2024-2025学年上学期高一数学人教A版期中必刷常考题之复数的三角表示

第19页（共19页）2024-2025学年上学期高一数学人教A版（2019）期中必刷常考题之复数的三角表示一．选择题（共5小题）1．（2024•惠来县校级模拟）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”．若复数z满足z⋅eiπ3=2，则|zA．[1，9] B．[1，3] C．[1，5] D．[3，5]2．（2024秋•昭通期中）棣莫佛定理：若复数z＝r（cosθ+isinθ），则zn＝rn（cosnθ+isinnθ），计算(1A．﹣1 B．-12+32i C3．（2024春•重庆期末）复数z=2(A．sinπ6 B．1 C．z=2cos4．（2024春•东西湖区校级期中）设复数z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，O为坐标原点，且z1=-A．1-3i B．-1+3i C5．（2024春•宝山区期末）如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”．已知-2+aii与3+bi互为“共胚复数”，其中a、b∈R，i为虚数单位，则aA．﹣2 B．0 C．3 D．﹣1二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•上期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式r（cosθ+isinθ），其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为z的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数z满足z5＝32，则z可能的取值为（）A．2(cosπ10+isinC．2(cosπ2+（多选）7．（2024春•广丰区校级期末）欧拉公式exi＝cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则（）A．eπi＝1 B．eπi2C．|eD．复数e2i对应的点位于第三象限（多选）8．（2024春•佛山期末）关于复数z=cosπA．z⋅B．z在复平面内对应的点位于第二象限 C．z3＝1 D．z2﹣z+1＝0三．填空题（共4小题）9．（2024春•临夏州期末）计算：(cosπ4+10．（2024春•福建期末）若复数z满足z1+i=i2020+i11．（2023春•杨浦区校级期末）已知i为虚数单位，z=1+3i，则z的辐角主值为12．（2022•苏州三模）任何一个复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若r＝1，θ=π4时，则z2022＝；对于∀n∈N*，n≥2，k=2四．解答题（共3小题）13．（2024春•邗江区校级期中）已知：①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi②eix＝cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根．（1）设ω=-12（2）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合；（3）复数z=cosπ1012+isinπ1012，求（z﹣1）（z214．（2024秋•普陀区校级期中）已知i为虚数单位．设θ∈[0，π2]，复数z0＝（3sinθ﹣cosθ）+（sin（1）若z0的实部与虚部相等，求θ的大小；（2）已知p，q∈R，θ=π2，若z0是方程x2+px+q＝0的一个虚根，求p与15．（2024春•铜仁市期末）任意一个复数z的代数形式都可写成三角形式，即z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），其中i为虚数单位，r=|z|=a2+b2，cosθ=ar，sinθ=br，θ∈[0，2π）．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，z1z2=r1r2[cos(θ1-θ2)+请用以上知识解决以下问题：（1）试将z=（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求z1（3）设z＝a+bi，a，b∈R，当|z|＝1时，求|z2+z+1|的最大值和最小值．

2024-2025学年上学期高一数学人教A版（2019）期中必刷常考题之复数的三角表示参考答案与试题解析题号12345答案BABBD一．选择题（共5小题）1．（2024•惠来县校级模拟）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”．若复数z满足z⋅eiπ3=2，则|zA．[1，9] B．[1，3] C．[1，5] D．[3，5]【考点】复数的三角表示；复数的模；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】结合欧拉公式，求出z，再结合复数模公式，复数的几何意义，即可求解．【解答】解：eπ则z=故z在复平面上对应的点Z(1，-3)，eiθ对应的点p为（cosθ，所以|z﹣eiθ|为点Z到点P的距离，其最小值为|OZ|﹣1，最大值为|OZ|+1，|OZ|＝2，故|z﹣eiθ|的取值范围为[1，3]．故选：B．【点评】本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．