2024-2025学年上学期高二数学苏教版期中必刷常考题之空间向量及其运算

第29页（共29页）2024-2025学年上学期高二数学苏教版（2019）期中必刷常考题之空间向量及其运算一．选择题（共5小题）1．（2024秋•合肥期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，线段A1C1与B1D1交于点O1，点P为空间中任意一点，则POA．-a22 B．﹣b2 C．﹣c2 2．（2024秋•宣城期末）已知向量a→=(1，2，2)，A．(-29，-4C．(-23，13．（2024秋•邢台期末）如图，在正四面体P﹣ABC中，过点P作平面ABC的垂线，垂足为点H，则PH→A．13PA→+2C．13PA→+4．（2024秋•楚雄州期末）已知空间向量a→=（1，﹣2，1），b→=（﹣1，0，﹣1），则向量A．(13，0，C．(13，-5．（2025•山西一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝2，点P为侧面ABB1A1上的任意一点，则PC→A．[0，2] B．[1，3] C．[2，4] D．[3，5]二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•天河区期末）如图，棱长均为1的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，点P为平面ABCD上的动点，则下列说法正确的是（）A．A1C⊥平面BDD1B1 B．AA1→在AC．以D1为球心，半径为1的球，与侧面BCC1B1的交线长为3πD．若直线D1P与直线AB所成的角为π3，则点P（多选）7．（2024秋•沧州期末）关于空间向量，以下说法正确的是（）A．若空间向量a→=(1，0，1)，b→B．若对空间中任意一点O，有OP→=23OA→-16OBC．若空间向量a→，b→满足a→⋅b→D．若直线l的方向向量为m→=(2，4，-2)，平面（多选）8．（2024秋•邢台期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，AB⊥AD，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，P为A1D与AD1的交点，设AB→A．AC1→=aC．|PC→|=3三．填空题（共4小题）9．（2024秋•聊城期末）已知a→=（2，﹣3，1），b→=（2，0，3），c→=（0，0，2），若a→+λb→+μc→=（610．（2024秋•楚雄州期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M为B1D1的中点，则CM→⋅AD→=11．（2024秋•莎车县期末）a→=（2，﹣3，5），b→=（﹣3，1，﹣4），则|a→-12．（2024秋•四川期末）已知e1→，e2→，e3→不共面，若AB→=e→1+2e→2+e→3，四．解答题（共3小题）13．（2024秋•金山区期末）如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，AE→=1（1）试用向量a→，b（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°，求OE→14．（2024秋•菏泽期末）已知空间四点A（0，2，3），B（2，﹣2，﹣1），C（1，4，3），D（﹣1，3，λ）．（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形面积；（2）若A、B、C、D四点共面，求λ的值．15．（2024秋•抚顺校级期末）已知A（1，0，1），B（2，2，﹣1），a→=AB→，（1）求cos〈（2）若(2a→-b→

2024-2025学年上学期高二数学苏教版（2019）期中必刷常考题之空间向量及其运算参考答案与试题解析题号12345答案CCCDC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•合肥期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，线段A1C1与B1D1交于点O1，点P为空间中任意一点，则POA．-a22 B．﹣b2 C．﹣c2 【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】连接AC与BD交于点O，连接OO1记OO1的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，利用空间向量的运算可得PA→+PB→+【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，线段A1C1与B1D1交于点O1，点P为空间中任意一点，如图，连接AC与BD交于点O，连接OO1记OO1的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，则O为EF的中点，PA→因为AA1＝c，所以OO所以PO所以当P与G重合时，PG2→取得最小值为0，此时PO故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．2．（2024秋•宣城期末）已知向量a→=(1，2，2)，A．(-29，-4C．(-23，1【考点】空间向量的投影向量与投影．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】根据投影向量的计算公式计算即可．【解答】解：已知向量a→=(1，2，2)，b→故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的投影向量，主要考查学生的运算能力，属于基础题．3．（2024秋•邢台期末）如图，在正四面体P﹣ABC中，过点P作平面ABC的垂线，垂足为点H，则PH→A．13PA→+2C．13PA→+【考点】空间向量及其线性运算．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】利用空间向量的基本定理，结合空间向量的线性运算即可求解；【解答】解：由题意，在正四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，故H为底面三角形的重心，所以AH=1=1所以PH→故选：C．【点评】本题考查空间向量的线性运算，属基础题．4．（2024秋•楚雄州期末）已知空间向量a→=（1，﹣2，1），b→=（﹣1，0，﹣1），则向量A．(13，0，C．(13，-【考点】空间向量的投影向量与投影．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：空间向量a→=（1，﹣2，1），b→=（﹣1，则b→⋅a故向量b→在向量a→上的投影向量是：故选：D．【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．5．（2025•山西一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝2，点P为侧面ABB1A1上的任意一点，则PC→A．[0，2] B．[1，3] C．[2，4] D．[3，5]【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设P（x，0，z），由数量积的坐标表示得到PC→【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝2，点P为侧面ABB1A1上的任意一点，如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设P（x，0，z），其中﹣1≤x≤1，0≤z≤2，C(0，3PC→=(-x，3当x＝±1，且z＝0或z＝2时，PC→⋅P当x＝0，且z＝1时，PC→⋅PC1→取最小值2，所以故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•天河区期末）如图，棱长均为1的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，点P为平面ABCD上的动点，则下列说法正确的是（）A．