2024-2025学年上学期高二数学人教A版期中必刷常考题之导数在研究函数中的应用

第26页（共26页）2024-2025学年上学期高二数学人教A版（2019）期中必刷常考题之导数在研究函数中的应用一．选择题（共5小题）1．（2024秋•锦州期末）对n∈N*，设xn是关于x的方程nx3+2x﹣n＝0的实数根，an＝[（n+1）xn]（n＝2，3，⋯），其中符号[x]表示不超过x的最大整数，则a2A．1013 B．1015 C．2023 D．20252．（2024秋•诸暨市期末）将函数y＝x3+2的图象绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则tanθ＝（）A．1 B．2 C．3 D．53．（2024秋•德州期末）已知函数f（x）＝xlnx+ax．过点P（1，1）可作两条直线与f（x）的图象相切，则a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]4．（2024秋•洛阳期末）已知函数f(x)=ex，x＞02-e-x，x≤0，当x∈（0，e]时，f（xA．0 B．1 C．e D．e+15．（2024秋•临泉县校级期末）已知x＝1是函数f（x）＝ax3﹣3x的一个极值点，其中a为实数，则f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•南阳期末）已知函数f（x）＝x2﹣2xlnx，g（x）＝ex﹣lnx﹣2，下列说法正确的是（）A．函数g（x）存在唯一极值点x0，且x0B．令h（x）＝f（x）•g（x），则函数h（x）无零点 C．若g（x）+2＞m恒成立，则m＜2 D．若a＞0，b＞0，则a（多选）7．（2024秋•田家庵区校级期末）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则下列结论中正确的是（）A．f（x）在（0，1）单调递增 B．f（x）在（1，2）单调递减 C．y＝f（x）的图像关于直线x＝1对称 D．y＝f（x）的图像关于点（0，1）对称（多选）8．（2025•东兴区模拟）设函数f（x）＝mlnx﹣x，g（x）=-13xA．当m＝1时，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣1 B．当﹣1＜a＜1时，g（x）有三个零点 C．若F（x）＝f（x）﹣g′（x）有两个极值点，则0＜D．若f（mx）≥ex﹣mx在（0，+∞）上有解，则正实数m的取值范围为[e，+∞）三．填空题（共4小题）9．（2024秋•舟山期末）若圆C1：x2+y2＝1与曲线C2：y＝ln（x﹣1）+m的公切线经过(1，-12)，则m＝10．（2024秋•漯河期末）已知函数f（x）＝lnx+x，g（x）＝ex+x，若f（a）＝g（b），则e2b+9+aa+111．（2024秋•诸暨市期末）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝2x+1，则f（1）+f'（1）＝．12．（2025•卫辉市校级模拟）已知f（x）＝xex+3sinx，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•楚雄州期末）已知函数f（x）＝xlnx．（1）求f（x）的极值．（2）过点P(1a，0)能作两条直线与曲线y＝f（x）相切，且切点坐标为A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），其中x（i）求a的取值范围；（ii）证明：方程ax2+（a﹣3）x+1＝0在（x1，x2）上有解．14．（2024秋•舟山期末）已知函数f(（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及其最大值与最小值．15．（2024秋•诸暨市期末）已知函数f（x）＝aex+x2﹣2x+1（a∈R）．（1）是否存在实数a，使得x＝2为函数f（x）的极小值点．若存在，求a的值；若不存在，请说明理由；（2）求证：当a∈(-54，0)

2024-2025学年上学期高二数学人教A版（2019）期中必刷常考题之导数在研究函数中的应用参考答案与试题解析题号12345答案ACBDC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•锦州期末）对n∈N*，设xn是关于x的方程nx3+2x﹣n＝0的实数根，an＝[（n+1）xn]（n＝2，3，⋯），其中符号[x]表示不超过x的最大整数，则a2A．1013 B．1015 C．2023 D．2025【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解；新定义类．【答案】A【分析】根据条件构造函数f（x）＝nx3+2x﹣n，求得函数的导数，判断函数的单调性，求出方程根的取值范围，进而结合等差数列的求和公式，即可求解．【解答】解：设函数f（x）＝nx3+2x﹣n，则f′（x）＝3nx2+2＞0，则f（x）为增函数，因为当n≥2时，f(且f（1）＝2＞0，所以当n≥2时，方程nx3+2x﹣n＝0有唯一的实数根xn且xn因为an＝[（n+1）xn]（n＝2，3，⋯），其中符号[x]表示不超过x的最大整数，所以n＜（n+1）xn＜n+1，an＝[（n+1）xn]＝n，因此a2故选：A．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了数列的求和，属于中档题．2．