2．（2024秋•昭通期中）棣莫佛定理：若复数z＝r（cosθ+isinθ），则zn＝rn（cosnθ+isinnθ），计算(1A．﹣1 B．-12+32i C【考点】复数的三角表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】根据题目中棣莫佛定理，根据三角函数的诱导公式，可得答案．【解答】解：若复数z＝r（cosθ+isinθ），则zn＝rn（cosnθ+isinnθ），由棣莫佛定理得：(1故选：A．【点评】本题考查的知识点：复数的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题．3．（2024春•重庆期末）复数z=2(A．sinπ6 B．1 C．z=2cos【考点】复数的代数形式与三角形式互化；复数的实部与虚部．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】将复数的三角形式化为一般形式，进而求出复数的虚部．【解答】解：z=2(cosπ6+isinπ6所以该复数的虚部1．故选：B．【点评】本题考查复数的三角形式与一般形式的互化及复数虚部的求法，属于基础题．4．（2024春•东西湖区校级期中）设复数z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，O为坐标原点，且z1=-A．1-3i B．-1+3i C【考点】复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】把z1【解答】解：由题意知，z1=-2+2i=2（-22+所以z＝2（cos3π4+isin3π4）[cos（-3π4）+isin（-3π4由z＝z2（cos4π3+isin3所以z2=2cos4π3+isin4π3=故选：B．【点评】本题考查了复数的代数形式与三角形式互化问题，是基础题．5．（2024春•宝山区期末）如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”．已知-2+aii与3+bi互为“共胚复数”，其中a、b∈R，i为虚数单位，则aA．﹣2 B．0 C．3 D．﹣1【考点】复数的三角表示；虚数单位i、复数．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由已知条件即可求出答案．【解答】解：-2+∵-2+aii与∴a＝﹣3，b＝2．则a+b＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•上期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式r（cosθ+isinθ），其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为z的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数z满足z5＝32，则z可能的取值为（）A．2(cosπ10+isinC．2(cosπ2+【考点】复数的三角表示．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解；新定义类．【答案】BD【分析】根据棣莫佛定理可得z的一般形式，故可得正确的选项．【解答】解：设z＝r（cosθ+isinθ），其中r＞0，则z5＝r5（cos5θ+isin5θ）＝32，故r5cos5θ＝32，sin5θ＝0，而cos5θ＞0，故5θ＝2kπ，k∈Z，所以θ=2kπ5，k故r＝2，故z＝2（cos2kπ5+isin2kπ5故BD正确，AC错误．故选：BD．【点评】本题考查棣莫佛定理的应用，属于基础题．（多选）7．（2024春•广丰区校级期末）欧拉公式exi＝cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则（）A．eπi＝1 B．eπi2C．|eD．复数e2i对应的点位于第三象限【考点】复数乘、除运算的三角表示及其几何意义；复数的代数形式与三角形式互化．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BC【分析】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D．【解答】解：对于A：eπi＝cosπ+isinπ＝﹣1，故A错误；对于B：eπi2=cosπ对于C：|exi3对于D：e2i＝cos2+isin2，则复数e2i在复平面内对应的点为（cos2，sin2），因为π2＜2＜π，所以cos2＜0，sin2＞0即复数e2i对应的点位于第二象限，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查了复数的代数形式与三角形式的互化，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．（多选）8．（2024春•佛山期末）关于复数z=cosπA．z⋅B．z在复平面内对应的点位于第二象限 C．z3＝1 D．z2﹣z+1＝0【考点】复数的代数形式与三角形式互化．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AD【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．【解答】解：z=cosπz⋅z=(z在复平面内对应的点的坐标为（12，-32z3=zz2-z+1=-故选：AD．