湖南省多校联考2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题B1（原卷版+解析版）

高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B.10 C. D.132.已知为抛物线上一点，为焦点，点到轴的距离为，则（）A. B. C. D.3若集合，，则（）A. B. C. D.4.把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A. B.C. D.5.已知等差数列的前项和为，且，，，则的公差的取值范围为（）A. B.C. D.6.函数图象上的点到直线的距离的最小值为（）A B. C. D.7.已知是偶函数，且在上单调递增，则（）A. B.C. D.8.已知圆O的半径为3，弦，D为圆O上一动点，则的最大值为（）A. B.9 C. D.18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2020至2024年我国国内生产总值及其增长速度如图所示，则（）A.2020至2024年我国国内生产总值逐年增长B.2020至2024年我国国内生产总值的30%分位数是1234029亿元C.2020至2024年我国国内生产总值年增长速度的极差是6.3%D.2020至2024年我国国内生产总值年增长速度的平均数大于5%10.已知正项等比数列的公比为，函数，则（）A.当时，无极值B.当时，的极小值点为C.当是递增数列时，在上单调递增D.当是递减数列时，在上单调递减11.已知椭圆离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（）A. B.的焦距为C.的最小值为1 D.的最大值为5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则______，______．13.已知正方体外接球的表面积与内切球的表面积之差为，则该正方体的棱长为________.14.设计一个五位的信息密码，每位数字均在中选取，则含有数字，且都只出现一次的信息密码有________个，含有数字，且只出现一次，与不相邻的信息密码有________个.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥中，平面，且，.（1）证明：（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.16.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判．（1）若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率；（2）若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列与数学期望．17.已知双曲线经过点，离心率为．（1）求的方程．（2）已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点．①若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程；②若经过点，且，求的方程．18.已知a，b，c分别为钝角三角形的三个内角A，B，C的对边，是的角平分线，且.（1）求；（2）若，求的最小值；（3）若为边（不包括A，C）上一点，与交于点，且，证明：是的内心.19.定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．（1）若函数和为“契合函数”，求的取值范围．（2）已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”．①求的取值范围；②若，证明：．

高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B.10 C. D.13【答案】A【解析】【分析】先根据虚数的运算法则化简，再根据复数的模的计算公式求出化简后复数的模.【详解】,所以.故选：A.2.已知为抛物线上一点，为的焦点，点到轴的距离为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设点，则，根据题意求出的值，再利用抛物线的定义可求得的值.【详解】对于抛物线，，可得，设点，则，因为点到轴的距离为，即，由抛物线的定义可得.故选：B.3.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，利用集合的包含关系与运算逐项判断即可.【详解】因为，则或，显然集合、没有包含关系，则A，B错误；又，，故C正确，D错误.故选：C.4.把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角函数平移规则即可求解.【详解】的图象向右平移个单位长度，可得：，故选：D5.已知等差数列的前项和为，且，，，则的公差的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式，将其转化为关于和的不等式.【详解】，则，得；，则，则，得，故公差的取值范围为.故选：A6.函数图象上的点到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过求与直线平行的切线到该直线的距离求解答案.【详解】由题意，，令，得（负值已舍去）．因为，所以曲线在点处的切线与直线平行．因为点到直线的距离为，所以所求最小值为．故选：C.7.已知是偶函数，且在上单调递增，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析函数在上的单调性，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出结果.【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，则该函数在上为减函数，因为，所以，，且函数在上为增函数，所以，，因为函数在上为减函数，则，故，且，所以，，故选：D.8.已知圆O的半径为3，弦，D为圆O上一动点，则的最大值为（）A. B.9 C. D.18【答案】C【解析】【分析】先将进行转化为模长和投影乘积，再结合几何图形的性质求出其最大值.【详解】设与的夹角为，根据向量数量积的定义可得.要使最大，只需要，也就是在方向的投影最大，如图所示，D为圆O上一动点(如等位置)，过点作于点，则，所以.已知，则.最大即可.此时,且切于圆.过点作于点，此时的最大值为（为圆的半径）.将的最大值代入，可得的最大值为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2020至2024年我国国内生产总值及其增长速度如图所示，则（）A.2020至2024年我国国内生产总值逐年增长B.2020至2024年我国国内生产总值的30%分位数是1234029亿元C.2020至2024年我国国内生产总值年增长速度的极差是6.3%D.2020至2024年我国国内生产总值年增长速度的平均数大于5%【答案】AC【解析】【分析】由条形图及折线图，结合百分位数、极差、平均数的计算逐项判断即可.【详解】对于A，由条形图易知2020至2024年我国国内生产总值逐年增长，正确；对于B：由，可知：第30%分位数是第2个数1173823，错误；对于C：，正确；对于D：，错误，故选：AC10.已知正项等比数列的公比为，函数，则（）A.当时，无极值B.当时，的极小值点为C.当是递增数列时，在上单调递增D.当是递减数列时，在上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】求导，通过等比数列的性质，确定，，进而逐项判断即可.