2024-2025学年广东省汕头市高二下册3月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省汕头市高二下学期3月月考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据对数函数的单调性解不等式得到集合，然后求交集.【详解】由，解得，所以.故选：B.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正确答案】A【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.【详解】在复平面内对应的点为，∴在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.3.已知，若，则a的值为（）A. B. C.1 D.或1【正确答案】C【分析】根据两直线平行的公式求解即可.【详解】若，则，即，解得或.当时，满足；当时，重合；故故选：C4.已知函数在处有极大值，则c的值为（）A.2 B.6 C.2或6 D.0【正确答案】B【分析】求出函数的导数，利用导数为0求出值并验证即得.【详解】函数，求导得，依题意，，解得或，当时，，当时，，当时，，函数在处取得极小值，不符合题意；当时，，当时，，当时，，函数在处取得极大值，符合题意，所以.故选：B5.“”是“函数有且只有一个零点”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】求出有且只有一个零点条件，再根据充分必要条件的定义判断．【详解】首先已经有一个零点1，因此只有一个零点，则无零点，即（）无解，时，，所以或，因此是有且只有一个零点”的充分而不必要条件．故选：A．6.已知函数，下列说法正确的是（）A.若函数周期为4，则B.当时，函数的对称轴为C.若函数在单调，则有最大值2D.若函数可以由先向右平移个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则【正确答案】C【分析】利用周期公式计算可得A错误，再由对称轴方程可判断D错误，由余弦函数单调性计算可得C正确，根据平移规则可判断D错误.【详解】对于A，若函数周期为4，可得，解得，即A错误；对于B，当时，函数的对称轴满足，解得，即B错误；对于C，当时，，所以，若函数在单调，可得，解得，即有最大值2，可得C正确；对于D，先向右平移个单位长度可得，再横坐标变为原来的3倍可得，若能得到函数，可得，此时无解，即D错误.故选：C7.已知双曲线左、右焦点分别为，过的直线与的渐近线及右支分别交于两点，若，则的离心率为（）A. B.2 C. D.3【正确答案】C【分析】根据题意分析可知为的中点，且，结合点到直线的距离公式可得，根据双曲线的定义结合勾股定理运算求解.【详解】因为，可知为的中点，且为的中点，可知∥，又因为，可知，则，则点到直线的距离，可得，由可得，整理得，则，整理得，所以的离心率为.故选：C.方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率（离心率范围）的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．8.定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案.【详解】由可得：，令，所以由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立，因为，，所以，，所以令，，，令可得：或，令可得：，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，当趋于正无穷时，趋近，所以，所以实数的取值范围为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.9.某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：），并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（）A.B.估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30%C.估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间D.估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间【正确答案】BCD【分析】先根据概率和为，可得，进而根据频率分布直方图得到对应概率，进而可得.【详解】选项A：，解得，A错误；选项B：估计该哈密瓜的质量不低于的比例为，B正确；选项C：低于的概率为，低于的概率为，故估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于至之间，C正确；选项D：低于的概率为，低于的概率为，估计该哈密瓜的质量的中位数介于至之间，D正确.故选：BCD10.如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（）A.直线与平行B.四面体的体积为定值C.点到平面的距离为D.异面直线与所成的角为【正确答案】ABC【分析】连接，则为的中点，为的中点，即可判断A；证明平面，再根据棱锥的体积公式即可判断B；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断CD.【详解】对于A选项，连接，因为是侧面的中心，是底面的中心，则为的中点，为的中点，所以在中，为的中位线，即，A正确；对于B选项，因为，平面平面，所以平面，又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值，又为定值，所以四面体的体积为定值，B正确；对于C选项，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，解得，令，得，则，所以点到平面的距离，C正确；对于D选项，，,则，故异面直线与所成的角不为，D错误.