初中数学自主招生难度讲义-9年级专题15从全等到相似

专题15从全等到相似

阅读与思考

相似三角形的知识应用广泛，可以证明角的相等、线段成比例等问题．通过寻找（或构造）相似

三角形获得比例线段或等角，用以论证或计算的方法，我们称为相似三角形法，这是几何学中应用最广

泛的方法之一．

全等三角形是相似三角形相似比等于1的特殊情况，相等是它的主旋律，从全等到相似的过程，不

仅是认识形式上的变化，而且在思维方法上也是一个飞跃，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全

等形中的等量形式更为复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式，甚至是线段乘积的和差、线段比的

和差．证明这类问题，常常要通过命题的转换或中间量的过渡．

熟悉下面这些“A”型、“X”型，子母型等相似三角形．

例题与求解

【例1】如图，□ABCD中，直线PS分别交AB，CD的延长线于P，S，交BC，AC，AD于Q，E，

R，图中相似三角形的对数（不含全等三角形）共有对．（武汉市竞赛试题）

解题思路：从寻找最基本的相似三角形入手，注意相似三角形的传递性．

【例2】如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3．如果边AB上的点P使得以P，A，D为

顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

解题思路：通过代数化，将P点的个数的讨论转化为方程解的个数的讨论．

要使两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应注意分类讨论．

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交

AC于E，交CF于F．求证：BP2PEPF．（吉林省中考试题）

解题思路：由于BP，PE，PF在一条直线上，所以必须通过等线段的代换促使问题的转化．

证明比例式或等积式是几何问题中的常见题型，解决它的常用方法是：①找相似：三点定形法；

②作平行：根据要证明的式子，找到一个分点，过此点作平行线，能写出要证式子中的一个比或与其

相关的比；③变原式：包括等量代换、等积代换和等比代换．

AC2AH

【例4】已知△ABC中，BCAC，CH是AB边上的高，且满足．试探讨∠A与∠B

BC2BH

的关系，并加以证明．（武汉市竞赛试题）

解题思路：由题设易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A与∠B的关系．解题

的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件．

如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算

与证明中应用极为广泛，其特点是：

①一线段是两个三角形的公共边；②另两条线段在同一直线上．

构造逆命题是提出问题的一个常用方法，例4是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出

结论基础上提出的一个逆命题．你能提出新的问题吗？并加以证明．

【例5】如图1，P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC．在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在

一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

（1）如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，ABCA，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥

CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点；

（2）在△ABC中，ABC．

①如图3，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若△ABC的内心（∠A，∠B，∠C角平分线的交点）P是该三角形的自相似点，求该三角形三