【详解】由题意可知：，，则，对于A：，则，即单调递增，无极值，A正确；对于B，，则，所以当或时，，当时，，所以在单调递增；在单调递减，所以在处取得极小值，B正确；对于C：当是递增数列时，，若，即，易知的解集为：，所以在单调递增，故C错误；对于D，当是递减数列时易知，所以的解集为：，即在上单调递减，D正确，故选：ABD11.已知椭圆的离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（）A. B.的焦距为C.最小值为1 D.的最大值为5【答案】AC【解析】【分析】先利用椭圆的几何性质，求得，得到，由椭圆的定义，可判定A正确；由椭圆的焦距为，可判定B不正确；由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，设点，求得，得到，结合二次函数的性质和圆的性质，可判定C正确，D不正确.【详解】由椭圆：的离心率为，可得，解得，所以，则，对于A中，由椭圆的定义，可得，所以A正确；对于B中，椭圆的焦距为，所以B不正确；对于C中，如图所示，圆，则圆心为，半径，设点，其中，则满足，可得，则，当时，取得最小值，，此时，所以C正确；当时，取得最大值，，此时，所以D不正确.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则______，______．【答案】①.3②.【解析】【分析】根据商数关系及正切的二倍角公式求解即可.【详解】由，解得，则.故答案为：3；.13.已知正方体外接球的表面积与内切球的表面积之差为，则该正方体的棱长为________.【答案】【解析】【分析】先分别找出正方体外接球半径、内切球半径与正方体棱长关系，再根据球的表面积公式求出外接球表面积与内切球表面积，最后根据它们的表面积之差列出方程求解正方体的棱长.【详解】设正方体的棱长为.正方体外接球的直径等于正方体的体对角线长.正方体的体对角线长为，所以外接球半径.正方体内切球的直径等于正方体的棱长，所以内切球半径.正方体外接球的表面积.正方体内切球的表面积.已知正方体外接球的表面积与内切球的表面积之差为，则.解得或（棱长不能为负舍去）.故答案为：.14.设计一个五位的信息密码，每位数字均在中选取，则含有数字，且都只出现一次的信息密码有________个，含有数字，且只出现一次，与不相邻的信息密码有________个.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空先从个数位选择个数位分别排，剩余的个数位上的数字从剩余的个数字中进行选择，每个数位有种选择，结合分步乘法计数原理可得结果；第二空，分当均只出现次，当只出现次出现次或只出现次出现次，当只出现次出现次或只出现次出现次和均出现次，四种情况讨论，即可求解.【详解】先从个数位选择个数位分别排，剩余的个数位上的数字从中选择，每个数位有种选择，由分步乘法计数原理可知，满足条件的信息码的个数为，当均只出现次，且与不相邻，信息码的个数为，当只出现次出现次或只出现次出现次，且与不相邻，信息码的个数为，当只出现次出现次或只出现次出现次，且与不相邻，信息码的个数为，当均出现次，且与不相邻，信息码的个数为，由分步计数原理知，符合条件的信息码的个数为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥中，平面，且，.（1）证明：.（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由勾股定理得到，进而求证平面，即可；（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解.【小问1详解】由，，可得，所以，又平面，在平面内，所以，且为平面内两条相交直线，所以平面，在平面内，所以.【小问2详解】由（1）以为坐标原点，为轴建系，易得：，设平面的法向量为,则，即，设，可得：，即，易知平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则.16.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判．（1）若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率；（2）若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）分布列答案见解析，【解析】【分析】（1）若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢，或者第一局甲输，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.【小问1详解】若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢，或者第一局甲输，则甲第三局必定参加比赛，故所求概率为.【小问2详解】由题意可知，的可能取值有、、，若，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以，，若，则第二、三局均为丙赢，所以，，若，则前三局没有人累计胜两局，必须进行第四局，第四局后无论胜负都有人累计获胜两局，所以，，所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，.17.已知双曲线经过点，离心率为．（1）求的方程．（2）已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点．①若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程；②若经过点，且，求的方程．【答案】（1）（2）①；②或或【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程；（2）①设点、，设点，设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，进而可得出点的轨迹方程；②分三种情况讨论，与轴重合、轴、直线的斜率存在且不为零，前两种情况直接验证即可；在第三种情况下，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线方程联立，求出线段的中点，分析可知，结合斜率关系可求出的值，综合可得出直线的方程.【小问1详解】由题意可得，解得，故双曲线的方程为.【小问2详解】①设点、，设点，设直线的方程为，联立可得，则，由韦达定理可得，可得，则，即点的轨迹方程为；②易知点、，若直线与轴重合，则、为双曲线顶点，显然，不合乎题意；若直线轴，由对称性可知，点、关于轴对称，则；当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，设点、，联立可得，由题意可得，解得，由韦达定理可得，，所以，线段的中点为，若，则，，，所以，，解得.综上所述，直线的方程为或或.18.已知a，b，c分别为钝角三角形的三个内角A，B，C的对边，是的角平分线，且.（1）求；（2）若，求的最小值；（3）若为边（不包括A，C）上一点，与交于点，且，证明：是的内心.【答案】（1）（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）（方法一）利用三角降幂公式与和差化积公式，以及和差的余弦公式即可求得；（方法二）由正、余弦定理与和角公式化简题设条件，推得，求出的值即得；（2）由三角形面积相等推得，利用基本不等式“1”的妙用即可求得；（3）设，，，，，利用正弦定理，结合题设条件，经推理化简得到即可证明结论.【小问1详解】（方法一）由题意得，得，则.由，得，即整理得.由，得，因，则.（方法二）由正余弦定理得，得.因，两式相加，可得，因，则，得.因为钝角三角形，则，得，因，则.【小问2详解】由（1）结论和题意得由，可得，化简得，即.因为，当且仅当时，等号成立.故的最小值为4.【小问3详解】设，，，，.在和中，由正弦定理得，，可得.在中，由正弦定理得.又由，得，则，得.因为，所以，即.由，可得在中，，在和中，由正弦定理得，得，故，即化简得，即，则是的角平分线，故是的内心.19