山西省大同市阳高县第四中学校2024-2025学年高一3月月考数学试题（原卷版+解析版）

阳高四中2024—2025学年第二学期高一三月月考数学试卷本试卷共4页满分：150分考试用时：120分钟一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若O,A,B是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是A. B. C. D.2.已知，则等于（）A.10 B. C.3 D.3已知向量，若，则实数（）A1 B. C. D.4.在中，为边上的中线，，则（）A. B.C. D.5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A.ABC是锐角三角形 B.ABC是直角三角形C.ABC是钝角三角形 D.ABC的形状不确定6.向量在向量上的投影向量为（）A B. C. D.7.在中，，则角（）A. B.或 C. D.或8.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（）A海里 B.海里 C.海里 D.海里二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的说法错误的是（）A.若是共线的单位向量，则B.若，则C.若，则不是共线向量D.若，则一定存在实数，使得10.已知向量，则下列结论正确的是（

）A.当时，，可以作为基底， B.若与的夹角为，则或9C.若，则 D.若，则11.的内角的对边分别为，若，则（）A. B.C.角A的最大值为 D.面积的最小值为三、填空题:本题包括3小题，每小题5分，共15分.12.河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_______m/s．13.若单位向量，满足，则向量与的夹角为______．14.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________．四、解答题:本题包括5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.在中角、、所对边、、满足，，，求的值.16.已知向量，．（1）求的坐标及；（2）若与共线，求实数的值．17.已知向量，满足，，且，的夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值；18.已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．（1）求实数的值；（2）若，，求坐标；（3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．19.△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且.（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的周长的值.

阳高四中2024—2025学年第二学期高一三月月考数学试卷本试卷共4页满分：150分考试用时：120分钟一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若O,A,B是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的线性运算求解判断即可.【详解】由平面向量的线性运算可知,.故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的减法运算,属于基础题型.2.已知，则等于（）A.10 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.【详解】由向量，可得，所以.故选：B.3.已知向量，若，则实数（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量平行的坐标表示即可求解；【详解】解：向量，，，解得，故选：D4.在中，为边上的中线，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.【详解】因为，所以由已知可得，，所以，，所以，.故选：A.5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A.ABC是锐角三角形 B.ABC是直角三角形C.ABC是钝角三角形 D.ABC的形状不确定【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理判断.【详解】解：因为，所以，所以角是钝角，所以ABC是钝角三角形，故选：C6.向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量的定义求在方向上的投影向量.【详解】因为，，则，所以在方向上投影向量为．故选：C7.在中，，则角（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理变形求解即得.【详解】由正弦定理，，则，因，则或，因，故,即两解均符合题意.故选：D.8.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里【答案】C【解析】【分析】由题意易得的三个角的大小及边，再利用正弦定理即可得解.【详解】解：如图，作出，由题意可知，海里，，则，因为，所以海里，即B，C两点间的距离是海里.故选：C.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的说法错误的是（）A.若是共线的单位向量，则B.若，则C.若，则不是共线向量D.若，则一定存在实数，使得【答案】ACD【解析】【分析】由方向可判断A，由相等向量概念可判断B，由共线向量的概念可判断C，由且时，可判断D；【详解】是共线的单位向量，则或，A错误；向量相等，即大小相等，方向相同，B正确；若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误；若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误．故选：ACD．10.已知向量，则下列结论正确的是（

）A.当时，，可以作为基底， B.若与的夹角为，则或9C.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】【分析】由条件可得，证明向量，共线，结合基底的定义判断A，结合向量夹角公式列方程求，判断B，根据向量垂直的坐标表示列方程求，判断C，结合向量线性运算坐标公式求，根据向量模的坐标公式列方程求，判断D.【详解】对于A，由，可得，所以，所以，故，不能作为基底，A错误；对于B，，，或，经检验，都满足方程，故B正确对于C，若，则，，故C正确；对于D，，，.，解得或，经检验可得或都是方程的解，故D错误；故选：BC11.的内角的对边分别为，若，则（）A. B.C.角A最大值为 D.面积的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】由平面向量的数量积计算可得A，由余弦定理可得B，由基本不等式及余弦定理可判断C，结合条件可得，由项判定的范围即可.【详解】由，故A正确；由余弦定理结合A项可得，故B正确；由上结合基本不等式及余弦定理有故，而，单调递减，所以由，当且仅当时取得最大值，故C正确；由上可得，又，所以，故D错误.故选：ABC三、填空题:本题包括3小题，每小题5分，共15分.12.河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_______m/s．【答案】【解析】【分析】“垂直于河岸方向10m/s的速度”是实际的速度，在数学中相当是和向量．“河水的流速为2m/s”是其中一个分向量，静水速度是另一个分向量．即10是和向量，是对角线，另外两个分向量是平行四边形的边长为2的边与对角线垂直，求另一边就是本题的静水速度．【详解】为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2=2m/s平行于河岸；静水速度与河水速度的合速度v=10m/s指向对岸．∴静水速度v1=m/s．故答案为．【点睛】本题考查小船静水速度的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的加法法则的合理运用．13.若单位向量，满足，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】根据向量垂直，即可得，即可求解.【详解】由可得，故，故，由于，故，故答案为：.14.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________．【答案】##【解析】【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案.【详解】．因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以．又B，P，N三点共线，所以，．故答案为：四、解答题:本题包括5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.在中角、、所对边、、满足，，，求的值.【答案】【解析】【分析】由条件结合余弦定理化角为边，解方程可求结论.【详解】由得，所以，所以，又，，所以，所以或（舍）16.已知向量，．（1）求的坐标及；（2）若与共线，求实数的值．【答案】（1）（2）1或【解析】【分析】（1）由向量坐标的线性运算以及模的坐标公式即可得解.（2）由向量平行的充要条件列出方程即可得解.【小问1详解】由题意，，所以，所以.【小问2详解】由题意与平行，所以当且仅当，化简得，解得，即实数的值为1或-1.17.已知向量，满足，，且，的夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值；【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）由数量积的定义以及运算律即可求解.（2）由数量积的定义以及运算律即可列方程求解.【小问1详解】.【小问2详解】因，所以，即，也即，所以，解得.18.已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．（1）求实数的值；（2）若，，求的坐标；（3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据已知可得，结合三点共线可得，列方程组求参数即可；（2）根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可；（3）根据平行四边形中的坐标表示列方程组求解即可.小问1详解】因为，，所以，因为三点共线，所以存在实数使得，即，又因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得.【小问2详解】由（1）可知，，所以，若，，则.【小问3详解】由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得，设