（2024秋•诸暨市期末）将函数y＝x3+2的图象绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则tanθ＝（）A．1 B．2 C．3 D．5【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据题意及导数的几何意义，建立方程，即可求解．【解答】解：因为将函数y＝x3+2的图象绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，所以y＝tanθ•x是y＝x3+2过原点的切线，设切点坐标为：(x0，x03+2)则x03+2x0=3所以tanθ＝3．故选：C．【点评】本题考查导数的几何意义的应用，属基础题．3．（2024秋•德州期末）已知函数f（x）＝xlnx+ax．过点P（1，1）可作两条直线与f（x）的图象相切，则a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】B【分析】根据导数的几何意义及过某一点的切线的求法，根据含参方程，从而通过方程的解的条件，可求出a得范围．【解答】解：因为f（x）＝xlnx+ax，所以f′（x）＝lnx+1+a，设过点P（1，1）的直线切f（x）于点（t，tlnt+at），所以切线方程为y﹣（tlnt+at）＝（lnt+1+a）（x﹣t），又其过P（1，1），所以1﹣（tlnt+at）＝（lnt+1+a）（1﹣t），整理可得a＝t﹣lnt，t＞0，因为过点P（1，1）可作两条直线与f（x）的图象相切，所以关于t的方程a＝t﹣lnt（t＞0）有两不等实根，因为y＝a与y＝t﹣lnt有两个交点，设g（t）＝t﹣lnt，t＞0，则g′（t）＝1-1t=t-所以当t∈（0，1）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减；当t∈（1，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，所以g（t）≥g（1）＝1，又t→0时，g（t）→+∞；t→+∞时，g（t）→+∞，所以要使y＝a与y＝t﹣lnt有两个交点，则a∈（1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查导数的综合应用，函数的切线问题的求解，属中档题．4．（2024秋•洛阳期末）已知函数f(x)=ex，x＞02-e-x，x≤0，当x∈（0，e]时，f（xA．0 B．1 C．e D．e+1【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】D【分析】易得f（x）在R上递增，令g（x）＝f（x）+f（﹣x），得到g（x）＝2恒成立，将f（x﹣2a）+f（x+lnx2）≤2，转化为x+lnx2≤2a﹣x，即2a≥2x+lnx2恒成立求解．【解答】解：函数f(当x＞0时，f（x）＝ex，在（0，+∞）上递增，且f（x）＞f（0）＝1；当x≤0时，f（x）＝2﹣e﹣x在（﹣∞，0]上递增，且f（x）≤f（0）＝1，所以f（x）在R上递增，令g（x）＝f（x）+f（﹣x），当x＞0时，g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝ex+2﹣ex＝2，当x≤0时，g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝e﹣x+2﹣e﹣x＝2，所以g（x）＝2恒成立，因为f（x﹣2a）+f（x+lnx2）≤2，即f（x﹣2a）+f（x+lnx2）≤g（x），即f（x+lnx2）≤g（x）﹣f（x﹣2a）＝f（2a﹣x），所以x+lnx2≤2a﹣x，即2a≥2x+lnx2，令h（x）＝2x+lnx2＝2x+2lnx，x∈（0，e]，则h（x）在（0，e]上递增，所以h（x）max＝2+2e，则2a≥2+2e，即a≥1+e，所以a的最小值为e+1．故选：D．【点评】本题主要考查了单调性及最值关系的应用，还考查了恒成立与最值关系的转化，属于中档题．5．（2024秋•临泉县校级期末）已知x＝1是函数f（x）＝ax3﹣3x的一个极值点，其中a为实数，则f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．【专题】方程思想；定义法；导数的综合应用；运算求解．【答案】C【分析】对f（x）求导，根据题意求得a＝1，进而得出函数的单调区间和极大值f（﹣1）＝2，结合f（2）＝2，即可求得函数的最大值．【解答】解：由f（x）＝ax3﹣3x，可得f′（x）＝3ax2﹣3，因为x＝1是函数y＝f（x）的一个极值点，所以f′（1）＝3a﹣3＝0，解得a＝1，则f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），其中x∈[﹣2，2]，当x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣1）＝﹣1+3＝2，又因为f（2）＝23﹣3×2＝2，所以函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值为2．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查了方程思想，属中档题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•南阳期末）已知函数f（x）＝x2﹣2xlnx，g（x）＝ex﹣lnx﹣2，下列说法正确的是（）A．函数g（x）存在唯一极值点x0，且x0B．