2024-2025学年上学期高一数学北师大版期中必刷常考题之周期的变化

第22页（共22页）2024-2025学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之周期的变化一．选择题（共5小题）1．（2019秋•清远期末）sin195°sin465°＝（）A．2-64 B．14 C．22．（2021秋•沙市区校级期末）已知角α的终边与单位圆相交于点P（sin11π6，cos11π6A．-32 B．-12 C．13．（2010秋•朝阳区期末）如图，以Ox为始边作任意角α，β，它们的终边与单位圆分别交于A，B点，则OA→A．sin（α+β） B．sin（α﹣β） C．cos（α+β） D．cos（α﹣β）4．（2023春•金溪县校级月考）已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为（a，b），若-a=b，则A．22 B．-22 C．±25．（2013•江岸区校级模拟）设任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），角α+θ的终边与单位圆的交点为P2（y，﹣x），则下列说法中正确的是（）A．sin（α+θ）＝sinα B．sin（α+θ）＝﹣cosα C．cos（α+θ）＝﹣cosα D．cos（α+θ）＝﹣sinα二．填空题（共4小题）6．（2022秋•泉州期末）如图，在半径为1cm的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A（1，0）出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过α弧度，黑蚂蚁每秒爬过β弧度（其中a→=(cosα，sinα)，b→=(cosβ，sinβ)，0＜α7．（2014秋•扬州期末）已知A（xA，yA）是单位圆（圆心为坐标原点O，半径为1）上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转π3到OB交单位圆于点B（xB，yB），已知m＞0，若myA﹣2yB的最大值为3，则m＝8．（2014春•烟台期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的终边与单位圆交于B点，且点B的纵坐标为1213．若将点B沿单位圆逆时针旋转π2到达A点，则点A的坐标为9．（2014秋•东城区校级期中）已知函数f（x）=sin2x+cos2x+12cosx，若f（α+三．解答题（共6小题）10．（2022春•沈阳期末）已知函数f（x）＝cos2x+2cos2（x-π（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若α∈（0，π2），f（α）=43，求11．（2014春•徐州期末）如图，以Ox为始边分别作角α与β（0＜α＜β＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（35，4（1）求sin2α的值；（2）若β﹣α=π2，求cos（α+12．（2014春•泰山区校级期末）已知点A（2，0），B（0，2），点C（x，y）在单位圆上．（1）若|OA→+OC|=7（O为坐标原点），求（2）若AC⊥BC，求点C的坐标．13．（2009春•资阳期末）如图，已知A、B是单位圆O上的点，C是圆与x轴正半轴的交点，点A的坐标为(35，45（Ⅰ）求sin∠COA；（Ⅱ）求△BOC的面积．14．（2022秋•盐田区校级月考）如图，已知单位圆上有四点E（1，0），A（cosθ，sinθ），B（cos2θ，sin2θ），C（cos3θ，sin3θ）（0＜θ≤π3），分别设S△OAC，S△ABC的面积为S1和S（1）用sinθ、cosθ表示S1和S2；（2）求S1cosθ+15．（2011•辽宁模拟）如图，A、B是单位圆O上的点，C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为(35，（1）求sin∠COA，cos∠COA的值；（2）求cos∠COB的值．

2024-2025学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之周期的变化参考答案与试题解析题号12345答案DDDBB一．选择题（共5小题）1．（2019秋•清远期末）sin195°sin465°＝（）A．2-64 B．14 C．2【考点】单位圆与周期性；运用诱导公式化简求值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】D【分析】结合诱导公式对已知进行化简，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：sin195°sin465°＝﹣sin15°sin105°＝﹣sin15°cos15°=-故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的简单应用，属于基础试题．2．（2021秋•沙市区校级期末）已知角α的终边与单位圆相交于点P（sin11π6，cos11π6A．-32 B．-12 C．1【考点】单位圆与周期性．【专题】三角函数的求值．【答案】D【分析】利用单位圆的性质求解．