2024-2025学年上学期高二数学人教A版期中必刷常考题之导数的概念及其意义

第28页（共28页）2024-2025学年上学期高二数学人教A版（2019）期中必刷常考题之导数的概念及其意义一．选择题（共5小题）1．（2024秋•河南期末）已知函数f（x）＝xlnx﹣x2，则limΔxA．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．（2024秋•深圳校级期末）若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数等于a，则limΔxA．a B．2a C．3a D．13．（2024秋•上城区校级期末）已知点P是曲线C：y=x3-3x2A．[π4，π2] B．[π44．（2024秋•沧州期末）已知函数f（x）＝sin（cosx），则limtA．1 B．0 C．﹣1 D．sin15．（2024秋•温州期末）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（）A．f(3)-B．f'C．f'D．f二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•香坊区校级期末）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则以下说法正确的为（）A．﹣2是函数y＝f（x）的极值点 B．函数y＝f（x）在x＝1处取最小值 C．函数y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零 D．函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增（多选）7．（2024秋•西湖区校级期末）下列命题正确的是（）A．（e﹣x）′＝e﹣x B．已知函数f（x）在R上可导，且f′（1）＝1，则limΔxC．若y＝f（x）•g（x），则y′＝f′（x）•g（x）+f（x）•g′（x） D．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）＝t2+1，则该质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s（多选）8．（2024秋•连云港期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)=120t+5+15，其中TA．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12℃ B．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为﹣2.4℃/min C．当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是﹣1.2℃/min D．蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻t三．填空题（共4小题）9．（2024秋•安阳期末）若limx0→0f(1+x0)-f(1)10．（2024秋•河南期末）曲线f（x）＝ex﹣1在x＝1处的切线的倾斜角为．11．（2025•山西模拟）已知f（x）＝x2+x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角是．12．（2024秋•吉安期末）过点（0，﹣2）作曲线y=x-1x四．解答题（共3小题）13．（2024•邢台二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式00型或∞∞型极限的一种重要方法，其含义为：若函数f（x）和g（①limx→af(x)=0②在点a的附近区域内两者都可导，且g′（x）≠0；③limx→a则limx（1）用洛必达法则求limx（2）函数f(x)=1+x+x22!+x33!+⋯+x（3）已知g（2x）＝g（x）•cosx，g（0）＝1，x∈(-π2参考公式：limx→a14．（2024春•辽源期末）已知函数f（x）＝x﹣1+a（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．15．（2024春•黄浦区校级期中）已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间（单位：秒）的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒．（1）求车轮转动前2秒的平均角速度；（2）求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度．

2024-2025学年上学期高二数学人教A版（2019）期中必刷常考题之导数的概念及其意义参考答案与试题解析题号12345答案BBBCB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•河南期末）已知函数f（x）＝xlnx﹣x2，则limΔxA．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解．【解答】解：函数f（x）＝xlnx﹣x2，则f′（x）＝1+lnx﹣2x，所以f′（1）＝1+ln1﹣2＝﹣1，limΔx→0f(1)-f(1+Δx故选：B．【点评】本题主要考查导数的定义和导数的运算公式，属于基础题．2．（2024秋•深圳校级期末）若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数等于a，则limΔxA．a B．2a C．3a D．1【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】B【分析】利用导数的几何意义以及极限的性质化简即可求解．【解答】解：由题意可得f′（x0）＝a，则limΔx→0f(x0+2Δx)-f(故选：B．【点评】本题考查了导数的几何意义以及极限的性质，属于基础题．3．（2024秋•上城区校级期末）已知点P是曲线C：y=x3-3x2A．[π4，π2] B．[π4【考点】导数与切线的斜率．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】B【分析】结合导数的几何意义，先求出切线的斜率范围，即可求出倾斜角，即可求解．【解答】解：曲线C：则y'=3x2-23曲线C在点P处的切线的倾斜角为α，则tanα≥1，故α的取值范围为[π4，π故选：B．【点评】本题主要考查导数与切线的斜率，属于基础题．4．（2024秋•沧州期末）已知函数f（x）＝sin（cosx），则limtA．1 B．0 C．﹣1 D．sin1【考点】变化率的极限与导数的概念．【专题】极限思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据导数的概念计算即可．【解答】解：由题意得f′（x）＝﹣sinx•cos（cosx），所以limt故选：C．【点评】本题考查导数的概念，属于基础题．5．（2024秋•温州期末）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（）A．f(3)-B．f'C．f'D．f【考点】导数与切线的斜率．【专题】计算题；数形结合；综合法；导数的概念及应用；数学抽象．