2024-2025学年广东省东莞市高二下册3月月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年广东省东莞市高二下学期3月月考数学检测试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一物体做直线运动，其位移(单位:)与时间(单位:)的关系是，则该物体在时的瞬时速度是A. B. C. D.【正确答案】A【分析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度．【详解】对求导，得，，因此，该物体在时的瞬时速度为，故选A．本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．2.三名防控新冠疫情志愿者分别报名参加甲､乙两个社区服务，每个人限报其中一个服务社区.则不同的报法种数是（）A.12种 B.9种 C.8种 D.6种【正确答案】C【分析】由题意可知，每名防控新冠疫情志愿者有2种选择，结合分步计数原理计算即可得到答案.【详解】由题意可知，每名防控新冠疫情志愿者有2种选择，即2种情况，则不同的报法种数是种，故选：C.3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【正确答案】B【分析】利用导数图象判断函数单调性，进而得出函数的极大值点个数.【详解】依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值.故选：B4.已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用导数的定义求出抛物线在点处的切线的斜率，即可得出该切线的倾斜角.【详解】抛物线在点处的切线的斜率为，故切线的倾斜角为．故选：B.5.函数的极大值点是（）A. B.1 C. D.【正确答案】B【分析】利用导数研究函数的区间单调性求极大值点即可.详解】由题设，当时，当或时，所以在、上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值点是1.故选：B6.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A B. C.2 D.【正确答案】B【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参.【详解】因为曲线，所以所以在点处的切线斜率为，直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以.故选：B.7.已知函数的导函数为，且，则（）A.1 B. C. D.【正确答案】D【分析】通过求导可求得，由此可得结果.【详解】∵，∴，∴，解得，∴，故.故选：D.8.若曲线与直线有3个不同交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】曲线与直线有3个不同的交点，等价于有3个零点，根据的极大值大于0极小值小于0列不等式组求解即可.【详解】曲线与直线有3个不同的交点，则有3个不同的解，令，则有3个零点，可得，若，，则是单调递增函数，不可能有3个零点，时，由得，则，当时，，当，，所以在上递增，在上递减，在上递增.要使有3个零点，则的极大值大于0，极小值小于0即，解得.即实数的取值范围是故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9.下列函数求导运算正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】BCD【分析】根据基本初等函数的导数公式判断各项的正误.【详解】A：，错误；B：，正确；C：，正确；D：，正确．故选：BCD10.设函数，则（）A.函数有两个极值点B.函数有两个零点C.直线是曲线的切线D.点是曲线的对称中心【正确答案】ABD【分析】求导，确定函数单调性极值，即可判断AB，由导数的几何意义可判断C，由对称中心的概念可判断D;【详解】令解得，令解得或，所以在单调递增，单调递减，单调递增，因为，极大值，且极小值，所以函数有两个极值点，有两个零点，故AB正确，令即，，无解；故C错误；，所以，即点是曲线的对称中心，正确；故选：ABD11.已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（）A.可以组成无重复数字的四位数96个 B.可以组成有重复数字的四位数404个C.可以组成无重复数字的四位偶数66个 D.可以组成百位是奇数的四位偶数28个【正确答案】AB【分析】由两个计数原理逐个判断即可；【详解】对于A，可以组成无重复数字的四位数（个），A正确；对于B，可以组成有重复数字的四位数（个），B正确；对于C，若个位数为0，则有（个），若个位数不为0，则有（个），所以可以组成无重复数字的四位偶数（个），C错误；对于D，可以组成百位是奇数的四位偶数（个），D错误．故选：AB三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.定义在上的函数满足：，若曲线在处的切线方程为，则该曲线在处的切线方程为_______．【正确答案】【分析】由题意得出，且，再根据得出和，即可求解．【详解】因为曲线在处的切线方程为，所以，且，又，所以为偶函数，且，所以，，所以该曲线在处的切线方程为，即，故．13.设函数在处的导数存在，且，则_____.【正确答案】【分析】根据导数的定义计算直接得出结果.详解】.故14.如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有__________.【正确答案】48【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】根据题意，对于区域A，有4种涂色方法，对于区域B，有3种涂色方法，对于区域C，有2种涂色方法，对于区域D，有2种涂色方法，则由分步乘法计数原理可得种涂色方法.故48四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知曲线，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求过点且与曲线相切的直线方程.【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程.【小问1详解】解：由函数，可得，可得，即曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】解：因为点不在曲线上，设切点为，所以，所以切线方程为，又因为在直线上，所以，即，解得或.当切点为时，切线方程为；当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.16.已知函数.（1）当时，求函数的极值;（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【正确答案】（1）极大值，极小值.（2）.【分析】（1）当时，对求导，得到的单调性，再根据极值的定义即可得出答案.（2）由题意知在上恒成立，分，和，分离参数，求出函数的最值即可得出答案.【小问1详解】，，令可得：或，令可得：，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有极大值，当时，函数有极小值.【小问2详解】由题意知在上恒成立，当时，显然成立;当时，，函数在上单调递减，当时，，所以.当时，，函数在上单调递减，当时，，所以.综上可知:求的取值范围为.17.已知，.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若，使，求的取值范围.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意结合导数依次求出即可由直线点斜式方程求解；（2）先由得到，构造函数，利用导数求出即可由存在性得解.【小问1详解】时，，所以，所以切线斜率，所以曲线在处的切线方程为即.【小问2详解】因为，使得即，所以，令，则，所以在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以.18.茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生机勃勃．2021年3月22日下午，他来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．他强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．3月25日，人民论坛网调研组一行循着此次来闽考察的足迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，十分的畅销．据了解，该企业年固定成本为50万元，每生产百件产品需增加投入7万元．在2021年该企业年内生产的产品为x百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为万元，且满足．（1）写出该企业今年利润关于该产品年销售量x百件的函数关系式；（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？【正确答案】（1）；（2）当年产量为1百件，最大利润为25万元.【分析】（1）由题意得可得，代入化简，即可得答案.（2）由（1）得，，利用导数求得的单调性及最值，分析整理，即可得答案.【详解】解：（1）依题意得：（2）由（1）得，，则，令，得或（舍去）当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，有答：当年产量为1百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大且最大利润为25万元．19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）分和，