令h（x）＝f（x）•g（x），则函数h（x）无零点 C．若g（x）+2＞m恒成立，则m＜2 D．若a＞0，b＞0，则a【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】ABD【分析】由g′（x）在（0，+∞）上单调递增，又g'(12)=e-2＜0，g′（1）＝e﹣1＞0，即可判断A；由导数判断出g（x）恒大于0，f（x）恒大于0，即可判断B；由g（【解答】解：f（x）＝x2﹣2xlnx，g（x）＝ex﹣lnx﹣2，对于A：g'(x)=ex-1x在（0，+∞）上单调递增，又g'(所以∃x0∈(12，1)，使得g′（对于B：由A得，∃x0∈(12，1)，使得g′（x0）＝0，即eg（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（x0）=ex0-lnx0﹣2=x0+1x0由f′（x）＝2x﹣2lnx﹣2，令φ（x）＝2x﹣2lnx﹣2，x＞0，φ'(x)=2-2x=2(x-1)x，当x＞1时，φ当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，即φ（x）在（0，1）单调递减，所以φ（x）≥φ（1）＝0，即f′（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）单调递增，又x→0时，f（x）→0，所以f（x）＞0，由g（x）恒大于0，f（x）恒大于0，故h（x）无零点，故B正确；对于C：由B得g（x）＞0，由g（x）+2＞m恒成立，得g（x）＞m﹣2在（0，+∞）恒成立，所以m﹣2≤0，即m≤2，故C错误；对于D：因为f（x）在（0，+∞）单调递增，又a＞0，b＞0，则a+b＞a，所以f（a+b）＞f（a），即（a+b）2﹣2（a+b）ln（a+b）＞a2﹣2alna，整理得2ab则a+b2故选：ABD．【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的应用，属于中档题．（多选）7．（2024秋•田家庵区校级期末）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则下列结论中正确的是（）A．f（x）在（0，1）单调递增 B．f（x）在（1，2）单调递减 C．y＝f（x）的图像关于直线x＝1对称 D．y＝f（x）的图像关于点（0，1）对称【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】ABC【分析】先求定义域，用对数运算性质化为对数型复合函数，根据复合函数的单调性判断A，B的正误；再根据f（x）和f（2﹣x）的关系判断函数的对称性．【解答】解：由题意知，f（x）＝lnx+ln（2﹣x）的定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2﹣x）]＝ln[﹣（x﹣1）2+1]，由复合函数的单调性知，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，故A，B正确；∵函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），∴f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx，即f（x）＝f（2﹣x），即y＝f（x）的图像关于直线x＝1对称，故C正确，D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的对称性，考查运算求解能力，属于基础题．（多选）8．（2025•东兴区模拟）设函数f（x）＝mlnx﹣x，g（x）=-13xA．当m＝1时，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣1 B．当﹣1＜a＜1时，g（x）有三个零点 C．若F（x）＝f（x）﹣g′（x）有两个极值点，则0＜D．若f（mx）≥ex﹣mx在（0，+∞）上有解，则正实数m的取值范围为[e，+∞）【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】ACD【分析】选项A，根据导数的几何意义，求出切线斜率，得出方程；选项B，利用导数求得函数的极值，极大值大于0，极小值小于0，函数有三个零点；选项C，极值点的个数转化为导函数零点的个数求参数范围；选项D，不等式在区间上有解，转化为函数的最值问题，求参数范围．【解答】解：f（x）＝mlnx﹣x，g（x）=-13x选项A，当m＝1时，f（x）＝lnx﹣x，f'(x)=1x-又f（1）＝﹣1，所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣1，故A正确；选项B，g′（x）＝﹣x2+1，当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，g′（x）＜0，当x∈（﹣1，1）时，g′（x）＞0，所以g（x）在（﹣1，1）上单调递增；g（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减；g（x）的极小值为g(-1)=-23+要使g（x）有三个零点，则g(-1)＜0g(1)选项C，F（x）＝f（x）﹣g′（x）＝mlnx﹣x+x2﹣1，则F'若F（x）有两个极值点，则2x2﹣x+m＝0在（0，+∞）有两个不同的正根，则Δ=1-8m＞选项D，令h（x）＝f（mx）﹣ex+mx＝mlnmx﹣ex，则mlnmx≥ex，所以lnmx≥1m可整理为x+lnx≥ex﹣lnm+x﹣lnm，即elnx+lnx≥ex﹣lnm+x﹣lnm，令g（x）＝ex+x，因为g′（x）＝ex+1＞0，所以g（x）单调递增，所以lnx≥x﹣lnm，即lnm≥x﹣lnx，令p（x）＝x﹣lnx，所以p'当0＜x＜1时，p′（x）＜0，p（x）单调递减，当x＞1时，p′（x）＞0，p（x）单调递增，所以p（x）min＝p（1）＝1，即lnm≥1，所以m≥e，所以m的取值范围为[e，+∞），所以D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•舟山期末）若圆C1：x2+y2＝1与曲线C2：y＝ln（x﹣1）+m的公切线经过(1，-12)，则m＝【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】12【分析】由对数函数可知公切线斜率存在，设公切线方程为y=kx-k-12【解答】解：因为y＝ln（x﹣1）+m的导数为y'由题知，公切线斜率存在，设公切线方程为y=则C1到公切线的距离等于半径，即|k+1所以公切线方程为y=对于C2：y＝ln（x﹣1）+m，设切点为（x0，ln（x0﹣1）+m），则可得1x0-故答案为：12【点评】本题考查导数的几何意义的应用，直线与圆的位置关系，属中档题．10．（2024秋•漯河期末）已知函数f（x）＝lnx+x，g（x）＝ex+x，若f（a）＝g（b），则e2b+9+aa+1【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】转化思想；构造法；运算求解．【答案】5．【分析】根据f（a）＝g（b）elna+lna＝eb+b，结合g（x）为增函数，得到lna＝b，再结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为g（x）＝ex+x，易知g（x）在R上单调递增，又由f（a）＝g（b）可得lna+a＝elna+lna＝eb+b，故lna＝b，且a＞0，所以e2b+9+aa+1=e2lna+9+当且仅当a+1=9a+1，即a故答案为：5．【点评】本题考查函数的单调性以及基本不等式，属于中档题．11．（2024秋•诸暨市期末）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝2x+1，则f（1）+f'（1）＝5．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】5．【分析】由已知可得f'（1），再把点M的坐标代入切线方程求解f（1），则答案可求．【解答】解：由函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝2x+1，得f'（1）＝2，将点M的坐标代入切线方程，可得f（1）＝2×1+1＝3，因此，f（1）+f'（1）＝5．故答案为：5．【点评】本题考查导数的概念及其几何意义，是基础题．12．（2025•卫辉市校级模拟）已知f（x）＝xex+3sinx，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】y＝4x．【分析】对函数f（x）求导，由导数的几何意义可得切线的斜率，进而容易得到切线方程．【解答】解：f′（x）＝ex+xex+3cosx，则f′（0）＝1+3＝4，又f（0）＝0，则所求切线方程为y＝4x．故答案为：y＝4x．【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•楚雄州期末）已知函数f（x）＝xlnx．（1）求f（x）的极值．（2）过点P(1a，0)能作两条直线与曲线y＝f（x）相切，且切点坐标为A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），其中x（i）求a的取值范围；（ii）证明：方程ax2+（a﹣3）x+1＝0在（x1，x2）上有解．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（1）极小值为-1（2）（i）（0，1）；（ii）证明见解析．【分析】（1）求导分析函数单调性可求函数极值．（2）（i）表示曲线y＝f（x）在点A，B处的切线方程，问题转化为直线y＝a与曲线g(（ii）通过分析函数单调性结合零点存在性定理可得结果．【解答】解：（1）由题意可得f′（x）＝1+lnx，x∈（0，+∞），令f′（x）＝0，得x=令f′（x）＜0，解得0＜x＜1e，令f′（x）＞0，解得x所以f（x）在（0，1e）上单调递减；（1e，故当x=1e时，f（x（2）（i）易知曲线y＝f（x）在点A处的切线方程为y﹣x1lnx1＝（1+lnx1）（x﹣x1），曲线y＝f（x）在点B处的切线方程为y﹣x2lnx2＝（1+lnx2）（x﹣x2）．因为点P在这两条切线上，所以-x1令g(x)=当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）max＝g（1）＝1．且当x∈(0，1e)时，g（x）＜0，当x∈若直线y＝a与曲线y＝g（x）有两个交点，则只需0＜a＜1，所以a的取值范围为（0，1）．（ii）证明：由ax2+（a﹣3）x+1＝0，得a=3x令h(x)=lnx-2(x由（i）可知，0＜x1＜1＜x2，且h（1）＝0，所以h（x1）＜0，h（x2）＞0，即lnx1＜则a=1+ln同理可得ax故方程ax2+（a﹣3）x+1＝0在（x1，x2）上有解．【点评】关键点点睛：解决第（2）问（i）的关键是把问题转化为直线y＝a与曲线g(x)=1+lnx14．