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．三．填空题（共4小题）9．（2024春•临夏州期末）计算：(cosπ4+【考点】复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】﹣1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：cosπ4则(cosπ4+isin故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．10．（2024春•福建期末）若复数z满足z1+i=i2020+i2021【考点】复数的三角表示．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】2i．【分析】根据复数的乘方及乘法运算计算即可．【解答】解：z1+所以z＝（1+i）2＝2i．故答案为：2i．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．11．（2023春•杨浦区校级期末）已知i为虚数单位，z=1+3i，则z的辐角主值为【考点】复数的辐角和辐角主值．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】π3【分析】由复数的辐角主值直接可求．【解答】解：复数z=1+3i对应复平面内的点为Z（1设z的辐角主值为θ，∵|z|=12∵θ∈（0，2π），∴θ=故答案为：π3【点评】本题考查复数的辐角主值的求法，属于基础题．12．（2022•苏州三模）任何一个复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若r＝1，θ=π4时，则z2022＝﹣i；对于∀n∈N*，n≥2，k=2【考点】复数的三角表示；数列与三角函数的综合．【专题】对应思想；转化法；推理和证明；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）﹣i；（2）sinπ【分析】利用给定定理直接计算即得z2022；令ω＝cosπn+isinπn，求出等比数列{ωn﹣1}（n≥2）前n【解答】解：当r＝1，θ=π4时，z＝cosπ4+isinπ4，所以z2022=(cosπ4+isinπ4)2022=cos∀n∈N*，令ω＝cosπn+isinπn，则ωn=(cosπn+isinπ∀n∈N*，n≥2，ω+ω2+ω3+...+ωn﹣1=ω(1-而ω+ω2+ω3+...+ωn﹣1=k=2ncos(k-1)πn+ik=2n所以，k=2n[cos(k-故答案为：﹣i；sinπ【点评】涉及复数z的n次幂zn的求和问题，可把zn视为等比数列{zn}的第n项，再借助数列问题求解．四．解答题（共3小题）13．（2024春•邗江区校级期中）已知：①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi②eix＝cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根．（1）设ω=-12（2）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合；（3）复数z=cosπ1012+isinπ1012，求（z﹣1）（z2【考点】复数的三角表示；虚数单位i、复数；复数的运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）-12（2）{﹣1，1，-12+32i，-12-3（3）﹣2024．【分析】（1）利用欧拉公式及ω3＝1可求得ω2024；（2）设x＝cosθ+isinθ，依题意，可求得cos6θ＝1⇒6θ＝2kπ，k∈Z，对k赋值可求得复数x的值所组成的集合；（3）依题意，可得（2n）2024＝1⇒x2024﹣1＝0的根为1，z，z2…，z2023，分析可得（x﹣z）（x﹣z2）⋯（x﹣z2023）＝1+x+⋯+x2023，再令x＝1可求得答案．【解答】解：（1）由ω=-12+32i＝则ω3=(ei2π3)3=ei2π＝则ω2024（2）设x＝cosθ+isinθ，则x6＝（cosθ+isinθ）6＝（eiθ）6＝ei6θ＝cos6θ+isin6θ＝1，故cos6θ＝1，6θ＝2kπ，k∈Z，则当k＝0，1，2，3，4，5时，分别对应的θ=0，π故相应的x=1，1故由所有的复数x所组成的集合为{﹣1，1，-12+32i，-12-3（3）若z＝cosx+isinx，则zn＝（cosx+isinx）n＝（eix）n＝einx＝cosnx+isinnx，因为z=则(z易知，关于x的方程x2024﹣1＝0的根为1，z，z2…，z2023，故x2024﹣1＝（x﹣1）（x﹣z）（x﹣z2）⋯（x﹣z2023），又x2024﹣1＝（x﹣1）（1+x+x2+x2023），故（x﹣z）（x﹣z2）⋯（x﹣z2023）＝1+x+⋯+x2023，令x＝1，可得（1﹣z）（1﹣z2）⋯（1﹣z2023）＝1+1+⋯+12023＝2024，且2023为奇数，所以（z﹣1）（z2﹣1）⋯（z2022﹣1）＝﹣2024．【点评】本题考查复数的三角形式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于难题．14．（2024秋•普陀区校级期中）已知i为虚数单位．设θ∈[0，π2]，复数z0＝（3sinθ﹣cosθ）+（sin（1）若z0的实部与虚部相等，求θ的大小；（2）已知p，q∈R，θ=π2，若z0是方程x2+px+q＝0的一个虚根，求p与【考点】复数的三角表示；实系数多项式虚根成对定理．