【解答】解：∵角α的终边与单位圆相交于点P（sin11π6，cos∴sinα＝cos11π6=cos（2π-故选：D．【点评】本题考查角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的灵活运用．3．（2010秋•朝阳区期末）如图，以Ox为始边作任意角α，β，它们的终边与单位圆分别交于A，B点，则OA→A．sin（α+β） B．sin（α﹣β） C．cos（α+β） D．cos（α﹣β）【考点】单位圆与周期性；终边相同的角．【专题】计算题．【答案】D【分析】直接求出A，B的坐标，利用向量是数量积求解即可．【解答】解：由题意可知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），所以OA→⋅OB→=cosαcosβ+sinαsinβ＝cos故选：D．【点评】本题是基础题，考查向量的数量积的应用，两角差的余弦函数公式的推导过程，考查计算能力．4．（2023春•金溪县校级月考）已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为（a，b），若-a=b，则A．22 B．-22 C．±2【考点】单位圆与周期性．【专题】三角函数的求值．【答案】B【分析】由已知得b＝﹣a，r=(-a)2【解答】解：∵角α的终边与单位圆的交点的坐标为（a，b），-a∴b＝﹣a，r=(-∴cosα=a故选：B．【点评】本题考查角的余弦值的求法，是基础题，解时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．5．（2013•江岸区校级模拟）设任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），角α+θ的终边与单位圆的交点为P2（y，﹣x），则下列说法中正确的是（）A．sin（α+θ）＝sinα B．sin（α+θ）＝﹣cosα C．cos（α+θ）＝﹣cosα D．cos（α+θ）＝﹣sinα【考点】单位圆与周期性；终边相同的角．【专题】三角函数的求值；运算求解．【答案】B【分析】根据三角函数的定义和题意，分别求出角α、α+θ的正弦值和余弦值，再对比答案项即可．【解答】解：∵任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），∴由三角函数的定义得，sinα＝y，cosα＝x，同理sin（α+θ）＝﹣x，cos（α+θ）＝y，则sin（α+θ）＝﹣cosα，cos（α+θ）＝sinα，故选：B．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．二．填空题（共4小题）6．（2022秋•泉州期末）如图，在半径为1cm的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A（1，0）出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过α弧度，黑蚂蚁每秒爬过β弧度（其中a→=(cosα，sinα)，b→=(cosβ，sinβ)，0＜【考点】单位圆与周期性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】12π【分析】先求出α，β的值，再求出相遇的周期即可．【解答】解：由题意，π2＜2又15α=k即15π4＜k1⋅2π＜k2即α=4π第二次相遇的时间为出发后的第3×2＝6（秒），圆的半径为1，黑蚂蚁爬过的路程为：6×故答案为：12π【点评】本题考查了单位圆的性质以及弧长公式，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．7．（2014秋•扬州期末）已知A（xA，yA）是单位圆（圆心为坐标原点O，半径为1）上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转π3到OB交单位圆于点B（xB，yB），已知m＞0，若myA﹣2yB的最大值为3，则m＝6+1【考点】单位圆与周期性．【专题】三角函数的求值．【答案】见试题解答内容【分析】设A（cosα，sinα），则B[cos（α+π3），sin（α+π3）]，则myA﹣2yB＝msinα﹣2sin（α+π3）=(m-1)2+3sin（α【解答】解：因为A（xA，yA）是单位圆（圆心为坐标原点O，半径为1）上任一点，∴设A（cosα，sinα），则B[cos（α+π3），sin（α+π即xA＝cosα，yB＝sin（α+π则myA﹣2yB＝msinα﹣2sin（α+π＝msinα﹣2（12sinα+32＝（m﹣1）sinα-3cos=(m-1)2∵m＞0，myA﹣2yB的最大值为3，∴(m-1)2+3=3，由故答案为：6+1【点评】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要注意单位圆、三角函数的性质的合理运用．8．（2014春•烟台期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的终边与单位圆交于B点，且点B的纵坐标为1213．若将点B沿单位圆逆时针旋转π2到达A点，则点A的坐标为（-【考点】单位圆与周期性．【专题】三角函数的求值．