个内角的度数．（南京市中考试题）

解题思路：本例设问形式多样，从概念的判断说理到作图求解，由浅入深，而认识并深刻理解“自

相似点”的概念，是解题的关键．

图1图2图3

【例6】如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的

速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（秒）表

示移动时间（0t6），那么：

（1）当t为何值时，△QAP为等腰三角形？

（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；

（3）当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？

（河北省中考试题）

解题思路：对于（3），借助三角形相似的判定方法，由于未指明对应关系，探求质点运动的时间应

注意分类讨论．

能力训练

A级

1．如图，已知12，BD，ABDE5，BC4，那么AD=．

（第1题）（第2题）（第3题）

2．如图，在△ABC中，AB9，AC6，点M在AB上且AM3，点N在AC上．如果连接

MN，使得△AMN与原三角形相似，则AN=．

14

3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，ADBC，CDBC，E，F为两腰上

33

AEDF

的中点．下面的四个结论：①CE2BE；②△ADE∽△EDC；③S△S△；④．其

ADECEFABDC

中结论正确的有．（填序号即可）（宜昌市中考试题）

4．在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，且

AEBFDGAH

k(k0)．阅读下段材料，然后回答后面问题．

BEFCGCHD

AEAHBFDG

如图，连接BD，∵，，∴EH∥BD，∴FG∥BD，FG∥EH．

BEHDFCGC

（1）连接AC，则EF与GH是否一定平行，答：．

（2）当k值为时，四边形EFGH为平行四边形．

（3）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足条件时，EFGH为矩形；

（4）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足条件时，EFGH为矩形．

（黄冈市中考试题）

5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，下列条件：①BDAC90；②BDAC；③

CDAC

；④AB2BDBC，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（）

ADAB

A．3个B．2个C．1个D．0个

（山西省中考试题）

（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）

6．如图，□ABCD中，E是BC上一点，BE:EC2:3，AE交BD于点F，则BF:FD等于（）

A．2:5B．3:5C．2:3D．5:7

（重庆市中考试题）

7．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，即为点B′，折痕为EF．已

知ABAC3，BC4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度为（）

1212

A．2B．C．2或D．不确定

77

（山东省中考试题）

8．如图，在△ABC中，AB8，BC7，CA6，延长BC至P，使得△PAB∽△PCA，则PC

等于（）

A．7B．8C．9D．10

（重庆市竞赛试题）

9．已知：正方形的边长为1．

（1）如图1，可以算出一个正方形的对角线长2，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，进

而猜想出n个正方形并排拼成的矩形的对角线长；

图1

（2）根据图2，求证：△BCE∽△BED；

（3）由图3，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明：①

BECBDE45；②BECBED45；③BECDFE45．

图2图3

（三明市中考试题）

10．如图，在△ABC中，ACB2ABC．求证：AB2AC2ACBC．

（黄冈市竞赛试题）

11．（1）如图1，等边△ABC中，D为AB边上的动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，

求证：AE∥BC；

（2）如图2，将（1）中的等边△ABC的形状改为以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC改成相

似于△ABC，请问：是否仍有AE∥BC？证明你的结论．（苏州市中考试题）

图1图2

12．如图，分别以锐角△ABC的边AB，BC，CA为斜边向外作等腰Rt△DAB，等腰Rt△EBC，等

腰Rt△FAC．求证：（1）AE=DF；（2）AE⊥DF．

（全国初中数学竞赛试题）

B级

1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，ABCD，一直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，

