2025年河南省鹤壁市高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年河南省鹤壁市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x||x|≤1}，B={x|x2−4x≤0}，则A∩B=A.[0,1] B.[−1,4] C.[−1,0] D.[1,4]2.若复数(2+i)(a+i)在复平面内对应的点位于y轴上，则实数a=(

)A.−2 B.−12 C.123.已知向量a=(1,3)，b=(−2,4)，则b在a上的投影向量的长度为(

)A.5 B.10 C.10 4.如图，曲线AOB是抛物线C：x2=4y的一部分，且曲线AOB关于y轴对称，|AB|=4，则点B到C的焦点的距离为(

)A.4 B.3 C.2 D.15.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2A.2+3 B.2−3 C.6.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12π，则侧面BA.12π B.16π C.20π D.24π7.为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为(

)A.16 B.320 C.1108.已知a>0且a≠1，若函数f(x)=log(a+2)x−logax与g(x)=(a+2)xA.(0,3−1) B.(2−1,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.有一组样本数据a，b，c，d，其中a>b>c>d，由这组数据得到的新样本数据为a−2，b−2，c+2，d+2，则(

)A.两组数据的极差一定相等 B.两组数据的平均数一定相等

C.两组数据的中位数可能相等 D.两组数据的方差不可能相等10.已知F1，F2分别是双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点，斜率为15且过点F2的直线交C的右支于A.点F1到C的渐近线的距离为3

B.|AB|=10

C.C的离心率为2

D.分别以BF111.塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有tanℎ(x)=ex−e−xex+e−x，sig(x)=exA.E⊆D

B.i=12025[sig(i)+sig(−i)]=2025

C.方程2sig(x)=1+tanx的所有实根之和为1

D.若关于x的不等式sig(e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为______．13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A的平分线AE交BC于点E，且AE=23，c=1，b=2，则a=______．14.记[x]表示不超过x的最大整数.若正项数列{an}满足an2+2n⋅四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}满足2a2+a3=0，a4=10，数列{bn}的首项为9，且{an+bn16.(本小题15分)

甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是14，乙每次击中目标的概率是12，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．

(Ⅰ)求甲恰好比乙多击中目标2(Ⅱ)设甲击中目标的次数为X，求X的分布列和数学期望．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=aex．

(Ⅰ)当a≥1e时，证明：f(x)≥lnx+1；

(Ⅱ)当a>0时，若函数ℎ(x)=f(x)−sinx−a在区间(0,π18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为23．

(Ⅰ)求C的方程．

(Ⅱ)若C上的两点(x1,y1)，(x2,y2)满足y1y2x1x2=−b2a2，则称点(x1,y1)，(x2,y2)为C19.(本小题17分)

球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图(1)，球O的半径R=3，A，B，C，D为球O的球面上的四点．

(Ⅰ)若球面三角形ABC的三条边长均为3π3，求此球面三角形一个内角的余弦值．

(Ⅱ)在球O的内接三棱锥D−ABC中，DB⊥平面ABC，AB：AC：BC=3：2：1，直线DC与平面ABC所成的角为π3．

(i)若M，N分别为直线AD，BC上的动点，求线段MN长度的最小值；

(ii)如图(2)，若P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点(与点

参考答案1.A

2.C

3.B

4.C

5.D

6.B

7.A

8.D

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.π313.714.10101

15.解：等差数列{an}满足2a2+a3=0，a4=10，数列{bn}的首项为9，且{an+bn}是公比为2的等比数列．

(Ⅰ)设数列{an}的公差为d，

由题可得2a2+a3=3a1+4d=0a4=a1+3d=10，解得a1=−8d=6，

所以an=a1+(n−1)d=−8+6(n−1)=6n−14，

即数列{an}的通项公式为an=6n−14．

(Ⅱ)因为b1=9，a1=−8，所以a1+b1=1，又an=6n−14，

由题知an+bn=6n−14+bn=1⋅2n−1=2n−1，得到bn=2n−1−6n+14，

所以bn+1−bn=2n−1−6，当n=1X0123P272791故E(X)=0×2717.解：(Ⅰ)证明：要证不等式f(x)≥lnx+1，即证aex≥lnx+1．

当a≥1e时，aex≥exe，可以考虑证明exe≥lnx+1，

令函数g(x)=exe−lnx−1,x∈(0,+∞)，那么导函数g′(x)=exe−1x，

易知导函数g′(x)在(0,+∞)上单调递增，且g′(1)=0，

那么当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

当0<x<1时，导函数g′(x)<0，函数g(x)单调递减，

所以x=1是函数g(x)的极小值点，也是最小值点，

所以当x>0时，g(x)≥g(1)=0，所以exe≥lnx+1，

所以当a≥1e时，函数f(x)≥lnx+1．

(Ⅱ)根据题可知函数ℎ(x)=f(x)−sinx−a=aex−sinx−a，

那么导函数ℎ′(x)=aex−cosx．

如果a≥1，当x∈(0,π2)时，aex>1，cosx∈(0,1)，所以ℎ′(x)>0，

那么函数ℎ(x)在区间(0,π2)上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去．

如果0<a<1，设函数φ(x)=aex−cosx，那么导函数φ′(x)=aex+sinx>0在区间(0,π2)上恒成立，

所以函数φ(x)在区间(0,π2)上单调递增，所以导函数ℎ′(x)在区间(0,π2)上单调递增，

又ℎ′(0)=a−1<0,ℎ′(π2)=aeπ2>0，所以ℎ′(x)在区间(0,π2)上有唯一的零点x0，

当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(x0,π2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，

所以ℎ(x)在区间(0,π2)内有唯一的极值点，符合题意．

综上，实数a的取值范围是(0,1)．

18.解：(Ⅰ)设C的半焦距为c(c>0)，

因为的离心率为12，短轴长为23，

所以ca=122b=23a2=b2+c2，

解得a=2，b=3，c=1，

则椭圆C的方程为x24+y23=1．

(Ⅱ)(i)证明：易知(1,32)，

设点A在C上的伴点的坐标为(x,y)，

此时3y2x=−34，

即x+2y=0，

所以点A在C上的伴点在直线x+2y=0上，

联立x+2y=0x24+y23=1，

解得x=3y=−32或x=−3y=32，

所以点A在C上所有伴点的坐标分别为(19.解：(Ⅰ)因为球面三角形ABC的三条边长均为3π3,R=3，

所以球面三角形每条边所对的圆心角均为π3，所以四面体OABC为正四面体，

取OA的中点E，连接BE，CE，

则BE⊥OA，CE⊥OA，且BE=CE=32，

则∠BEC为二面角B−AO−C的平面角，

由余弦定理可得cos∠BEC=BE2+CE2−BC22BE⋅CE=94+94−32×94=13，

所以此球面三角形一个内角的余弦值为13；

(Ⅱ)因为DB⊥平面ABC，所以DB⊥AC，DB⊥AB，

设BC=a(a>0)，则AB=3a,AC=2a,BD=3a，所以AD=6a，

由勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又BD∩BC=B，

所以AC⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AC⊥CD，

因为直线DC与平面ABC所成的角为π3，所以∠DCB=π3，

易知在Rt△ACD和Rt△ADB中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等，

即AD为球O的直径，所以AD=6a=23,a=2，

以点C为坐标