2025版高考数学大一轮复习第十一章统计与统计案例第2讲用样本估计总体分层演练理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第2讲用样本估计总体1．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，则在区间[10，50)上的数据的频率是()A．0.05 B．0.25C．0.5 D．0.7解析：选D.由题知，在区间[10，50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为eq\f(14,20)＝0.7.2．(2024·广西三市第一次联考)在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.由题图可知该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的中位数为61－28＝33，易得被污染的数字为2.3．(2024·岳阳模拟)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为()A．6万元 B．8万元C．10万元 D．12万元解析：选C.设11时到12时的销售额为x万元，依题意有eq\f(2.5,x)＝eq\f(0.10,0.40)，解得x＝10.4．(2024·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入改变状况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入削减B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A.法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入削减是错误的．故选A.法二：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是削减，所以A是错误的．故选A.5．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D.由题意这组数据的平均数为10，方差为2，可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4.6．(2024·湖南省五市十校联考)某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成果的茎叶图如图所示，其中甲组学生成果的平均数是88，乙组学生成果的中位数是89，则n－m的值是________．解析：由甲组学生成果的平均数是88，可得eq\f(70＋80×3＋90×3＋（8＋4＋6＋8＋2＋m＋5）,7)＝88，解得m＝3.由乙组学生成果的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.答案：67．为了普及环保学问，增加环保意识，某高校有300名员工参与环保学问测试，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．现在要从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取16人，则在第4组中抽取的人数为________．解析：依据频率分布直方图得，第1，3，4组的频率之比为1∶4∶3，所以用分层抽样的方法抽取16人时，在第4组中应抽取的人数为16×eq\f(3,1＋4＋3)＝6.答案：68．(2024·成都市其次次诊断性检测)在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差s2可能的最大值是________．解析：由题意可设两个被污损的数据分别为10＋a，b，(a，b∈Z，0≤a≤9)，则10＋a＋b＋9＋10＋11＝50，即a＋b＝10，b＝10－a，所以s2＝eq\f(1,5)[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(10＋a－10)2＋(b－10)2]＝eq\f(1,5)[2＋a2＋(b－10)2]＝eq\f(2,5)(1＋a2)≤eq\f(2,5)×(1＋92)＝32.8.答案：32.89．某校1200名高三年级学生参与了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成果，从这1200人的数学成果中随机抽取200人的成果绘制成如下的统计表，请依据表中供应的信息解决下列问题：成果分组频数频率平均分[0，20)30.01516[20，40)ab32.1[40，60)250.12555[60，80)c0.574[80，100]620.3188(1)求a、b、c的值；(2)假如从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分．解：(1)由题意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.(2)依据已知，在抽出的200人的数学成果中，及格的有162人．所以P＝eq\f(162,200)＝eq\f(81,100)＝0.81.(3)这次数学测验样本的平均分为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62,200)＝73，所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．10．(2024·高考北京卷)某高校艺术专业400名学生参与某次测评，依据男女学生人数比例，运用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．解：(1)依据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(2)依据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×eq\f(5,100)＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×eq\f(1,2)＝30.所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.所以依据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.1．(2024·长春模拟)某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500元的员工属于学徒阶段，没有营销阅历，若进行营销将会失败；高于4500元的员工属于成熟员工，进行营销将会胜利．现将该样本依据“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销胜利，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．试问在此次竞赛中公司收入多少万元的可能性最大？解：(1)估计该公司员工的月平均工资为0.0001×1000×2000＋0.0001×1000×3000＋0.0002×1000×4000＋0.0003×1000×5000＋0.0002×1000×6000＋0.0001×1000×7000＝4700(元)．(2)抽取比为eq\f(5,100)＝eq\f(1,20)，从工资在[1500，4500)内的员工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×eq\f(1,20)＝2人，设这两位员工分别为1，2；从工资在[4500，7500]内的员工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×eq\f(1,20)＝3人，设这三位员工分别为A，B，C.从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)．两人营销都胜利，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A，B)，(A，C)，(B，C)，概率为eq\f(3,10)；其中一人营销胜利，一人营销失败，公司收入2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)；两人营销都失败，公司收入－2万元，即损失2万元，有1种结果：(1，2)，概率为eq\f(1,10).因为eq\f(1,10)<eq\f(3,10)<eq\f(3,5)，所以公司收入2万元的可能性最大．2．(2024·河北三市其次次联考)某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并推断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预料在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)依据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分