2024-2025学年贵州省贵阳一中高三（下）月考数学试卷（六）（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年贵州省贵阳一中高三（下）月考数学试卷（六）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=11−i2025A.−12 B.12 C.−2.下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递减的函数是(

)A.y=ln|x| B.y=2x−23.若向量a,b都是单位向量，且满足|a−2bA.14 B.−14 C.−14.已知直线l：y=x+2与双曲线C：x2a2−y2bA.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(5.已知直线l：y=x+b与圆C：(x−5)2+(y−3)2=4交于A，BA.b∈[−3,−1] B.b∈[−3,0] C.b∈[−3,2−2]6.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为(

)A.2 B.15463 C.15364 7.已知0≤α≤π2,0≤β≤5π4A.−π4 B.π4 C.3π8.已知函数f(x)=|x−a|+2x，若不等式f(x)≥2在x∈[1,2]上恒成立，则参数a的取值范围是(

)A.[1,3] B.(−∞,1]∪[3,+∞)

C.[22−2,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，十八世纪，f(x)=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2.则下列命题中正确的是(

)A.∀x∈R，x−1<[x]≤x

B.对任意整数n，有[x+n]=[x]+n

C.存在正实数T，使得[x+T]=[x]对所有x成立

D.函数g(x)=f(x)−23x10.函数f(x)的图象向左平移π24个单位后得到函数g(x)=cos(ωx+φ)+b(ω>0,0<φ<π)的图象，且函数g(x)的图象与函数y=tan2x+1的图象有相同的对称中心，则A.f(x)+1=cos(4x−π6)

B.函数f(x)的图象关于直线x=π6对称

C.在区间[0,π3]上存在函数f(x)图象的11.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，P是C上异于顶点的动点，则下列结论正确的是(

)A.若l过点F，则∠AOB为钝角

B.若AF=2FB，则l的斜率为±22

C.若Q(0,−1)，则点P的纵坐标为l时，|PF||PQ|最小

D.若四边形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.不等式log1213.在10道试题中有6道代数题和4道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是______．14.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一一牛顿法.如图，r是函数f(x)的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数x0，x1，⋯，xn−1，xn，在横坐标为x0的点处作f(x)的切线，则f(x)在x=x0处的切线与x轴交点的横坐标是x1，同理f(x)在x=x1处的切线与x轴交点的横坐标是x2，⋯，一直继续下去，得到数列{xn}.令f(x)=(x−1)3.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

被誉为“数学之王”、“东方第一几何学家”的数学家苏步青曾说过：“语文是基础，是成才的第一要素，没有一定的语文素养根本学不好数理化等其他科目.”为了了解语文成绩与数学成绩之间是否有关联，某校数学组老师从学校获取了容量为200的随机样本，将所得数学和语文成绩的样本观测数据整理如下：数学成绩语文成绩合计不优秀优秀不优秀10020120优秀503080合计15050200(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关？

(2)为了对学生是否受其他因素的影响进行更细致的分析，该校数学组老师决定！样本中语文成绩不优秀的同学中按数学成绩是否优秀采用比例分配分层随机抽样！方法抽取6名同学分析成绩不优秀的原因，并从这6名同学中选出2名代表发言记发言代表中数学成绩不优秀的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．

附：χ2=α0.0500.0100.001x3.8416.63510.82816.(本小题15分)

已知正项数列{an}的前n项和为Sn,8Sn=an2+4an−21．

(1)求数列{a17.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx+ax+2bx．

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x−y−2=0，求a，b的值；

(2)当2b=a+1时，讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并根据讨论的结果求a≥−1时，f(x)在[1,e]18.(本小题17分)

已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为e=53，焦距为25．

(1)求椭圆Γ的标准方程；

(2)已知直线l：3x−2y+2m=0与椭圆Γ交于M，N两点，Q为弦MN的中点，证明：点Q在定直线上；

(3)求椭圆19.(本小题17分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2AC=4，cos∠BAC=12，E，F分别为棱AC，BB1上的动点且EF=20，点F在平面AA1C1C上的射影为点P，EP的中点为M

