河南省鹤壁市2025年高考数学二模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省鹤壁市2025年高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x||x|≤1}，B={x|x2−4x≤0}，则A∩B=A.[0,1] B.[−1,4] C.[−1,0] D.[1,4]2.若复数(2+i)(a+i)在复平面内对应的点位于y轴上，则实数a=(

)A.−2 B.−12 C.123.已知向量a=(1,3)，b=(−2,4)，则b在a上的投影向量的长度为(

)A.5 B.10 C.10 4.如图，曲线AOB是抛物线C：x2=4y的一部分，且曲线AOB关于y轴对称，|AB|=4，则点B到C的焦点的距离为(

)A.4 B.3 C.2 D.15.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2A.2+3 B.2−3 C.6.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12π，则侧面BA.12π B.16π C.20π D.24π7.为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为(

)A.16 B.320 C.1108.已知a>0且a≠1，若函数f(x)=log(a+2)x−logax与g(x)=(a+2)xA.(0,3−1) B.(2−1,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.有一组样本数据a，b，c，d，其中a>b>c>d，由这组数据得到的新样本数据为a−2，b−2，c+2，d+2，则(

)A.两组数据的极差一定相等 B.两组数据的平均数一定相等

C.两组数据的中位数可能相等 D.两组数据的方差不可能相等10.已知F1，F2分别是双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点，斜率为15且过点F2的直线交C的右支于A.点F1到C的渐近线的距离为3

B.|AB|=10

C.C的离心率为2

D.分别以BF111.塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有tanℎ(x)=ex−e−xex+e−x，sig(x)=exA.E⊆D

B.i=12025[sig(i)+sig(−i)]=2025

C.方程2sig(x)=1+tanx的所有实根之和为1

D.若关于x的不等式sig(e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为______．13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A的平分线AE交BC于点E，且AE=23，c=1，b=2，则a=______．14.记[x]表示不超过x的最大整数.若正项数列{an}满足an2+2n⋅四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}满足2a2+a3=0，a4=10，数列{bn}的首项为9，且{an+b16.(本小题15分)

甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是14，乙每次击中目标的概率是12，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．

(Ⅰ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；

(Ⅱ)设甲击中目标的次数为X，求X的分布列和数学期望．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=aex．

(Ⅰ)当a≥1e时，证明：f(x)≥lnx+1；

(Ⅱ)当a>0时，若函数ℎ(x)=f(x)−sinx−a在区间(0,π18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为23．

(Ⅰ)求C的方程．

(Ⅱ)若C上的两点(x1,y1)，(x2,y2)满足y1y2x1x2=−b2a2，则称点(x1,y1)，(x2,y2)为C19.(本小题17分)

球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图(1)，球O的半径R=3，A，B，C，D为球O的球面上的四点．