【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）θ=（2）p＝﹣6，q＝10．【分析】（1）由实部与虚部相等建立等量关系，结合角的范围计算可得结果；（2）代入θ=π2可得复数z0，将复数【解答】解：（1）由z0＝（3sinθ﹣cosθ）+（sinθ+cosθ）i的实部与虚部相等，得3sinθ﹣cosθ＝sinθ+cosθ，即sinθ＝cosθ，∵θ∈[0，π2]∴θ=（2）∵θ=π2，∴z0＝（3sinθ﹣cosθ）+（sinθ+cosθ）i＝代入方程x2+px+q＝0，可得：（3+i）2+p（3+i）+q＝0，即3p+q+8+（6+p）i＝0，则3p+q【点评】本题考查复数三角形式的运算，考查方程思想，是基础题．15．（2024春•铜仁市期末）任意一个复数z的代数形式都可写成三角形式，即z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），其中i为虚数单位，r=|z|=a2+b2，cosθ=ar，sinθ=br，θ∈[0，2π）．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，z1z2=r1r2[cos(θ1-θ2)+isin请用以上知识解决以下问题：（1）试将z=（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求z1（3）设z＝a+bi，a，b∈R，当|z|＝1时，求|z2+z+1|的最大值和最小值．【考点】复数乘、除运算的三角表示及其几何意义；复数的三角表示．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）23（cos2π3+i（2）-310±3（3）最大值和最小值分别为3，0．【分析】（1）运用复数的三角形式得到；（2）数形结合，运用余弦定理求出cos∠Z1OZ2，进而求出sin∠Z1OZ2，结合z1（3）设z＝cosθ+isinθ，θ∈R，依题意，可得|z2+z+1|＝|2cosθ+1|，从而可求得|z2+z+1|的最大值和最小值．【解答】解：（1）运用复数的三角形式得z=（2）如图，设复数z1对应向量为OZ设复数z2对应向量为OZ则在△OZ1Z2，运用余弦定理，cos∠所以sin∠由题意z1（3）因为|z|＝1，设z＝cosθ+isinθ，θ∈R，则|z2+z+1|＝|z2+z+z•z|＝|z（z+z+1＝|z||z+z+1|＝|2cosθ因为﹣1≤cosθ≤1，可得﹣1≤2cosθ+1≤3，所以|z2+z+1|max＝3，|z2+z+1|min＝0．【点评】本题考查复数的运算性质的应用，属于中档题．

考点卡片1．数列与三角函数的综合【知识点的认识】函数、数列、解析几何作为高中数学的主要躯干，蕴含着诸多的数学思想和方法（数形结合、函数与方程、转化和归纳等），因而一直是高考的重点．尤其是它们互相之间及和其他数学知识（如复数、向量等）之间的互相渗透、互相联系，更为高考命题带来广阔的空间．而传统的章节复习法使学生分散地学习知识，对各个章节的联系和渗透考虑较少，从而造成对一些综合题心存胆怯．近几年高考中常见的函数﹣数列﹣解析几何综合题就是其中的典型．【解题方法点拨】事实上，无论是函数、数列还是解析几何中的曲线（包括复数、向量），都表现出数和形两种状态，数列是一个特殊的函数；函数的图象（解析式）则可看作解析几何中一种特殊的形（方程）；而复数、向量的坐标顺理成章地使它们与函数、数列及解析几何发生联系．解函数﹣数列﹣解析几何综合题首先是建立在对数学基本概念理解的基础上，然后抓住概念间内在的联系，将问题转化为较熟悉的数学问题予以解决，当然这也离不开对各章节内部的扎实基本功．2．虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中3．复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中【解题方法点拨】﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．【命题方向】﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案为：﹣3或1．4．复数的模【知识点的认识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：OZ→的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=5．复数的运算【知识点的认识】复数的加、减、乘、除运算法则6．复数的三角表示【知识点的认识】在复平面中，我们设r=|OZ|，θ是以x则a＝rcosθ，b＝rsinθ，z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），我们把r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，其中r是复数的模，(2)(2)+2【解题方法点拨】（1）复数的三角形式Z＝r（cosθ+isinθ）满足以下条件：①r≥0；②加号连接；③cos在前，sin在后；④θ前后一致，可为任意值．（2）代数式化三角式的步骤：①先求复数的模；②决定辐角所在的象限；③根据象限求出辐角；④求出复数三角式．注意：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值，这既使表达式简便，又便于运算，