【答案】B【分析】根据题意，由导数的几何意义和割线的斜率分析可得答案．【解答】解：根据题意，如图：由导数的几何意义，f′（1）为曲线在x＝1处切线的斜率，f′（3）为曲线在x＝1处切线的斜率，f(3)-f(1)3-1=则有f'故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，注意直线的斜率分析，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•香坊区校级期末）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则以下说法正确的为（）A．﹣2是函数y＝f（x）的极值点 B．函数y＝f（x）在x＝1处取最小值 C．函数y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零 D．函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增【考点】导数及其几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】AD【分析】根据导函数图像判断函数的单调性，再根据选项逐一判断即可．【解答】解：根据导函数y＝f'（x）的图象，可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0且仅当x＝1时，f'（x）＝0，故函数在（﹣∞，﹣2）上函数f（x）单调递减；在（﹣2，+∞）函数f（x）单调递增，所以﹣2是函数y＝f（x）的极小值点，所以A正确；其中x＝1两侧函数的单调性不变，则在x＝1处不是函数y＝f（x）的最小值，所以B不正确；由图像可知f'（0）＞0，所以函数y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率大于零，所以C不正确；由y＝f（x）图象可得，当x∈（﹣2，2）时，f'（x）≥0，所以函数y＝f（x）在x∈（﹣2，2）上单调递增，所以D正确，故选：AD．【点评】本题主要考查了导数的几何意义和函数的单调性与极值，考查了数形结合思想，属于基础题．（多选）7．（2024秋•西湖区校级期末）下列命题正确的是（）A．（e﹣x）′＝e﹣x B．已知函数f（x）在R上可导，且f′（1）＝1，则limΔxC．若y＝f（x）•g（x），则y′＝f′（x）•g（x）+f（x）•g′（x） D．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）＝t2+1，则该质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s【考点】变化率的极限与导数的概念；含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】根据导数的定义与性质，对选项中的命题真假性判断即可．【解答】解：对于A，（e﹣x）′＝﹣e﹣x，选项A错误；对于B，limΔx→0f(1+Δx)-f(1-Δx)Δx对于C，y＝f（x）g（x），则y′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x），选项C正确；对于D，由y（t）＝t2+1，所以y′（t）＝2t，y′（2）＝4，所以该质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s，选项D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了导数的定义与应用问题，是基础题．（多选）8．（2024秋•连云港期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)=120t+5+15，其中TA．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12℃ B．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为﹣2.4℃/min C．当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是﹣1.2℃/min D．蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻t【考点】平均变化率；瞬时变化率．【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】ABC【分析】对于A，分别求出t＝0和t＝5时的蜥蜴体温，即可得到从t＝0到t＝5的蜥蜴体温下降量；对于B，根据平均变化率计算公式即可得出结果；对于C，求出T′（t），令t＝5，即可求出蜥蜴体温的瞬时变化率；对于D，令T′（t）＝﹣3，求出t的值，即是蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻．【解答】解：根据题意，T(t)=依次分析选项：对于A，当t＝0时，T(0)=1205+15=39，当t＝所以从t＝0到t＝5，蜥蜴的体温下降了39﹣27＝12，故A正确；对于B，从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为T(5)-T(0)对于C，T'(t)=-120(t+5)2，当t＝5时，T'(5)=对于D，令T'(t)=-故选：ABC．【点评】本题考查平均变化率、瞬时变化率的计算，涉及导数的计算，属于基础题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•安阳期末）若limx0→0f(1+x0)-f(1)【考点】变化率的极限与导数的概念．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】﹣9．【分析】根据导数的定义求值．【解答】解：由导数的定义可知limx0所以f′（1）＝﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题主要考查了导数的定义，属于基础题．10．（2024秋•河南期末）曲线f（x）＝ex﹣1在x＝1处的切线的倾斜角为π4【考点】导数与切线的斜率．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】π4【分析】根据导数的几何意义求导即可求得斜率，可得倾斜角．【解答】解：曲线f（x）＝ex﹣1，则f′（x）＝（ex﹣1）′＝ex﹣1，当x＝1时，切线的斜率为1，故切线的倾斜角为π4故答案为：π4【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．11．（2025•山西模拟）已知f（x）＝x2+x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角是π4【考点】导数与切线的斜率．【专题】方程思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】π4【分析】对函数y＝f（x）求导，求出在点（0，f（0））处的切线斜率，进而得出倾斜角．