A1C⊥平面BDD1B1 B．AA1→在AC．以D1为球心，半径为1的球，与侧面BCC1B1的交线长为3πD．若直线D1P与直线AB所成的角为π3，则点P【考点】空间向量的投影向量与投影；棱柱的结构特征；直线与平面平行．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解；空间想象．【答案】ABD【分析】根据基底法可证得A1C⊥BB1，A1C⊥BD，由此可得A正确；利用基底法和投影向量公式可求得B正确；建立空间直角坐标系，利用点到面的距离向量求法可求得D1到平面BCC1B1的距离，由此可得截面圆半径，进而得到交线长，知C错误；根据线线角可确定点P在以D1为顶点，D1C1或D1C1的反向延长线为轴，D1P为母线的圆锥面上，根据截面与圆锥的位置特征可知D正确．【解答】解：对于A，∵A1C→=AC∴A1C→•BB1→=（AB→+AD→-AA1→）•AA1C→•BD→=（AB→+AD→-AA1→）•（AD→-AB→）＝1×1×cos60°﹣1+1﹣1×∴A1C⊥BB1，A1C⊥BD，因为BB1∩BD＝B，BB1、BD⊂平面BDD1B1，∴A1C⊥平面BDD1B1，A正确；对于B，因为AC1→=AC→+CC1所以|AC1→|=6，因为AA1→•AC1→=AA1→•（AB→+所以AA1→在AC1→上的投影向量为对于C，作A1O⊥AC，垂足为O，设AC∩BD＝H，由A知：A1C平面BDD1B1，又BD⊂平面BDD1B1，所以BD⊥A1C，因为AB＝AD＝1，四边形ABCD为平行四边形，所有四边形ABCD为菱形，则BD⊥AC，因为AC∩A1C＝C，AC、A1C⊂平面ACC1A1，所有BD⊥平面ACC1A1，又A1O⊂平面ACC1A1，则BD⊥A1O，因为BD，AC⊂平面ABCD，AC∩BD＝H，∴A1O⊥平面ABCD，以O为坐标原点，OA→，OA1→正方向为x，z轴正方向，作由B知：AO=13AC，所以A1O=则A1(0，0，63)，A（33AA1→BC→=AD设平面BCC1B1的法向量n→=（x，y，z），则令x=2，解得：y=-6，∴n→=(∴点D1到平面BCC1B1的距离d=|D1B→⋅n→||n→|=63∴以D1为球心，半径为1的球，与侧面BCC1B1的交线是三角形B1C1C的外接圆在四边形BCC1B1中（含边界）的部分，其半径为12∴交线长为120360π×对于D，∵AB∥C1D1∴直线D1P与直线AB所成角即为∠C1D1P或其补角，∵直线D1P与直线AB所成角为π3，∴∠C1∴点P在以D1为顶点，D1C1或D1C1的反向延长线为轴，D1P为母线的圆锥面上，又P∈平面ABCD，∴P的轨迹是平面ABCD截圆锥面所得的图形，∵C1D1∥平面ABCD，平行于轴的平面截圆锥所得曲线为双曲线，∴P点轨迹为双曲线，D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查空间向量的应用和圆锥曲线的定义，属于较难题．（多选）7．（2024秋•沧州期末）关于空间向量，以下说法正确的是（）A．若空间向量a→=(1，0，1)，b→B．若对空间中任意一点O，有OP→=23OA→-16OBC．若空间向量a→，b→满足a→⋅b→D．若直线l的方向向量为m→=(2，4，-2)，平面【考点】空间向量的数量积运算；平面的法向量；空间向量的共线与共面．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】A，投影向量定义求a→在b→上的投影向量；B，由空间向量共面的推论判断；C，由a→，b→同向共线即可判断；【解答】解：A：a→在b→上的投影向量为B：在OP→=23OA→-16OB→C：当a→，b→同向共线时a→⋅bD：由m→=-2n→，即m→∥n故选：ABD．【点评】本题主要考查空间向量的相关知识，考查计算能力，属于基础题．（多选）8．（2024秋•邢台期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，AB⊥AD，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，P为A1D与AD1的交点，设AB→A．AC1→=aC．|PC→|=3【考点】空间向量及其线性运算；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；高考数学专题；逻辑思维；运算求解．【答案】BD【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形计算即可求解．【解答】解：对于A：AC1→对于B：BD1→对于C：a→又PC→所以|PC→|=对于D：AC1→如图所示：故选：BD．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•聊城期末）已知a→=（2，﹣3，1），b→=（2，0，3），c→=（0，0，2），若a→+λb→+μc→=（6【考点】空间向量及其线性运算．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．【答案】﹣6．【分析】由空间向量的坐标运算即可求解．【解答】解：由题意，a→+λb→+μc→=（2，﹣3，1）+λ（2，0，3）+μ（＝（2+2λ，﹣3，1+3λ+2μ）＝（6，﹣3，1），则有2+2λ=61+3所以λμ＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属基础题．10．（2024秋•楚雄州期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M为B1D1的中点，则CM→⋅AD→=【考点】空间向量的数量积运算．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】-1【分析】由向量的加减运算及数量积的运算可得CM→【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M为B1D1的中点，则CM→⋅AD→=（CC1→+C1M→）•AD→=[CC1→+12因为AA1→•AD→=|AA1→|•|AD→|cos60°＝1×1×12=12，AB→所以CM→⋅AD→故答案为：-1【点评】本题考查向量的运算性质的应用，属于基础题．11．（2024秋•莎车县期末）a→=（2，﹣3，5），b→=（﹣3，1，﹣4），则|a→-【考点】空间向量的数量积运算．【专题】空间向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】首先求出a→-2b→=（【解答】解：∵a→=（2，﹣3，5），b→=（﹣3，1，﹣4），a→-2∴|a→-2故答案为：258【点评】本题考查了空间向量的坐标运算以及向量模的求法．12．（2024秋•四川期末）已知e1→，e2→，e3→不共面，若AB→=e→1+2e→2+e→3，【考点】空间向量的共线与共面．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】6．【分析】直接利用向量的共线的充要条件求出结果．【解答】解：由于已知e1→，e2→，e3→不共面，若AB→=e→1则：1x=2y=12，解得x故x+y＝6．故答案为：6．【点评】本题考查的知识点：向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•金山区期末）如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，AE→=1（1）试用向量a→，b（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°，求OE→【考点】空间向量的数量积运算；空间向量基底表示空间向量．