2024-2025学年福建省厦门市高一下册第一次月考数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年福建省厦门市高一下学期第一次月考数学质量检测试题第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题，即可求解.【详解】命题“”的否定为：，故选：A2.角的终边所在直线经过点，则有A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由角的终边所在直线经过点，得到的终边在第二象限或第四象限，分类讨论，利用三角函数的定义，即可求解.【详解】由题意，角的终边所在直线经过点，可得的终边在第二象限或第四象限，又由，当的终边在第二象限时，取点时，可得；当的终边在第四象限时，取点时，可得，所以.故选D.本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中注意题目的条件“终边所在直线”，得出终边在第二、四象限，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.3.下列四个函数中，周期为π的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】利用三角函数的周期性求解.【详解】函数周期为；函数周期为；函数周期为；函数周期为.故选：D4.下列说法中正确的是（）A.单位向量都相等 B.若满足且与同向，则C.对于任意向量，必有 D.平行向量不一定是共线向量【正确答案】C【分析】根据相等向量的定义可判断A；由向量不能比较大小可判断B；由向量加法的几何意义可判断C；由共线向量的定义可判断D.【详解】A，方向相同，模相等的向量为相等向量，单位向量的方向不一定相同，故A错误；B，向量模能比较大小，向量不能比较大小，故B错误；C，根据向量加法的几何意义可得，故C正确；D，平行向量也是共线向量，故D错误.故选：C5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【正确答案】C【分析】由，则只需将函数的图象向左平移个单位长度.【详解】解：因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.故选：C.本题考查了三角函数图像的平移变换，属基础题.6.已知函数，则（）A. B. C.1 D.【正确答案】B【分析】先根据辅助角公式先将函数化简，然后代入求值.【详解】解：由题意得：由可得：故选：B7.已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】法一：由题意得出，先求出，即可求解；法二：不妨设，根据向量坐标表示的运算法则及模的计算即可求解．【详解】法一：由题意得，所以，则；法二：因为是两个相互垂直的单位向量，且向量，所以不妨设，则，故，则，故选：A．8.在平行四边形中，，，，，则（）A.1 B. C.2 D.3【正确答案】D【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积概念和运算律可求的值.【详解】如图：以为基底，则，，.且，，所以.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.与终边相同的角有（）A. B. C. D.【正确答案】BCD【分析】根据终边相同的角，相差360°的整数倍判断即可.【详解】与终边相同的角可表示为，时，为；时，为；时，为；故选：BCD.10.设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A.若，则点是边的中点B.若，则点在边的延长线上C.若，则点是的重心D.若，且，则的面积是的面积的【正确答案】ACD【分析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.【详解】A中：,即：,则点是边的中点B.,则点在边的延长线上，所以B错误.C.设中点D,则,，由重心性质可知C成立.D．且设所以，可知三点共线，所以的面积是面积的故选择ACD通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.11.函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的解析式为B.函数的单调递增区间为C.函数的图象关于点对称D.为了得到函数图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度【正确答案】ABD【分析】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC；由三角函数的平移变换可判断D.【详解】对于A，由图可知，，可得，由，则，两式相减得：，所以①，又因为，所以，结合①，，因为，所以，所以，故A正确；对于B，，解得：，故B正确；对于C，令，解得：，函数图象关于点对称，所以C不正确；对于D，将函数向右平移个单位得到，向上平移一个单位长度可得，故D正确.故选：ABD.第II卷（非择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，那么_____________.【正确答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用半角公式求得的值．【详解】若，，，，那么，故．本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．13.在等腰直角三角形中，，则________.【正确答案】【分析】先求出，再利用平面向量的数量积公式求解.【详解】由题得,.故本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为______【正确答案】【分析】利用的图像与性质，直接求出函数的零点，再利用题设条件建立不等关系且，从而求出结果.【详解】因为，由，得到，所以或，所以或，又因为存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，所以且，即且，解得.故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值.【正确答案】【分析】根据同角关系可得，，即可根据正弦的差角公式求解.【详解】因为为第一象限角，为第二象限角，，，所以，，所以.16.化简求值：（1）化简：（2）求值，已知，求的值【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）根据诱导公式先化简每一项，然后即可得到最简结果；（2）利用“齐次”式的特点，分子分母同除以，将其化简为关于的形式即可求值.【详解】（1）原式，（2）原式本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系的运用，难度较易.（1）利用诱导公式进行化简时，掌握“奇变偶不变”的实际含义进行化简即可；（2）求解形如的“齐次式”的值，注意采用分子分母同除以的方法，将其化简为关于的形式再求值.17.已知，，且与的夹角为120°，求：（1）；（2）若向量与平行，求实数的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案.（2）根据向量平行列方程来求得.【小问1详解】，所以.小问2详解】由于向量与平行，所以存在实数，使得，所以，解得.18.某公园内有一块半径为15m的扇形空地如图所示，其中一侧靠墙，，公园准备在扇形空地上靠墙修建一个矩形广场，记．（1）写出矩形广场的面积与之间的函数关系式；（2）求矩形广场面积的最大值，并求出此时的大小．【正确答案】（1）（2）面积最大值为，此时.【分析】（1）先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积，即可得到答案；（2）利用角的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值.【小问1详解】因为，所以，又，所以，则所以．【小问2详解】，因为，所以，所以当，即时，．19.在边长为4等边中，D为BC边上一点，且.（1）若P为内部一点（不包括边界），求的取值范围；（2）若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）取的中点，进而整理可得，分析求解即可得结果；（2）根