(Ⅰ)若球面三角形ABC的三条边长均为3π3，求此球面三角形一个内角的余弦值．

(Ⅱ)在球O的内接三棱锥D−ABC中，DB⊥平面ABC，AB：AC：BC=3：2：1，直线DC与平面ABC所成的角为π3．

(i)若M，N分别为直线AD，BC上的动点，求线段MN长度的最小值；

(ii)如图(2)，若P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点(与点B

答案解析1.【答案】A

【解析】解：由题可得：A={x|−1≤x≤1}，B={x|0≤x≤4}，

所以A∩B={x|0≤x≤1}．

故选：A．

分别解出满足集合A，B的不等式，再去求两集合的交集．

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】C

【解析】解：因为(2+i)(a+i)=2a−1+(a+2)i在复平面内对应的点位于y轴上，

所以2a−1=0，即a=12．

故选：C．

根据复数的乘法运算和几何意义，计算即可．3.【答案】B

【解析】解：向量a=(1,3)，b=(−2,4)，

则a⋅b=−2+12=10，|a|=1+9=10，

则b在a上的投影向量的长度为4.【答案】C

【解析】解：已知曲线AOB是抛物线C：x2=4y的一部分，且曲线AOB关于y轴对称，|AB|=4，

则C的焦点坐标为(0,1)，点B(2,1)，

所以点B到C的焦点的距离为2．

故选：C．

求出点B坐标，进而可得解．5.【答案】D

【解析】解：因为函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x=π3对称，

所以2×π3+φ=kπ+π2,k∈Z，则φ=kπ−π6,k∈Z，

6.【答案】B

【解析】解：由题意直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，

该棱柱外接球的表面积为12π，

可知三棱柱两个底面三角形的外接圆的圆心分别为B1C1，BC的中点，BC=B1C1=22．

设外接球的半径为R，则4πR2=12π,R=3，

所以(CC127.【答案】A

【解析】解：由题意可知，六个节目总的排序有A66=720种，

歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的情况有22A55AA22=120种，

8.【答案】D

【解析】解：由题意a>0且a≠1，若函数f(x)=log(a+2)x−logax与g(x)=(a+2)x+ax在区间(0,+∞)上都单调递增，

可知f(x)=lnxln(a+2)−lnxlna=[1ln(a+2)−1lna]lnx，

因为f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，所以1ln(a+2)−1lna>0，

即1ln(a+2)>1lna，当a>1时，有ln(a+2)<lna，即2<0，不成立，

当0<a<1时，有ln(a+2)>0>0，lna<0，则1ln(a+2)>1lna成立，

所以0<a<1；

又g(x)=(a+2)x+a9.【答案】BC

【解析】对于A，假设原样本数据为5，4，2，1，满足a>b>c>d，

则新样本数据为3，2，4，3，两组数据的极差不相等，错误；

对于B，因为a−2+b−2+c+2+d+2=a+b+c+d，所以两组数据的平均数一定相等，正确；

对于C，由A中的数据可知两组数据的中位数可能相等，正确；

对于D，假设原样本数据为4，3，2，1，满足a>b>c>d，

则新样本数据为2，1，4，3，这两组数据一样，故方差可能相等，错误．

故选：BC．

举反例，如数据为5，4，2，1判断A、C；如数据为4，3，2，1判断D，根据平均数的定义判断B．

本题主要考查统计的知识，属于基础题．10.【答案】ACD

【解析】解：已知F1，F2分别是双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点，斜率为15且过点F2的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且|AF1|=|AB|，

双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)，则a=1，

对于A，C，连接BF1，由题意得tan∠BF2F1=15，∠BF2F1为锐角，

所以sin∠BF2Fcos∠BF2F=15sin2∠BF2F+cos2∠BF2F=1，

解得cos∠BF2F1=14,sin∠BF2F1=154，

由于|AF1|=|AB|，所以|BF2|=|AB|−|AF2|=|AF1|−|AF2|=2a=2，

又|BF1|−|BF2|=2a=2，故|BF1|=4，

设|F1F2|=2c(c>0)，

在△F1F2B中，由余弦定理可得|BF1|2=|11.【答案】ABD

【解析】解：对于选项A，由于tanℎ(x)=ex(ex−e−x)ex(ex+e−x)=e2x−1e2x+1=1−2e2x+1，

因此函数tanℎ(x)在R上为增函数，且函数tanℎ(x)的值域为(−1,1)=D，

又因为sig(x)=ex1+ex=11+e−x∈(0,1)=E，因此E⊆D，所以选项A正确；

对于选项B，由于sig(x)+sig(−x)=ex1+ex+e−x1+e−x=ex1+ex+11+ex=1，

因此i=12025[sig(i)+sig(−i)]=2025，所以选项B正确；

对于选项C，由于2sig(x)=1+tanx，因此sig(x)=12+12tanx，

根据B知函数sig(x)图象关于点(0,12)对称，又因为y=12+1212.【答案】π3【解析】解：根据题意可知，圆锥的表面积与底面积的比值为3，

设圆锥的底面半径为r，母线长为l，母线与底面所成的角为θ，

则πr2+πrlπr2=1+lr=3，则lr=2，所以cosθ=rl=13.【答案】7【解析】解：因为∠A的平分线AE交BC于点E，且AE=23，c=1，b=2，