参考答案1.B

2.C

3.A

4.B

5.A

6.C

7.B

8.D

9.ABD

10.BC

11.AC

12.(313.2314.53

x15.解：(1)零假设为H0：数学成绩与语文成绩无关，

根据列联表中的数据，

得χ2=200×(100×30−20×50)2150×50×80×120=1009≈11.111>10.828=x0.001，

根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，

即能认为数学成绩与语文成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；

(2)根据按比例分配的分层随机抽样的知识可知，

随机抽取的6名同学中有数学成绩不优秀的人数为：6×100150=4名，数学成绩优秀的人数为：X

0

1

2

P

1

82所以E(X)=0×116.解：(1)正项数列{an}的前n项和为Sn,8Sn=an2+4an−21，

当n=1时，8S1=a12+4a1−21=8a1，解得a1=7．

当n≥2时，8Sn−1=an−12+4an−1−21．

两式相减得8an=an2−an−12+4an−4an−1，

整理得4(an+an−1)=(an+an−1)(an−an−1)，

由an>0，an−1>0，可得an−an−1=4，

∴{an}是以7为首项，4为公差的等差数列，

∴an=7+4×(n−1)=4n+3．

(2)数列{bn}满足bn=an⋅cos(nπ)⋅2n，

当n=2k+1，k∈Z时，cos(nπ)=−1；当n=2k，k∈Z时，cos(nπ)=1，

所以bn=an⋅(−1)n⋅2n=(4n+3)⋅(−2)n，

Tn=b1+b2+b3+...+bn

=(4+3)×(−2)+(4×2+3)×(−2)2+(4×3+3)×(−2)3+...+(4n+3)×(−2)n①，

−2Tn=(4+3)×(−2)2+(4×2+3)×(−2)3+(4×3+3)×(−2)4+...+(4n+3)×(−2)n+1②，

①减②得：3Tn=(4+3)×(−2)+4×[(−2)2+(−2)3+...+(−2)n]−(4n+3)×(−2)n+1

=4×−2×[1−(−2)n]1−(−2)+(8n+6)×(−2)n−6

=83×(−2)n−83+(8n+6)×(−2)n−6=24n+263×(−2)n−263，

∴Tn=(24n+26)×(−2)n9−269．

17.解：(1)函数f(x)=lnx+ax+2bx，则f′(x)=1x−ax2+2b=2bx2+x−ax2．

由已知y=f(x)在点(1,f(1))处的切线2x−y−2=0的斜率为2，且当x=1时，y=0．

所以f′(1)=2f(1)=0，所以2b+1−a=2a+2b=0，

解得a=−12，b=14．

(2)当2b=a+1时，f(x)=lnx+ax+(a+1)x，

f′(x)=1x−ax2+a+1=(a+1)x2+x−ax2=[(a+1)x−a](x+1)x2，x∈(0,+∞)．

①当a=−1时，f′(x)=x+1x2>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

②当a≠−1时，f′(x)=(a+1)(x−aa+1)(x+1)x2．

令f′(x)=0，解得x1=aa+1，x2=−1(舍去)

若a>0，则a+1>0，aa+1>0，

又因为x∈(0,+∞)，所以x+1>0，

所以x∈(0,aa+1)时，f′(x)<0，x∈(aa+1,+∞)时，f′(x)>0．

所以f(x)在(0,aa+1)上单调递减，在(19.【答案】(1)证明：在△ABC中，由余弦定理得，BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cos∠BAC=12，

所以BC=23，

所以AB2=AC2+BC2，即BC⊥AC，

由直三棱柱的性质知，BC⊥CC1，

又AC∩CC1=C，AC，CC1⊂平面AA1C1C，

所以BC⊥平面AA1C1C.

(2)解：因为点F在平面AA1C1C上的射影为点P，

所以FP⊥平面AA1C1C，

由(1)知，BC⊥平面AA1C1C，

所以FP//BC，且点P在CC1上，

所以FP=BC=23，

所以FP⊥PE，且PE=EF2−PF2=22，

在直角△PEC中，CM=12PE=2，

所以点M的