【答案】见试题解答内容【分析】首先求出点B的坐标，将点B沿单位圆逆时针旋π2转到达A点，利用两角和与差的三角函数即可求出点A【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆交于B点，且点B的纵坐标为1213∴sinα=1213，cos将点B沿单位圆逆时针旋转π2到达A点A的坐标A（cos（α+π2），sin（α+π2）），即A（﹣∴A（-12故答案为：（-12【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．9．（2014秋•东城区校级期中）已知函数f（x）=sin2x+cos2x+12cosx，若f（α+【考点】单位圆与周期性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【答案】见试题解答内容【分析】由题意利用二倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式，求得cosα的值．【解答】解：∵函数f（x）=sin若f（α+π4=2＝sin（α+π4）+cos（α+π4）=2[22sin（α+π4=2sin（α+π4+π4则cosα=3故答案为：35【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．三．解答题（共6小题）10．（2022春•沈阳期末）已知函数f（x）＝cos2x+2cos2（x-π（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若α∈（0，π2），f（α）=43，求【考点】单位圆与周期性；三角函数的周期性．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期T＝π．（Ⅱ）cos2α=1-2【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）＝sin（2x+π6）（Ⅱ）由f（α）=43，可得sin（2α+π6）=13，由已知又0＜sin（2α+π6）=13＜12，可求范围2α+π6【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝cos2x+2cos2（x-π＝cos2x+1+cos（2x-2＝cos2x+32sin2x-1=32sin2x+1＝sin（2x+π6）+1，…∴函数f（x）的最小正周期T=2π2=（Ⅱ）由f（α）=43，可得sin（2α+π∵α∈（0，π2∴2α+π6∈（π6，7又∵0＜sin（2α+π6）∴2α+π6∈（π2，π∴cos（2α+π6）=-∴cos2α＝cos[（2α+π6）-π6]＝cos（2α+π6）cosπ6+sin（【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11．（2014春•徐州期末）如图，以Ox为始边分别作角α与β（0＜α＜β＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（35，4（1）求sin2α的值；（2）若β﹣α=π2，求cos（α+【考点】单位圆与周期性．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由三角函数的定义，得出cosα、sinα，从而求出sin2α的值；（2）【解法一】利用诱导公式和（1）的结论，即可求出cos（α+β）的值．【解法二】由β﹣α=π2，求出sinβ，cosβ的值，从而求出cos（α+【解答】解：（1）由三角函数的定义得，cosα=35，sinα∴sin2α＝2sinαcosα＝2×4（2）【解法一】∵β﹣α=π2，∴β=∴α+β＝2α+π由（1）知sin2α=24∴cos（α+β）＝cos（2α+π2）＝﹣sin2α【解法二】∵β﹣α=π∴sinβ＝sin（π2+α）＝cosαcosβ＝cos（π2+α）＝﹣sinα∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=35×（-【点评】本题考查了三角函数的求值与应用问题，解题时应根据三角函数的定义以及三角恒等公式进行计算，是基础题．12．（2014春•泰山区校级期末）已知点A（2，0），B（0，2），点C（x，y）在单位圆上．（1）若|OA→+OC|=7（O为坐标原点），求（2）若AC⊥BC，求点C的坐标．【考点】单位圆与周期性；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】平面向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由已知得x2+y2=1(2+x)2+（2）AC→=（x﹣2，y），BC→=（x，y﹣2），由AC→【解答】解：（1）OA→=(2，0)，且x2+y2＝1，OA→+OC→=（由|OA→+OC→|=7，得（2+x）2+由x2+y2=1(2+x)2cos＜OB→，OC→所以OB→与OC→的夹角为30°或150°．（（2）AC→=（x﹣2，y），BC→=（x，y﹣2），由AC由x2+y2=1x2所以点C的坐标为（1-74，1+74）或（【点评】本题考查两向量的夹角的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的合理运用．