2024-2025学年上学期高一数学北师大版期中必刷常考题之从力的做功到向量的数量积

第24页（共24页）2024-2025学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之从力的做功到向量的数量积一．选择题（共5小题）1．（2025•合肥模拟）已知单位圆O上有两点A，B，∠AOB=π3，设向量a→=nA．﹣1 B．﹣2 C．1 D．22．（2025•四川开学）已知向量a→=（0，2），b→=（m，2），＜a→，A．0 B．1 C．2 D．43．（2025•汉中二模）向量|a→|=|b→|=1，A．-12 B．-32 C．14．（2025•孝义市模拟）已知向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→A．1 B．12 C．2 D．5．（2025•山东模拟）已知向量a→=（1，m），b→=（m，4），满足|a→•b→|＝|a→|A．2 B．﹣2 C．±2 D．0二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•下月考）若向量a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→A．|bB．(aC．a→D．a→在c→（多选）7．（2025•宝鸡模拟）已知向量a→=(3A．若a→∥b→，则B．若a→⊥bC．若a→与b→的夹角是π3D．若a→与b→的方向相反，则b→在（多选）8．（2025•重庆模拟）已知向量a→=(1，3)，b→=A．若a→⊥bB．若a→∥bC．若b→在a→上的投影向量为-14a→，则向量D．|a→三．填空题（共4小题）9．（2025•河南模拟）已知向量a→，b→满足|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+b→|＝4，则|a→10．（2025•苏州开学）已知非零向量a→，b→满足：a→⊥b→，|a→-b→|=2，设cλ→=λa→+(1-λ)11．（2025•景德镇模拟）已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝3，a→12．（2024秋•唐县校级期末）在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP→=xe1→+ye2→（其中e1→，e2→分别为x，y轴方向相同的单位向量），则P的坐标为（x四．解答题（共3小题）13．（2024秋•珲春市校级期末）已知a→=(23sinx，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）已知f(x0)=135，14．（2025•云南校级开学）已知在△ABC中，AB=3，AC=6，BC=5，O为△ABC内一点，且满足∠AOB＝∠BOC＝∠（1）求△ABC的面积；（2）求OA→（3）求|OA|2+|OB|2+|OC|2的值．15．（2024秋•葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．（1）求|BG（2）若BE→=λBA→，BF→=μ

