18.1.2　平行四边形的判定（第2课时　平行四边形的判定（2））

1/918.1.2平行四边形的判定第2课时平行四边形的判定(2)本节课的主要内容是从一组对边平行且相等的角度判定四边形是平行四边形，该判定方法是判定平行四边形方法的基础知识的延续，仍然是从逆命题的角度提出问题，发现结论，形成猜想，然后进行证明；这个逆命题可为我们以后判定特殊四边形打下基础．【情景导入】观察下面两幅图片并思考问题．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长度相等就可以了，你能说明理由吗？【说明与建议】说明：从实际生活出发通过实例引入新课，让学生感受数学来源于生活又服务于生活，激发学生学习的兴趣．建议：首先复习平行四边形的性质与判定，为本节课的学习扫清障碍．针对实际问题，教师可让学生进行合作探究，先将它转化为几何模型，再进行推理论证．【置疑导入】操作与探究：如图，在方格纸中，画出线段AD＝BC，四边形ABCD是平行四边形吗？说说你的理由．【说明与建议】说明：利用操作探究的方式引入本节课要研究的内容，使学生经历了从具体问题中抽象出数学问题的过程，从而激发学生的好奇心和求知欲．建议：教师教学中要鼓励学生自主证明这个猜想，并鼓励他们从多角度思考问题、用多种方法去证明，以利于培养学生的发散思维能力、合情推理能力和严谨的逻辑表达能力．命题角度1利用一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形1．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠D＝∠DCE.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵∠D＝∠DCE，∴AD∥BC.∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．命题角度2平行四边形判定方法的灵活选用2．如图，AD＝BD，AE＝EC，延长DE到点F，使EF＝DE，连接AF，FC，CD，求证：四边形DBCF是平行四边形．证明：∵AE＝EC，EF＝DE，∴四边形ADCF是平行四边形．∴AD＝FC，AD∥FC，即BD∥FC.又∵AD＝BD，∴BD＝FC.∴四边形DBCF是平行四边形．3．如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C，A，AD＝BC.求证：(1)Rt△ACD≌Rt△CAB；(2)四边形ABCD是平行四边形．证明：(1)在Rt△ACD和Rt△CAB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,AC＝CA，)))∴Rt△ACD≌Rt△CAB(HL).(2)∵△ACD≌△CAB，∴AB＝DC，AD＝BC.∴四边形ABCD是平行四边形．命题角度3平行四边形的性质和判定的综合应用4．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.证明：连接BE，DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴OE＝OF.课题18.1.2第2课时平行四边形的判定2授课人素养目标1.掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法．2．熟练掌握判定平行四边形的五种方法，并会应用它们解决问题．3．经历探索、猜想、证明的过程，体会归纳、转化的数学思想；学生能感受数学思考过程中的合理性，数学证明的严谨性；学会用辩证的观点分析事物．教学重点平行四边形各种判定方法及其应用，根据不同条件能正确地选择判定方法．教学难点平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾教师提出问题：上节课我们学习的平行四边形的判定方法有哪些？你能用符号表示吗？温故知新，为突破本节难点做准备，同时激发学生的学习热情．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】操作探究：取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放置，再用两根木条BC，AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？由此例提出大胆猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．你能证明这个结论吗？利用操作探究的方式引入新课，使学生经历了从具体问题中抽象出数学问题的过程，从而激发学生强烈的好奇心和求知欲，引入本节课要研究的内容．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】由上面的操作可猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．师生活动：教师引导学生写出已知、求证，并分析证明方法．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：连接AC.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.又∵AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SAS).∴BC＝DA.∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).教师启发引导：这道题还可以这样证明．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：连接AC.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.又∵AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SAS).∴∠BCA＝∠DAC.∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义).教师引导学生进行方法总结：思考：我们进行证明时都用到哪些辅助线？证明的过程都用到什么方法呢？符号语言：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．想一想：一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形吗？教师引导学生举出下面的反例即可：如图，AB＝CD，AD∥BC.1.本环节注意给予学生充足的时间进行探究、发现；鼓励学生写出“已知”和“求证”，并思考证明思路及书写过程，从而提高学生解题的规范性．2．利用多种证明方法训练学生的发散思维，并使学生体会解题方法，连接对角线将四边形化为三角形，然后用证明三角形全等的方法解决四边形问题．活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第47页例4)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．【思路点拨】根据E，F分别是AB，CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，可得BE平行且等于DF.【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，EB∥FD.又∵EB＝eq\f(1,2)AB，FD＝eq\f(1,2)CD，∴EB＝FD.∴四边形EBFD是平行四边形．例2如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE∥DC交BC于点E，BD平分∠ABC，求证：AB＝CE.【思路点拨】根据已知条件易证AB＝AD，再证明四边形AECD是平行四边形，利用平行四边形的性质可得AD＝CE，所以AB＝CE，问题得证．【解答】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.∵AD∥CE，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形．∴AD＝CE.∵AD＝AB，∴AB＝CE.【方法归纳】判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分．1．设置例题帮助学生掌握平行四边形的判定方法，并会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．活动三：开放训练、体现应用【变式训练】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与线段CD交于点E，F，且AE⊥BF.求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：∵AE⊥BF，∴∠EAB＋∠FBA＝90°.∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，∴∠DAB＝2∠EAB，∠ABC＝2∠FBA.∴∠DAB＋∠ABC＝2(∠EAB＋∠FBA)＝180°.∴AD∥BC.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．2．通过变式训练培养学生的发散思维能力和逻辑思维能力．【课堂检测】1．如图所示，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充条件(D)A.AB＝DCB．∠1＝∠2C．AB＝ADD．AD＝BC第1题图第3题图2．请你从下列条件：①AB＝CD，②AD＝BC，③AB∥CD，④AD∥BC中任选两个，使它们能判定四边形ABCD是平行四边形．共有4种情况符合要求．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E.若AD＝5cm，BC＝12cm，则CD的长是7__cm．4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F为对角线AC上两点，且AF＝CE，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC.∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.∴∠CFD＝∠AEB.∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.在△AEB和△CFD中，∴△AEB≌△CFD(ASA).∴AB＝CD.∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．5.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．解：(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB(AAS).∴OD＝OB.∴四边形ABCD是平行四边形．(2)∵AC⊥BD，∴S▱ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)BD·OA＋eq\f(1,2)BD·OC＝eq\f(1,2)AC·BD＝24.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．活动四：课堂检测课堂小结1.课堂小结：(1)判定一个四边形是