由面积相等可得12bcsinA=12b⋅AEsinA2+12c⋅AEsinA2，

即2×1×sinA=(2×23+1×23)sinA2，

即2×2sinA14.【答案】10101

【解析】解：因为正项数列{an}满足an2+2n⋅an−3n=0，

所以(an+3n)(an−n)=0，an+3n>0，

所以an=n，则i=1n21ai=11+12+115.【答案】(Ⅰ)an=6n−14；

(Ⅱ)数列{bn}【解析】解：等差数列{an}满足2a2+a3=0，a4=10，数列{bn}的首项为9，且{an+bn}是公比为2的等比数列．

(Ⅰ)设数列{an}的公差为d，

由题可得2a2+a3=3a1+4d=0a4=a1+3d=10，解得a1=−8d=6，

所以an=a1+(n−1)d=−8+6(n−1)=6n−14，

即数列{an}的通项公式为an=6n−14．

(Ⅱ)因为b1=9，a1=−8，所以a1+b1=1，又an=6n−14，

由题知16.【答案】(Ⅰ)3128；

(Ⅱ)分布列见解析，E(X)=【解析】解：(Ⅰ)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件B1，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件B2，

因为甲每次击中目标的概率是14，乙每次击中目标的概率是12，

所以P(A)=P(B1)+P(B2)=C32(14)2(34)1×C30(12)3+X0123P272791故E(X)=0×2764+1×2764+2×964+3×164=34．

(Ⅰ)甲恰好比乙多击中目标2次，包括甲恰好击中目标2次且乙恰击中目标017.【答案】(Ⅰ)证明见解析．

(Ⅱ)(0，1)．

【解析】解：(Ⅰ)证明：要证不等式f(x)≥lnx+1，即证aex≥lnx+1．

当a≥1e时，aex≥exe，可以考虑证明exe≥lnx+1，

令函数g(x)=exe−lnx−1,x∈(0,+∞)，那么导函数g′(x)=exe−1x，

易知导函数g′(x)在(0,+∞)上单调递增，且g′(1)=0，

那么当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

当0<x<1时，导函数g′(x)<0，函数g(x)单调递减，

所以x=1是函数g(x)的极小值点，也是最小值点，

所以当x>0时，g(x)≥g(1)=0，所以exe≥lnx+1，

所以当a≥1e时，函数f(x)≥lnx+1．

(Ⅱ)根据题可知函数ℎ(x)=f(x)−sinx−a=aex−sinx−a，

那么导函数ℎ′(x)=aex−cosx．

如果a≥1，当x∈(0,π2)时，aex>1，cosx∈(0,1)，所以ℎ′(x)>0，

那么函数ℎ(x)在区间(0,π2)上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去．

如果0<a<1，设函数φ(x)=aex−cosx，那么导函数φ′(x)=aex+sinx>0在区间(0,π2)上恒成立，

所以函数φ(x)在区间(0,π2)上单调递增，所以导函数ℎ′(x)在区间(0,π2)上单调递增，

又ℎ′(0)=a−1<0,ℎ′(π2)=aeπ218.【答案】(Ⅰ)x24+y23=1；

【解析】解：(Ⅰ)设C的半焦距为c(c>0)，

因为的离心率为12，短轴长为23，

所以ca=122b=23a2=b2+c2，

解得a=2，b=3，c=1，

则椭圆C的方程为x24+y23=1．

(Ⅱ)(i)证明：易知(1,32)，

设点A在C上的伴点的坐标为(x,y)，

此时3y2x=−34，

即x+2y=0，

所以点A在C上的伴点在直线x+2y=0上，

联立x+2y=0x24+y23=1，

解得x=3y=−32或x=−3y=32，

所以点A在C上所有伴点的坐标分别为(3,−32),(−3,32)，

则点A在C上共有两个伴点；

(ii)设M(xM,yM)，N(xN,yN)，

因为M，N两点均在椭圆上，

所以xM24+yM23=1xN24+yN23=1，

两式相减得(xM−xN)(xM+xN)4+(yM−yN)(yM+yN)3=0，

因为yM−yNxM−xN=32，

所以(xM+xN)+2(19.【答案】(Ⅰ)13；

(Ⅱ)(i)2【解析】解：(Ⅰ)因为球面三角形ABC的三条边长均为3π3,R=3，

所以球面三角形每条边所对的圆心角均为π3，所以四面体OABC为正四面体，