2024-2025学年天津市高二下册第一次（3月）月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年天津市高二下学期第一次（3月）月考数学检测试题一、单选题(本大题共9小题，共36.0分)1.曲线在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程.【详解】因为，所以曲线在点处斜率为4，所以曲线在点处的切线方程是，即，故选：B2.已知曲线在点处的切线方程为，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据导数的几何意义，进行求解即可．【详解】已知曲线在点处的切线方程为，∴，切线的斜率k＝-2，即，则.故选：A本题主要考查导数的计算，根据导数的几何意义，以及切线与曲线之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．3.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】结合导函数图象确定正确选项.【详解】函数的极小值点需满足左减右增，即且左侧，右侧，由图可知，一共有个点符合.故选：A4.从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有（）A.9个 B.12个 C.15个 D.18个【正确答案】B【分析】由排列数即可求解；【详解】由题意可知：从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有；故选：B5.6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（）A.720 B.360 C.240 D.120【正确答案】C【分析】先将甲乙捆绑在一起，然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得.【详解】先将甲､乙两人排成一排共种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有种排法.故选：C6.直线与函数的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】先用导数法研究函数的单调性与极值，结合数形结合方法即可求解【详解】因为，所以，令，解得或，由，解得或，由，解得，所以在上递增，在递减，在递增，当时，取得极大值且为，当时，取得极小值且为，因为直线与函数的图象有三个不同的交点，所以实数的取值范围为，故选：A7.某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法A. B. C. D.【正确答案】C【详解】利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有，其中包括了没选物理、化学、生物中任意一科与没选政治、历史、地理中任意一科，这两种选法均有，因此考生共有多少种选考方法有种．8.下列函数中，在内为增函数的是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】选项A根据正弦函数的性质进行判断，选项BCD通过导数进行判断即可.【详解】A：因为当时，函数单调递减，故本选项不符合题意；B：，因为时，，所以函数在内为增函数，故本选项符合题意；C：，当时，，此时函数单调递减，故本选项不符合题意；D：，当时，，此时函数单调递减，故本选项不符合题意，故选：B9.若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】分离参数，构造新函数，转化为与新函数最值关系，利用导数求出新函数最值，即可得出结论.【详解】关于的不等式在上有解，即在上有解，设，，恒成立，即在上为增函数，.故选：C.本题考查不等式能成立问题、应用导数求函数的最值，分离参数构造函数是解题的关键，属于中档题.二、单空题(本大题共6小题，共24.0分)10.计算：______．【正确答案】9【分析】根据题意，由组合数和排列数公式计算可得答案．【详解】根据题意，4×3＝21﹣12＝9，故911.已知，则函数的最大值为____________【正确答案】【分析】求导，确定函数单调性，即可求解；【详解】由，得，由f′x=3x2由，可得：，即在单调递减，所以在单调递减，所以最大值为：，故12.已知，则_______【正确答案】【分析】求出函数的导函数，代入求值即可.【详解】由，得，把代入得：，解得.故答案为.13.6名学生，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，剩下1人既会唱歌又会跳舞，选出2人唱歌2人跳舞，共有______种不同的选法.（请用数学作答）【正确答案】12【分析】根据既会唱歌又会跳舞那1个人未选中和选中分类，选中后又选为唱歌还是跳舞再分类求解．【详解】根据既会唱歌又会跳舞的那1个人未选中，选中唱歌，选中跳舞分类：．故12.本题考查组合的应用，解题关键是多面手的安排．可按多面手的作用分类：未选中多面手，选中多面手后安排做一种工作．再确定其它要选的人数．14.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是_________．【正确答案】【分析】先求导，若函数有三个单调区间，则只需满足有两个不等的实根.【详解】∵函数，∴，由函数恰好有三个单调区间，得有两个不相等的零点，∴有两个不相等的实数根，则只需满足：，解得且.即，故答案为.本题考查导数与函数单调性的关系，较简单，解答时将问题灵活转化是关键.15.若函数在区间上是单调递增函数，则实数取值范围是_____________________________．【正确答案】【详解】，令，得，即函数的单调递增区间为，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得；故填.点睛：已知函数在所给区间上单调递增，求有关参数的取值范围，往往采用以下两种方法：①求出函数的单调递增区间，通过所给区间是该函数的单调递增区间的子集进行求解；②将问题转化为在所给区间上恒成立进行求解.三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)16.已知函数在处有极值（1）求实数a、b的值;（2）求函数在上的最值.【正确答案】（1）（2），．【分析】（1）由求解即可；（2）求导确定函数单调性，即可求解；【小问1详解】由题意得，定义域为因为在处有极值，所以，解得；经验证符合题意；【小问2详解】由(1)，所以，，令，在定义域内解得，当时，，所以单调递减；当时，，单调递增，当，，易得，所以当时，，．17高二年级(1)班有6人参加数学小组，(2)班有5人参加物理小组，(3)班有4人参加化学小组，问：（1）选其中1人担任数理化小组组长，有多少种不同的选法?（2）每班选1人参加全国数理化竞赛，有多少种不同的选法?（3）选取其中两人参加不同的学科竞赛，有多少种不同的选法?【正确答案】（1）15（2）120（3）74【分析】（1）由分类加法计数原理即可求解；（2）由分步乘法计数原理即可求解；（3）先分类再分步即可求解；【小问1详解】选其中1人担任数理化小组组长，可以来自数学或物理或化学，所以共有种选法；【小问2详解】分三步完成，第一步数学选1人，6种，第二步物理选1人，5种，第三步化学选1人，4种，所以共有种；【小问3详解】来自数学、物理共有，来自数学化学共有，来自物理化学共有，所以总共由种选法；18.已知函数其中a为实数.（1）当时，求曲线)在点处的切线方程;（2）求函数的单调区间；（3）若函数有且仅有一个零点，求a的取值范围.【正确答案】（1）（2）函数的单调递增区间是，；单调递减区间是；（3）【分析】（1）求导，确定斜率即可求解；（2）由和即可求解；（3）求得极值，通过极大值小于0，或极小值大于0，求解即可；【小问1详解】当时，，所以，，所以，所以切线方程为：，即；【小问2详解】由f′x=3x2由，可得：，所以函数的单调递增区间是，；单调递减区间是；【小问3详解】由（2）知极大值为：，极小值为：，当，故若函数有且仅有一个零点，需满足：或，解得：或，即a的取值范围是；19.已知函数的图像在点处的切线方程为.（1）求的表达式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【正确答案】（1）；（2）.【分析】(1)根据题干和导数的几何意义得到，解得，，解得，从而得到解析式；（2）原式等价于，令，对函数求导得到函数的单调性，进而得到最值.【详解】（1），，解得，，解得，所以.（2）当时，，即.令，则.令，，当时，单调递增，，则当时，即，所以单调递减；当时，即，所以单调递增，综上，，所以.对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．20.设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.【正确答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.详解：解：（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二.（1）当a=0时，令得x=1.随x变化情况如下表：x1+0−↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：x1+0−0+↗极大值↘极小值↗∴在x=1处取得极大值，不合题意.③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：x+0−0+↗极大值↘极小值↗∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：x−0+0−↘极小值↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.点睛：导数类问题是高考数