故选：ABC.11.的内角的对边分别为，，，已知，，则（）A. B.C.为锐角三角形 D.的最大值为【正确答案】AB【分析】根据余弦定理、商关系、二倍角公式和基本不等式计算分别判断各个选项；【详解】对于A，因为，结合余弦定理推论可得，，化简得，解得（舍）或，A正确；对于B，因为，所以，又，所以，B正确；对于C，是钝角，C错误；对于D，解得，根据余弦定理可得，代入得利用基本不等式，当且仅当时取等号；所以，D错误；故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12.从集合中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数，则不同的对数值的个数为______．【正确答案】52【分析】先利用分步乘法计数原理得到个对数，再排除掉相等的对数值，得到答案.【详解】第一步，取底数，有8种取法；第二步，取真数，有7种取法．根据分步乘法计数原理，共得到个对数．但在这些对数中，，，，，所以可以得到个不同的对数值．故5213.已知向量，则的最大值为__________.【正确答案】【分析】首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示、三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得.【详解】因，所以，所以，所以当，即时取得最大值，且.故14.数列满足，则______；记为的前n项和，若关于n的方程有解，则正整数的所有取值为______．【正确答案】①.②.7和9【分析】根据数列的通项与前项和的关系求数列的通项公式；根据等差数列的求和公式，可以把问题转化成为整数的讨论.【详解】解法一：由，得．①当时，，所以．当时，有．②①－②得，即．因为符合，所以，．因为，所以显然为10的约数，时，；时，；时，.综上，正整数的所有取值为7和9．解法二：由．①当时，有，②，所以．③①－③得，即．又，故．下同解法一．故；7和9四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）若，求数列的前2n项和.【正确答案】（1），；（2）；（3）【分析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；(3)由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【小问1详解】是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为，由，，，，可得，，解得：负的舍去，则，；【小问2详解】数列的前n项和，，两式相减可得，化为；【小问3详解】，则数列的前2n项和16.如图，在四棱锥中，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.（1）若，平面与平面是否互相垂直？如果垂直,请证明；如果不垂直，请说明理由.（2）若底面为正方形，当平面与平面夹角为时，求的值.【正确答案】（1）垂直，证明见解析.（2）【分析】（1）由底面得，进而由得平面，进而得，又，可得平面，进而可证；（2），，建立空间直角坐标系，利用空间向量法根据面面角可得，进而可得.【小问1详解】平面平面，证明如下：因平面，平面，故，又，，平面，故平面，因平面，所以，因，为线段的中点，故，因，平面，故平面，又平面，故平面平面.【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，设，，则，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则，s设平面的一个法向量为，则，令，则，则，由题意，解得，故.17.单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）.（1）有一道单项选择题考生甲不会做，他随机选择一个选项，求猜对本题并得5分的概率；（2）有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为ABD，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率；（3）现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）利用列举法可得共有10个样本点，“猜对本题得4分”，有3个样本点，利用古典概型的概率公式求解；（3）分丙得0分丁得6分；丙得3分丁得3分；丙得6分丁得0分三种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式求解.【小问1详解】样本空间，设“猜对本题得5分”，则.【小问2详解】样本空间，共有10个样本点，设“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故.【小问3详解】记丙得分的事件为，丁得分为，其中由题意；记丙丁两位考生总分刚好6分的事件为，易知由题意18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围．【正确答案】（1）（2）答案见解析（3）【分析】（1）先确定切点坐标，再根据导数的几何意义求切线斜率，依据点斜式可得切线方程.（2）求导，对的不同取值进行讨论，可得函数的单调区间.要注意：函数的定义域.（3）利用（2）的结论，可求问题（3）.【小问1详解】当时，，.又，所以.所以切点坐标为，切线斜率为1，所以切线方程为即.【小问2详解】因为，当时，恒成立，函数在区间单调递增．当时，令，解得，在区间，，函数单调递减，在区间，，函数单调递增.综上可知：当时，函数在区间单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.【小问3详解】由（2）知，当时，函数无极值，当时，函数在取得极小值，所以，解得，所以．所以实数的取值范围为：19.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积