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（1）OD→（2）23【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果；（2）利用三角形法则得OE→=23a【解答】解：（1）根据题意可知，空间四边形OABC中，点D为BC的中点，AE→设OA→根据平行四边形法则，可知OD→根据平行四边形法则，可知AD→（2）根据题意可知，OA＝OC＝2，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°，∴a→利用三角形法则，得OE→∴OE=1【点评】本题考查了三角形法则，属于基础题．14．（2024秋•菏泽期末）已知空间四点A（0，2，3），B（2，﹣2，﹣1），C（1，4，3），D（﹣1，3，λ）．（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形面积；（2）若A、B、C、D四点共面，求λ的值．【考点】空间向量的共线与共面．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（1）12；（2）92【分析】（1）根据向量的夹角公式求出∠BAC的余弦，再得出∠BAC的正弦，利用面积公式得解；（2）根据共面向量基本定理的坐标运算求解．【解答】解：（1）A（0，2，3），B（2，﹣2，﹣1），C（1，4，3），则AB→=(2，AB→又|AC→|=∴cos〈∴sin〈∴四边形ABCD的面积为S=|∴以AB，AC为邻边的平行四边形ABCD的面积为12．（2）由题意，得AD→∵A、B、C、D四点共面；∴存在唯一一对实数x，y使得AD→∴-1=2x+∴λ的值为92【点评】本题主要空间向量的共线与共面，属于中档题．15．（2024秋•抚顺校级期末）已知A（1，0，1），B（2，2，﹣1），a→=AB→，（1）求cos〈（2）若(2a→-b→【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的共线与共面．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）cos〈a→，b【分析】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案；（2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案．【解答】解：已知A（1，0，1），B（2，2，﹣1），a→=AB→，（1）a→=(1|a→|=cos〈（2）2a因为(2a→-即（﹣2，6，﹣8）＝λ（3，m，n），故3λ=-2λm【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，共线向量的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．

考点卡片1．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征棱柱1根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．2．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．3．空间向量及其线性运算【知识点的认识】1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为|AB→|，|a特别地：①规定长度为0的向量为零向量，记作0→②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a→的相反向量记为-5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0→②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．1．加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．2．加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．（1）交换律：a（2）结合律：(a3．推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：A1（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量A11．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a→的乘积λ①当λ＞0时，λa→与②当λ＜0时，λa→与③当λ＝0时，λa④|λa→|＝|λ|•|aλa→的长度是a→的长度的|2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）结合律：λ注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±4．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果两个向量a→、b→不共线，则向量p→与向量a→、b→共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a→=λb→成立，或充分利用空间向量的运算法则，（2）a→∥b→表示空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使MP→=xMA→+yMB→证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-32分析：利用共线向量的条件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）与b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根据共面向量定理OM→=m⋅OA→+n⋅解答：由共面向量定理OM→说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．5．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角已知两个非零向量a→、b→，在空间中任取一点O，作OA→=a→，OB→=b→，则∠2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a→、b→，则|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→与b→的数量积，记作a→•b→（2）几何意义：a→与b→的数量积等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘积，或b→的长度|b→|与3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．（1）交换律：(λa→)⋅b→=λa（2）分配律：a→4．数量积的理解（1）书写向量的数量积时，只能用符号a→⋅b→（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）当a→≠0→时，由a→⋅b→=【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a→|=利用数量积证明垂直关系：（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断a→⊥b→时，须指明（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a→，b→，【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1分析：