2024-2025学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之从力的做功到向量的数量积参考答案与试题解析题号12345答案BDDBC一．选择题（共5小题）1．（2025•合肥模拟）已知单位圆O上有两点A，B，∠AOB=π3，设向量a→=nA．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】由题意|OA→|=|OB→|=1，【解答】解：由题意可得|OA→|=|因为|a所以|=[(=(n+1)2+2×2×(故选：B．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．2．（2025•四川开学）已知向量a→=（0，2），b→=（m，2），＜a→，A．0 B．1 C．2 D．4【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：向量a→=（0，2），b→=（则a→⋅b＜a→，则cos＜a→，b→故|b→|=故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．3．（2025•汉中二模）向量|a→|=|b→|=1，A．-12 B．-32 C．1【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】先移项得出b→=c【解答】解：因为a→+b两边同时平方得：a→因为|a→|=|b→所以a→⋅c故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．4．（2025•孝义市模拟）已知向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→A．1 B．12 C．2 D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；方程思想；转化思想；平面向量及应用．【答案】B【分析】根据题意，求出向量a→-b→的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得若a→⊥（a→-b→），则有a→•（a→-b→）＝【解答】解：根据题意，向量a→=（2，3），b→=（则a→-b→=（2若a→⊥（a→-b→），则有a→•（a→-b→）＝2（解可得：x=故选：B．【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系．5．（2025•山东模拟）已知向量a→=（1，m），b→=（m，4），满足|a→•b→|＝|a→|A．2 B．﹣2 C．±2 D．0【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】由向量数量积的坐标运算及模长公式建立方程求解即可．【解答】解：由a→=（1，m），b→=（可得a→⋅b→=5由|a→•b→|＝|a→|•|b→整理得m4﹣8m2+16＝0，解得m＝±2．故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，属基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•下月考）若向量a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→A．|bB．(aC．a→D．a→在c→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】CD【分析】利用向量模长公式判断A；根据向量平行的性质判断B；根据向量垂直数量积为零判断C；利用投影向量的定义判断D．【解答】解：对于A，因为b→=（﹣3，4），所以|b对于B，因为a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→所以a→+c→=(4，3)≠对于C，因为a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→则b→所以a→⋅(b→对于D，因为a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→所以a→所以a→在c→上的投影向量为(-故选：CD．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于中档题．（多选）7．（2025•宝鸡模拟）已知向量a→=(3A．若a→∥b→，则B．若a→⊥bC．若a→与b→的夹角是π3D．若a→与b→的方向相反，则b→在【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ABC【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示判断AB；利用向量数量积的运算律判断C；利用投影向量的定义判断D．【解答】解：因为向量a→=(3若a→∥b解得tanα=33若a→⊥b解得tanα=-3若a→与b→的夹角是π3，因为|所以(a所以|a→-若a→与b→的方向相反，所以所以b→在a→上的投影向量为a→故选：ABC．【点评】本题考查平面向量平行与垂直的性质，考查数量积的运算及投影向量的求法，属中档题．（多选）8．（2025•重庆模拟）已知向量a→=(1，3)，b→=A．若a→⊥bB．若a→∥bC．若b→在a→上的投影向量为-14a→，则向量D．|a→【考点】平面向量的投影向量；数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】根据两个向量垂直的坐标表示，结合同角三角函数的基本关系判断出A项的正误；根据两个向量平行的坐标表示，结合同角三角函数的基本关系求出tanα，从而判断出B项的正误；根据投影向量的公式算出向量a→、b→的夹角，从而判断出C项的正误；根据向量的模长公式、正弦函数的图象与性质，算出|a→-【解答】解：对于A，若a→⊥b→，则可得cosα=-3sinα，所以tanα=sinα对于B，若a→∥b→，则3cosα=sinα所以α=π3对于C，由题意得|a→|=2，|b→|=1，由可得|b→|cos＜a→，b→＞•a→结合＜a→，b→＞∈[0，π]，可得＜a对于D，a→-b→=（1﹣cosα可得|a当sin(α+π6|a→-b→|2取得最大值9故选：ACD．【点评】本题主要考查两个向量平行与垂直的条件、同角三角函数的基本关系、向量的投影与模长公式等知识，属于中档题．三．填空题（共4小题）9．（2025•河南模拟）已知向量a→，b→满足|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+b→|＝4，则|a→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的模．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】34．【分析】由已知求得a→【解答】解：由|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+可得a→2+2则|a故答案为：34．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．10．（2025•苏州开学）已知非零向量a→，b→满足：a→⊥b→，|a→-b→|=2，设cλ→=λa→+(1-λ【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】(1【分析】根据a→⊥b→和|a→-b→|=2，求出|a→【解答】解：由cλ→=λa→+(1-λ又存在λ∈[0，1]，使得cλ即[λ所以λa又a→⊥b→，故a因为|a→-b联立①②得|a解得λ∈则|c令2λ-1=则|c故|c故答案为：(1【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查函数值域的求法，属中档题．11．（2025•景德镇模拟）已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝3，a→【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】33【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解．【解答】解：由题知|a(a所以cos〈故答案为：33【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．12．（2024秋•唐县校级期末）在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP→=xe1→+ye2→（其中e1→，e2→分别为x，y轴方向相同的单位向量），则P的坐标为（x【考点】平面向量的概念与平面向量的模．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】3．【分析】由斜坐标定义用e1→，e2【解答】解：由题意OP→所以|OP故答案为：3．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•珲春市校级期末）已知a→=(23sinx，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）已知f(x0)=135，【考点】平面向量数量积的性质及其运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）[-π3+kπ【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简f（x），然后求解单调递增区间；（2）根据角的配凑可得cos2【解答】解：（1）f=2sin令-π解得-π故函数f（x）的单调递增区间为[-（2）因为f(x0所以sin(2又x0∈[π所以cos(2所以cos=cos=4-3【点评】本题考查三角函数性质，考查两角和差公式，二倍角公式，属于中档题．14．（2025•云南校级开学）已知在△ABC中，AB=3，AC=6，BC=5，O为△ABC内一点，且满足∠AOB＝∠BOC＝∠（1）求△ABC的面积；（2）求OA→（3）求|OA|2+|OB|2+|OC|2的值．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；向量法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）142（2）-42（3）7-【分析】（1）应用余弦定理及平方关系求得sinA=（2）设|OA→|=x，|OB→|=（3）根据（2）并应用余弦定理有x2+y2+z2+12(xy+yz+zx)=7，再由|OA|2+|【解答】解：（1）在△ABC中，AB=3，AC=6，BC由余弦定理可得cosA=又A∈（0，π），故sinA=所以S△（2）设|OA→|=x，则OA→又S△整理得xy+所以OA→（3）设|OA→|=x，由余弦定理可知，AB同理AC2＝x2+z2+xz＝6，BC2＝z2+y2+zy＝5，故x2即|OA【点评】本题考查正、余弦定理的综合应用，考查平面向量数量积运算，属中档题．15．（2024秋•葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．（1）求|BG（2）若BE→=λBA→，BF→=μ【考点】平面向量的概念与平面向量的模；运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）203（2）6．【分析】（1）由重心性质可得BG→（2）由平面向量基本定理的推论得13【解答】解：（1）根据题意：BA→=(-4，由G是△ABC的重心，可得BG→所以|BG（2）由BE→可得BA→=1所以BG→因为E，F，G三点共线，所以13则2λ当且仅当8μ3λ=2λ3所以2λ+8μ的最小值为6．【点评】本题考查平面向量的模长公式及平面向量基本定理，考查基本不等式求最值，属中档题．

考点卡片1．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．2．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=23．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．4．平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB【解题方法点拨】﹣计算模：也就是AB→﹣实际应用：用于求解平面几何中的距离问题，如两点间的距离等．【命题方向】﹣向量模的计算：考查如何计算向量的模，并应用于几何问题．﹣向量长度的应用：在问题中如何利用向量的长度解决实际问题，如物体的位移和距离计算．如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有39解：如图，设小正方形的边长为1，则|AB→|=则长度为5的对角线有20个，分别为AB，DE，FG，HI，CD，BF，EH，GK，CO，EM，BP，GN，EQ，IO，AO，MF，NH，PD，OK，FQ，∴模与AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有20×2﹣1＝故答案为：39．5．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．6．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→cosθ（其中e→为与b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求点到平面的距离．7．平面向量数量积的坐标运算【知识点的认识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零