【解答】解：由f（x）＝x2+x，得f′（x）＝2x+1，则f′（0）＝1，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，设斜线的倾斜角为α（0≤α＜π），则tanα＝1，可得α=π故答案为：π4【点评】本题考查导数的几何意义及应用，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．12．（2024秋•吉安期末）过点（0，﹣2）作曲线y=x-1x【考点】导数与切线的斜率．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】2．【分析】先求导，设出切点，再结合切线的性质，列出方程组，即可求解．【解答】解：y＝f（x）=x则y'＝f'（x）＝1+1设切点为（x0，y0），则x0-1故切线的斜率为f'（1）＝1+1＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查导数与切线的性质，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024•邢台二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式00型或∞∞型极限的一种重要方法，其含义为：若函数f（x）和g（①limx→af(x)=0②在点a的附近区域内两者都可导，且g′（x）≠0；③limx→a则limx（1）用洛必达法则求limx（2）函数f(x)=1+x+x22!+x33!+⋯+x（3）已知g（2x）＝g（x）•cosx，g（0）＝1，x∈(-π2参考公式：limx→a【考点】极限及其运算．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）1；（2）函数f（x）仅在（﹣∞，0）上存在1个零点；（3）g（x）=sinx【分析】（1）直接利用洛必达法则求解即可；（2）求出导函数f'（x），并利用导数判断函数f(（3）由题意可得：g(2x)g(x)【解答】解：（1）limx（2）因为f(x)=1+所以f'(x)-f(x)=-x2n-1(2n当x＞0时，h'（x）=[f(x)ex]'＜0，函数h当x＜0时，h'（x）=[f(x)ex]'＞0而limx→-∞f(x)ex=-∞，f（0）＝1所以当x＞0时，h（x）=f所以函数f（x）仅在（﹣∞，0）上存在1个零点．（3）因为g（2x）＝g（x）•cosx，所以g(2所以g(x)g(所以将各式相乘得：g(所以两侧同时运算极限得：limn即g(令t=x2n，原式可化为g(x)所以由（1）得：g(x)=sinxx(x≠0)，由题意函数综上，g（x）=sinx【点评】本题考查新定义、利用导数研究函数的单调性、零点，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．14．（2024春•辽源期末）已知函数f（x）＝x﹣1+a（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】变化的快慢与变化率；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；函数思想；转化法；导数的综合应用．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数的几何意义即可求出，（Ⅱ）先求导，再根据导数和函数极值的关系即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x﹣1+aex，得f′（x由函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得f′（1）＝1-ae=0，解得（Ⅱ）f′（x）＝1-①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上为增函数，f（x）无极值②当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lna，∴x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．∴f（x）在x＝lna处取得极小值，且极小值为f（lna）＝lna，无极大值综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．【点评】本题考查了导数和函数的极值的关系，关键是分类讨论，属于中档题．15．（2024春•黄浦区校级期中）已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间（单位：秒）的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒．（1）求车轮转动前2秒的平均角速度；（2）求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度．【考点】变化的快慢与变化率；导数及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】（1）4π；（2）12π．【分析】（1）设出未知数，得到y＝kt2，待定系数法求出解析式，从而计算出车轮转动前2秒的平均角速度；（2）求导，由导函数的意义得到答案．【解答】解：（1）设车轮旋转的角度为y，车辆启动后车轮转动的时间为t秒，则y＝kt2，由题意得t＝1时，y＝2π，即2π＝12k，解得k＝2π，故y＝2πt2，车轮转动前2秒的平均角速度为2π（2）y＝2πt2，y′＝4πt，由导函数的意义可得车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度为4π×3＝12π．【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．

考点卡片1．变化的快慢与变化率【知识点的认识】1、平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化2、瞬时变化率：变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：△y△x=f(x13、导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解题方法点拨】瞬时速度特别提醒：①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：①当△x→0时，比值△y△x的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若△y△x的极限不存在，则f②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：f′（x0）=△x→0limf(x导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）=△②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．【命题方向】典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（）A．3△t+6B．﹣3△t+6C．3△t﹣6D．﹣3△t﹣6分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．解：V=故选D．