直角三角形第2课时直角三角形全等的判定

第一章三角形的证明2直角三角形第2课时直角三角形全等的判定目录CONTENTSA知识分点练B能力综合练C拓展探究练知识点1

用“HL”判定直角三角形全等1.如图，O是∠BAC内一点，点O到AB，AC的距离分别为OE，

OF，且OE＝OF，则△AEO≌△AFO的依据是（

A

）

A.HLB.AASC.SASD.ASAA1234567891011122.如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD.

若∠1＝30°，则∠2＝（

C

）A.40°B.50°C.60°D.75°C1234567891011123.（2024·西安校级月考）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝

90°，AC＝DE.

若要用“HL”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需

补充的条件是

⁠.BC＝EF（或BE＝FC）

1234567891011124.（2024·榆林校级月考）如图，点E，F在线段BD上，AF⊥BD，

CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF.

求证：AF＝CE.

123456789101112知识点2

用其他方法证明直角三角形全等5.如图，用纸板挡住直角三角形的一部分后，能画出与此直角三角

形全等的三角形，其全等的依据是（

C

）A.SSSB.SASC.ASAD.HLC1234567891011126.（教材P35复习题T13变式）如图，∠BAC＝90°，∠CDB＝90°，

AC，BD相交于点O.

（1）已知AB＝DC，AC＝DB，利用

⁠可以判定

△ABC≌△DCB；（2）已知AB＝DC，OA＝OD，利用

⁠可以判定

△ABO≌△DCO；SSS

SAS

123456789101112（3）已知AC＝BD，利用

可以判定△ABC≌△DCB；（4）已知AO＝DO，利用

可以判定△ABO≌△DCO；（5）已知AB＝DC，利用

可以判定△ABO≌△DCO.

（答案不唯一，合理即可）HL

ASA

AAS

123456789101112知识点3

“HL”在实际问题中的应用7.（教材P20例题变式）如图，有两个长度相等的滑梯（即BC＝

EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.有下列

结论：①AB＝DE；②∠ABC＋∠DFE＝90°；③∠ABC＝∠DEF.

其中正确的有（

C

）A.1个B.2个C.3个D.0个C123456789101112

8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列直

角三角形与Rt△ABC全等的是（

A

）

AA B

C

D1234567891011129.（教材P21习题T3变式）用三角尺按下面的方法画角平分线：如图，

在∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ON，再分别过点M，N

作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB.

作法

中证明△OMP与△ONP全等的依据是（

D

）A.SASB.SSSC.ASAD.HLD12345678910111210.如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q分别

在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝

⁠

时，△ABC与△APQ全等.5或

10

12345678910111211.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上

一点，点E在边BC上，且AE＝CF.

（1）求证：BE＝BF；解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AB＝CB，AE＝CF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴BE＝BF.

123456789101112（2）若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数.

（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－22°＝23°.由（1），知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝23°，

∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝23°＋45°＝68°.123456789101112变式题

12.

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点

C，过A，B两点分别作

AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D，E.

（1）如图1，当直线MN在△ABC外部时，求证：DE＝AD＋BE；123456789101112解：（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°.又∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠ECB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB.

在△ADC和△CEB中，∵∠ADC＝∠CEB，∠DAC＝∠ECB，AC＝CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE.

∵DE＝CD＋CE，∴DE＝AD＋BE.

123456789101112（2）如图2，当直线MN经过△ABC内部时，请写出线段AD，DE，

BE之间的数量关系，并证明.（2）DE＝AD－BE.

证明：同理可证得△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE.

∵DE＝CE－CD，∴DE＝AD－BE.

123456789101112谢谢观看第11题变式变式1如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF

＝AC，DF＝DC.

（1）求证：△BDF≌△ADC；

（2）已知AC＝5，DF＝3，求AF的长.（2）∵BF＝AC，AC＝5，∴BF＝5.∵DF＝3，∴DC＝3.

变式2如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC上一点，连接

BE交AD于点F，BF＝AC，DF＝DC.

（1）求证：△BDF≌△ADC；解：（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°.∵BF＝AC，DF＝DC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.（2）求证：BE⊥AC；（2）证明：∵Rt△BDF≌Rt△ADC，∴∠BFD＝∠C.

∵∠DBF＋∠BFD＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∴BE⊥AC.

（3）若BD＝4，CD＝3，求BE的长.（