（2024秋•舟山期末）已知函数f(（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及其最大值与最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（1）4x+y﹣6＝0；（2）答案见解析．【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；（2）根据极值点求得a＝4，再应用导数研究函数的单调区间和最值即可．【解答】（1）当a＝0时，f(x)=所以f′（1）＝﹣4，又f（1）＝2，所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣2＝﹣4（x﹣1），即4x+y﹣6＝0；（2）因为f'由f（x）在x＝﹣1处取得极值可得f'解得a＝4，检验符合，故f(x)=3-2x列表如下：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，4）4（4，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增所以函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1）、（4，+∞），减区间为（﹣1，4）．由解析式易知，当x＜32时f（x）＞1；当x＞32时f（所以f(【点评】本题考查导数的几何意义以及导数在函数单调性中的应用，属于中档题．15．（2024秋•诸暨市期末）已知函数f（x）＝aex+x2﹣2x+1（a∈R）．（1）是否存在实数a，使得x＝2为函数f（x）的极小值点．若存在，求a的值；若不存在，请说明理由；（2）求证：当a∈(-54，0)【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）对函数求导，若存在实数a，使得x＝2为函数f（x）的极小值点，得a=-2e2（2）问题化为∃x1∈R，满足f（x1）+f（﹣x1）＝0，构造h(x)=-2x2【解答】解：（1）根据题意可得导函数f′（x）＝aex+2x﹣2，如果x＝2为f（x）的极小值点，那么f′（2）＝ae2+2＝0，所以a=因此函数f（x）＝﹣2ex﹣2+x2﹣2x+1，导函数f′（x）＝﹣2ex﹣2+2x﹣2，令函数g（x）＝f′（x），那么导函数g′（x）＝2（1﹣ex﹣2），当x＞2时，g′（x）＜0，当x＜2时，g′（x）＞0，因此函数g（x）在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）上单调递增，且g（2）＝0，因此f′（x）≤f′（2）＝0，因此函数f（x）在定义域内单调递减，无极值点，因此不存在实数a，使得x＝2为f（x）的极小值点．（2）证明：要证明存在关于原点对称的两点，即证明∃x1∈R，满足f（x1）+f（﹣x1）＝0，所以a=设函数h(x)=-2x2x＞0时，那么导函数h'=-=2e-x(x-1)2(设函数φ（x）=ex+x+1x-1=1+ex+2x当0＜x＜1，那么导函数φ′（x）=e根据函数r（x）＝（x﹣1）2ex﹣2且0＜x＜1，那么导函数r′（x）＝（x2﹣1）ex＜0，因此r（x）在（0，1）上单调递减，r（0）＝﹣1＜0，所以ex因此导函数φ'（x）＜0，所以函数φ（x）在（0，1）上单调递减，那么φ（x）＜φ（0）＝0，综上所述，在（1，+∞）上φ（x）＞0，在（0，1）上φ（x）＜0，设φ(x)=所以φ（x）在（0，1）和（1，+∞）都单调递增，φ（0）＝2＞0，则在（0，1）上φ（x）＞0，由φ(32)=e32-5=e3-25所以∃x0∈(32，2)，在（1，x0）上φ（x）＜0，在（x0，+综上，在（0，x0）上h′（x）＜0，在（x0，+∞）上h′（x）＞0，所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，h（x）≥h（x0），当x→+∞，h（x）→0且h（x）＜0恒成立，又φ(所以h(所以(-54，0)故a∈(-54，0)【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．

考点卡片1．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x（Ⅲ）求证：ln2解：（Ⅰ）f'(x当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln2．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B3．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．4．利用导数求解函数的极值【知识点的认识】1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．2、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．【命题方向】常见题型包括利用导数求解函数的极值，分析函数在极值点的行为．已知函数f（x）＝﹣lnx+2x﹣2．求函数f（x）的极值．解：f（x）的定义域为（0，+∞）．令f'（x）＝0，得-1x+2=0令f'（x）＞0，得x＞12；令f'（x）＜0故f（x）在(0，12所以f（x）存在极小值为f(5．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与