DC

交AD于F，BD于G，AC于H，BC于I．已知EFFGGHHIIJ，则

AB

．（“祖冲之杯”邀请赛试题）

（第1题）（第2题）（第3题）

2．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，B90，AD2，BC4，点P在高AB上滑动．若

△DAP∽△PBC，AP3时，PB．（重庆市竞赛试题）

3．如图，四边形ABCD为正方形，A，E，F，G在同一条直线上，且AE5cm，EF3cm，那

么FG．（香港初中数学竞赛试题）

a

4．如图，Rt△ABC中，C90，ACCDBD，DE⊥AB于E．设AEa，BEb，则

b

（）

A．3:2B．4:3C．5:4D．6:5

（重庆市竞赛试题）

（第4题）（第5题）

5．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况

是（）

A．ADBCABBDB．AB2ADAC

C．ABDACBD．ABBCACBD

（全国初中数学联赛试题）

1

6．已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为，那么两底的比为（）

4

1111

A．B．C．D．

24816

（江苏省竞赛试题）

7．如图，O是四边形ABCD对角线的交点，已知BADBCA180，AB5，AC4，AD3，

BO7

，求BC．（“祖冲之杯”邀请赛试题）

OD6

（第7题）（第8题）

8．如图，△ABC中，角A:B:C4:2:1，AD，BE分别平分∠BAC，∠ABC．求证：

AB2ADBE．（沈阳市竞赛试题）

9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别用a，b，c表示．

（1）如图1，在△ABC中，A2B，且A60，求证：a2b(bc)；

（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．本

题第1问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图2，其中A2B，

关系式a2b(bc)是否仍然成立？并证明你的结论．

1

10．在△ABC中，A90，点D在线段BC上，EDBC，BE⊥DE于E，DE与AB相

2

交于点F．

（1）当AB=AC时（如图1），

①EBF；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

BE

（2）当ABkAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．

FD

（大连市中考试题）

11．如图，AB是等腰直角三角形的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△

MCN翻折，使点C落在AB上，设其落点为点P．

PACM

（1）当点P是边AB的中点时，求证：；

PBCN

PACM

（2）当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立？请证明你的结论．

PBCN

（北京市宣武区中考试题）

12．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点．P为对角线AC延长线上的任

意一点，PF交AD于点M，PE交BC于点N，EF交MN于点K．求证：K是线段MN的中

点．（江西省竞赛试题）

专题15从全等到相似

例18

例2C提示：分PAD∽PBC，PAD∽CBP两种情况讨论。

例3提示：连接△PC，则△BP=CP，△只要证△明CP2PEPF即可。

例4（1）若垂足H在线段AB上，如图1，由AH2CH2AC2，BH2CH2BC2,得

BH2AH2BC2AC2，即(BHAH)(BHAH)BC2AC2，

BC2AC2AC2AHBC2AC2BHAHBC2AC2BC2

∴AB①，又由，得，∴②，

BHAHBC2BHBC2BHBHAHBH

BC2ABBC

由①②得AB，即，又∠B是ABC和CBH的公共角，∴△ABC∽CHB，∠ACB=

BHBCBH

△△△

∠CHB=90º，∠A+∠B=90º

（2）若垂足H在BA的延长线上，如图2，作边CA关于CH的对称线段CA＇，由（1）的结论知∠A＇

＋∠B=90º，而∠A＇=180º-∠A，代入上式得∠A-∠B=90º，综上所述（1）（2），有∠A+∠B=90º或∠A-

∠B=90º。

1

例5（1）在RtABC中，∠ACB=90º，CD是AB上的中线，∴CDAB，∴CD=BD，∴∠BCE=

2

∠ABC，∵BE⊥C△D，∴∠BEC=90º，∴∠BEC=∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴E是ABC的自相似点。

（2）①作图略。作法如下：（ⅰ）在∠ABC内，作∠CBD=∠A，（ⅱ）在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，

△

BD交CE于点P，则P为ABC的自相似点。②连接PB，PC，∵P是ABC的内心，∴

11

PBCABC,PCB△ACB，∵P为ABC的自相似点，∴△BCP∽△A△BC，∴∠PBC=∠A，

22

∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=△4∠A，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180º，∴∠A+2∠A+4∠

180180360720

A=180º，∴A,∴三角形的三个内角的度数分别为,,。

7777

例6（1）AP=2t,DQ=t,QA=6-t，当AQ=AP时，即6-t=2t，解得t=2（秒）时，QAP为等腰直角三角

形。

△

2

（2）SQAPC=SQAC+SAPC=(36-6t)+6t=36(cm)，在P、Q两点移动过程中，四边形QAPC的面积始终保持

△QAA△P6t2tQAAP

不变．⑶①当时，QAP∽ABC，由，得t=1.2(秒)；②当时，PAQ∽ABC，

ABBC126BCAB

6t2t△△△△

由，得t=3(秒)．

612

25

A级1.2.2或4.53.①②③④4.⑴不一定⑵1⑶垂直⑷相等5.A6.A7.C

4

BFFCBFBC

提示：由B´FC∽ABC得，或由FB´C∽ABC得，8.C9.⑴5，n21

ABBCABBC

△△△△

⑵略⑶②③正确，选取②证明或选取③证明．10.提示：延长AC到D，使CD=BC，连结BD，

证明ABC∽ADB．11.提示：⑴由ACE≌△BCD，得∠EAC=∠ACB，故AE∥BC．⑵由ACE

∽B△CD，得△∠EAC=∠B=∠ACB，故AE∥△BC．12.提示：⑴延长BD至点P，使DP=BD，连结△AB，

ABBE2AEAB2

CP△，由，又∠PBC=45°+∠ABC=∠ABE，得ABE∽PBC，有，AEPC．同

BPBC2PCBP2

2△△

理ADF∽APC，DFPC，故AE=DF．⑵由ADF∽APC，得∠ADF=∠APC，由ABE∽PBC，

2

得∠△BAE=∠△CPB．于是∠DAE+∠ADF=45°+∠BAE△+∠ADF△=45°+∠CPB+∠APC=90°．故△AE⊥D△F．

123816

B级1.2提示：EADJ，EBDJ，EACJ．2.或63.cm4.A5.D

43233

14

6.D7.提示：作BB´⊥AC，CC´⊥AB，DD´⊥AC，垂足分别为B´、C´、D´，易证BOB´∽DOD´，

5

BOBBBBABBCCC△△

有，又，又由RtBCC´∽RtADD´，得．8.提示：BF=BD=AD，

ODDDCCACADDD

△△

ABF∽EBA．9.提示：⑴略⑵如图所示，延长BA至D，得AD=AC，则∠CAB=∠D+∠1=2

DCAD

∠△D，又△∠CAB=2∠B，∴∠D=∠1=∠B，∵∠1=∠B，∠D=∠D，∴ADC∽CDB，∴，

DBDC

△△

即DC2=AD·DB，故a2=b(b+c)

C

a1a

b

DAcB

第9题图

10.⑴①22.5°②过D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，则DEB≌DEG，

11

BE=GE=GB，又GBH≌FDH，得GB=FD，故BE=FD．⑵如图，过点D作DG∥△CA，与△BE的

22

△△1

延长线相交于点G，与AB相交于点H，同理可证DEB≌DEG，BE=GB，∠BHD=∠GHB=90°，∠

2

GBBH△BE△BH

EBF=∠HDF，∴△GBH∽△FDH，∴，即．又∵DG∥C