13．（2009春•资阳期末）如图，已知A、B是单位圆O上的点，C是圆与x轴正半轴的交点，点A的坐标为(35，45（Ⅰ）求sin∠COA；（Ⅱ）求△BOC的面积．【考点】单位圆与周期性；任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【答案】见试题解答内容【分析】（I）由三角函数在单位圆中的定义可以知道，当一个角的终边与单位圆有交点时，交点的纵坐标就是角的正弦值．（II）根据第一问所求的角的正弦值和三角形是一个等边三角形，利用两个角的和的正弦公式得到这个角的正弦值，根据正弦定理做出三角形的面积．【解答】解：（I）由三角函数在单位圆中的定义可以知道，当一个角的终边与单位圆的交点是(3∴sin∠COA=4（II）∵∠BOC＝∠BOA+∠AOC，∴sin∠BOC=3∴三角形的面积是12×1×1【点评】本题考查单位圆和三角函数的定义，是一个基础题，这种题目解题的关键是正确使用单位圆，注意数字的运算不要出错．14．（2022秋•盐田区校级月考）如图，已知单位圆上有四点E（1，0），A（cosθ，sinθ），B（cos2θ，sin2θ），C（cos3θ，sin3θ）（0＜θ≤π3），分别设S△OAC，S△ABC的面积为S1和S（1）用sinθ、cosθ表示S1和S2；（2）求S1cosθ+【考点】单位圆与周期性．【专题】计算题；三角函数的求值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据三角函数定义，有∠xOA＝θ，∠xOB＝2θ，∠xOC＝3θ，∠xOA＝∠AOB＝∠BOC＝θ，可求得S1的值，由S1+S2＝四边形OABC的面积即可求S2的值．（2）由（1）知，S1cosθ+S2sinθ=2sin（θ-π4）+1，可得-π4＜θ【解答】解：（1）根据三角函数定义，有∠xOA＝θ，∠xOB＝2θ，∠xOC＝3θ，∴∠xOA＝∠AOB＝∠BOC＝θ，∴S1=12sin（3θ﹣θ）=1∵S1+S2＝四边形OABC的面积=1∴S2＝sinθ-12sin2θ＝sinθ（1﹣cos（2）由（1）知，S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ(1-cosθ)∵0＜θ≤π∴-π4＜∴-22≤sin（θ-π∴S1cosθ+S2sinθ的最大值为【点评】本题主要考查了单位圆与周期性，三角函数的求值，三角函数值域的解法，属于基本知识的考查．15．（2011•辽宁模拟）如图，A、B是单位圆O上的点，C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为(35，（1）求sin∠COA，cos∠COA的值；（2）求cos∠COB的值．【考点】单位圆与周期性；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义，先找出x，y，r，代入公式计算．（2）利用∠AOB＝90°，cos∠COB＝cos（∠COA+90°）＝﹣sin∠COA=-【解答】解：（1）∵A点的坐标为(3根据三角函数定义可知x=35，y=45，∴sin∠COA=yr（2）∵三角形AOB为直角三角形，∴∠AOB＝90°，又由（1）知sin∠COA=45，cos∠COA∴cos∠COB＝cos（∠COA+90°）＝﹣sin∠COA=-45【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式cos（π2+θ）＝﹣sinθ

考点卡片1．终边相同的角【知识点的认识】终边相同的角：k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}【解题方法点拨】终边相同的角的应用（1）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．【命题方向】下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．﹣30°C．630°D．﹣630°分析：直接利用终边相同的角判断即可．解：因为330°的终边与﹣30°的终边相同，所以B满足题意．故选B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，考查基本知识的熟练程度．2．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα=y2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．45B．35C．-35分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r=x2∴cosα=x故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．单位圆与周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的③利用图象．图象重复的x的长度．4．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的③利用图象．图象重复的x的长度．5．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数