点评：本题考查函数的平均变化率公式：f(典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为△s（2）定义法：即对平均速度为△s△t当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即s＝8﹣3t2在t＝1处的导数值，故只需求t＝1时函数s＝8﹣3解答：由题意可知：（1）∵s＝8﹣3t2∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：v=（2）定义法：质点在t＝1时的瞬时速度为v=求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，∴当t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．2．平均变化率【知识点的认识】平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化【解题方法点拨】﹣计算：将区间端点a和b代入函数f，计算f(﹣解释：平均变化率描述了函数在区间上的平均斜率，反映函数值的总体变化趋势．【命题方向】常见题型包括计算函数在给定区间上的平均变化率，解决实际问题中的平均变化率计算．函数f（x）＝log2x在区间[2，4]上的平均变化率是_____．解：函数的平均变化率是f(4)-故答案为：123．瞬时变化率【知识点的认识】1、平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化2、瞬时变化率：变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：△y△x=f(x1【解题方法点拨】函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处附近平均变化率的极限：x→【命题方向】常见题型包括计算函数在特定点上的瞬时变化率，分析实际问题中的瞬时变化率．函数f(x)=-6x在解：函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率为limΔx故答案为：6．4．导数及其几何意义【知识点的认识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）=x【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．【命题方向】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线y=x2A．3B．2C．1D．1解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线y=x2∴y′=x02-3x0=12，解得x故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．5．变化率的极限与导数的概念【知识点的认识】导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解题方法点拨】导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）=△②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．【命题方向】常见题型包括利用极限定义导数，解决涉及导数和变化率的实际问题．已知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）＝﹣1，则limΔx→0解：∵f'（x0）＝﹣1，∴limΔx→0f(x0+6．含Δx表达式的极限计算与导数的关系【知识点的认识】导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解题方法点拨】导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）=△②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．【命题方向】常见题型包括利用极限定义导数，解决涉及导数和变化率的实际问题．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为f′（x0），则limΔxA．2f′（x0）B．﹣2f′（x0）C．12f'(解：根据题意，limΔx→0f(x故选：C．7．导数与切线的斜率【知识点的认识】导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）=x【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．【命题方向】求切线方程典例2：已知函数f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．8．极限及其运算【知识点的认识】1．数列极限（1）数列极限的表示方法：（2）几个常用极限：③对于任意实常数，当|a|＜1时，n→∞liman＝当|a|＝1时，若a＝1，则n→∞liman＝1；若a＝﹣1，则n→∞liman＝（﹣当|a|＞1时，n→∞lima（3）数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．（4）数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S=a11-q（|q（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限．x→2．函数极限；（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作x→x0limf(x)=a或当x→x注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是x→x0如P（x）=x-1;x＞1-x+1;（2）函数极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．注：①各个函数的极限都应存在．②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．（3）几个常用极限：3．函数的连续性：（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），f(x)g(x)（g（x）≠0（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②x→x0limf(x)存在；③函数f（x）在点x＝x（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②x→x0limf(x)不存在；③9．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x（Ⅲ）求证：ln2解：（Ⅰ）f'(x当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln10．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在