

4.提示:延长AM,ED及AB,DC分别交于Q及R,则ARM∽QDM,ABP∽QNP.

7

如图将沿方向平移到位置

5.<,COBBBS2RPB,

再将沿方向平移到位置则

CAOAAS3QRA,

OQP为等边三角形,且边长为2，

32

因SSS=SSS=23

123OQRARBOQP4

6.D7.D8.C9.B

10.提示：把ABC补成一个边长为1的正三角形,延长BA至G,使BGBC1,连接CG，在AG上取点

3

F，使BAGF,连接CF，则ABC≌FGC,ACF～CDE,S2S.

ABCCDE8

11.提示：以AB为直角边向三角形外作等腰RtBAD,再作DECA的延长线于E，

则BCED为直角梯形，ECBD.

证明：设八边形的边长分别为

12.a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,ab,

且都是整数，因为内角都等于，

a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,ab,135

所以延长对边与这对边的延长线依次交出

a1,a5,a3,a7,

aaaa

四点，则为矩形。∴8264

P,Q,M,NPQMNa1a5